이 블로그에서는 경제와 사회 분야에서 소득과 저축의 격차를 분석할 때 사용되는 '로렌츠 곡선'과 '지니 계수'에 대해 설명합니다. 편향을 분석하기 위해 JMP를 사용하여 로렌츠 곡선으로 시각화하고 지니 계수로 정량화 한 예를 소개합니다.
불평등을 측정하는 지표 : 지니 계수와 로렌츠 곡선
데이터의 편향이나 불평등을 정량화하는 지표로서, 「 지니 계수」가 잘 알려져 있습니다.그리고, 그 불평등을 시각적으로 표현하기 위해서 「 로렌츠 곡선 」이 이용됩니다.
지니계수는 「 불평등의 지표 」라고도 불리며, 소득 격차나 교육 격차 등, 다양한 분야에서 격차의 정도를 나타내는데 사용되고 있습니다.
아래 그림은 가정에서의 소득 격차를 시각화한 로렌츠 곡선(청색)입니다. 가로축은 가정의 누적 비율, 세로축은 누적 소득 비율을 나타냅니다.소득 격차가 없고 평등한 경우, 로렌츠 곡선은 점선으로 나타낸 45도선(" 완전 평등선 "이라고 함)에 일치합니다. 한편, 소득의 격차가 큰, 즉 불평등의 경우, 로렌츠 곡선은 45도 선에서 멀어집니다.
로렌츠 곡선과 지니 계수 간의 관계
지니 계수는 로렌츠 곡선과 완전 평등선 사이에 둘러싸인 면적을 기준으로 계산됩니다. 됩니다.
지니계수 = 1 - 2×(로렌츠 곡면하의 면적)
완전히 평등할 때는 로렌츠 곡선이 완전 평등선과 같아지고, 완전히 불평등일 때는 로렌츠 곡선이 직각 삼각형이 되기 때문에, 지니 계수는 다음과 같이 해석됩니다.
- 지니계수가 0 : 완전히 평등(전원이 같은 수입이나 자원을 가진다)
- 지니계수가 1 : 완전히 불평등(1명이 모두를 독점하고 있다)
덧붙여서 일본의 소득에 관한 지니 계수는, 1990년:0.433, 2003년:0.526, 2021년:0.570으로 해마다 상승하고 있습니다*. 이러한 수치는, 일본에서 소득 격차가 확대되고 있는 것을 나타내고 있습니다 .
※여기서 제시한 숫자는 「당초 소득 지니 계수」이며, 세금이나 사회 보험료를 지불한 후의 소득을 기준으로 한 「재분배 지니 계수」와는 다릅니다.
앞서 언급했듯이, 로렌츠 곡선과 지니 계수는 경제와 사회 분야에서 사용되는 경우가 많지만, 그 이외의 분야에서도 불평등과 편향을 측정하는 지표로 사용할 수 있습니다.
그래서 이번에는 MLB의 데이터를 사용하여 JMP에서 로렌츠 곡선과 지니 계수를 구하는 예를 소개합니다.
지니 계수의 사용 예 : MLB 홈런 수의 편향
2024년 MLB 레귤러 시즌에 월드 시리즈와 리그 챔피언 시리즈에 출전한 4팀 타자의 홈런 수 편향을 분석했다.
다음 히스토그램은 각 팀에서 타자의 홈런 수 분포를 보여줍니다.
야구에 익숙한 분이라면 Dodgers의 이상치(50-55개), Yankees의 이상값(55-60개)은 누구인지 알겠지요?
Dodgers 예제를 사용하여 JMP에서 지니 계수를 계산하고 로렌츠 곡선을 만드는 절차는 다음과 같습니다.
1. 데이터 준비 및 수식 작성
다음은 위의 히스토그램의 원본 데이터로, "Homeruns"(홈런의 개수)와 "N"(인원수)의 열을 포함합니다. 이제 계산식을 사용하여 노란색으로 표시된 열을 만듭니다.
노란색 열은 각각 다음 공식을 적용합니다*.
- 열 " Cum_N ": 인원수의 누적 비율을 나타냅니다.
- 열 " Cum_Homeruns ": 홈런의 누적 비율을 나타냅니다. 로렌츠 곡선의 세로축에 사용합니다.
- 열 " trapezoid ": 사다리꼴 공식을 사용하여 로렌츠 곡면 아래의 면적을 계산합니다.
- 열 " GiniCoef ": 사다리꼴 면적에서 지니 계수를 계산합니다.
요구되는 지니 계수는 0.584입니다.
* 이러한 계산식을 정리해 하나의 식으로 할 수도 있습니다만, 여기에서는 알기 쉬움을 우선해, 굳이 복수의 열을 이용해 계산하고 있습니다.
2. 로렌츠 곡선 만들기
새로 만든 열 "Cum_N", "Cum_Homeruns"를 사용하고 "그래프 빌더"를 사용하여 선 그래프를 만듭니다.
여기서 45도선(검은색 점선)은 그래프에서 마우스 오른쪽 버튼을 클릭하고 표시되는 메뉴에서 [사용자 정의] 를 선택하고 다음과 같은 스크립트를 작성하여 표시할 수 있습니다.
Dodgers 외에도 Yankees, Mets, Guardians의 세 팀에 대해서도 마찬가지로 계산하고 로렌츠 곡선을 겹친 결과를 아래에 나타냅니다.
로렌츠 곡선에서는 아래쪽으로 늘어나고 있을수록 편향이 큰 것을 나타내고 있습니다. 편향이 큰 순서로 Dodgers, Yankees, Mets, Gardians가 되어 있습니다.
월드 시리즈에 진출한 Dodgers, Yankees는, 일부 선수가 압도적으로 많은 홈런을 치고 있어, 그것이 편향의 큰 요인입니다.
이 블로그에서는 지니 계수와 로렌츠 곡선을 사용하여 MLB의 홈런 수의 편향을 시각화·정량화하는 예를 보여주었습니다. 분석에도 응용할 수 있습니다.
4개의 팀에 대한 지니 계수를 산출한 JMP의 데이터 테이블은, 본 블로그에 첨부하고 있으므로 참고에 부탁합니다(MLB2024_4teams.jmp).
by 마스카와 나오히로(JMP Japan)
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