In diesem Blog erklären wir die „Lorenz-Kurve“ und den „Gini-Koeffizienten“, die zur Analyse von Einkommens- und Ersparnisunterschieden im wirtschaftlichen und sozialen Bereich verwendet werden. Um die Verzerrung in der Anzahl der Home Runs für jedes MLB-Team (Major League Baseball) zu analysieren, stellen wir außerdem ein Beispiel für die Verwendung von JMP vor, um sie mithilfe einer Lorenz-Kurve zu visualisieren und mithilfe des Gini-Koeffizienten zu quantifizieren.
Indikatoren zur Messung von Ungleichheit: Gini-Koeffizient und Lorentz-Kurve
Der „ Gini-Koeffizient “ ist ein bekannter Indikator zur Quantifizierung von Datenverzerrungen und -ungleichheiten. Um diese Ungleichheit visuell auszudrücken, wird die „ Lorentzkurve “ verwendet.
Der Gini-Koeffizient wird auch „ Ungleichheitsindex “ genannt und wird verwendet, um den Grad der Ungleichheit in verschiedenen Bereichen anzugeben, beispielsweise bei der Einkommensungleichheit und der Bildungsungleichheit.
Die folgende Abbildung ist eine Lorenz-Kurve (blau), die die Einkommensunterschiede der Haushalte veranschaulicht. Die horizontale Achse zeigt den kumulierten Anteil des Haushaltseinkommens und die vertikale Achse zeigt den kumulierten Einkommensanteil.Bei Gleichheit und fehlender Einkommensungleichheit fällt die Lorenz-Kurve mit der gepunkteten 45-Grad-Linie (sogenannte „ perfekte Gleichheitslinie “) zusammen. Wenn andererseits die Einkommensungleichheit groß ist, also Ungleichheit herrscht, entfernt sich die Lorenz-Kurve von der 45-Grad-Linie.
Zusammenhang zwischen Lorentz-Kurve und Gini-Koeffizient
Der Gini-Koeffizient wird auf der Grundlage der Fläche berechnet, die zwischen der Lorentz-Kurve und der Linie vollkommener Gleichheit eingeschlossen ist. Sie ist als umschlossene Fläche definiert, wenn die Fläche des unteren rechten Dreiecks auf 1 gesetzt ist, und wird mit der folgenden Formel berechnet.
Gini-Koeffizient = 1 - 2× (Fläche unter der Lorentz-Oberfläche)
Bei vollkommener Gleichheit ist die Lorentz-Kurve gleich der Linie vollkommener Gleichheit, und bei vollkommener Ungleichheit wird die Lorentz-Kurve zu einem rechtwinkligen Dreieck, sodass der Gini-Koeffizient wie folgt interpretiert werden kann.
- Der Gini-Koeffizient ist 0 : vollkommene Gleichheit (jeder hat das gleiche Einkommen und die gleichen Ressourcen)
- Gini-Koeffizient von 1 : völlige Ungleichheit (eine Person monopolisiert alles)
Übrigens ist Japans Gini-Koeffizient in Bezug auf das Einkommen Jahr für Jahr gestiegen, von 0,433 im Jahr 1990 über 0,526 im Jahr 2003 auf 0,570 im Jahr 2021*. Diese Zahlen zeigen, dass die Einkommensungleichheit in Japan zunimmt.
*Die hier dargestellten Zahlen sind der „Anfangseinkommens-Gini-Koeffizient“ und unterscheiden sich vom „Umverteilungs-Gini-Koeffizienten“, der auf dem Einkommen nach Zahlung von Steuern und Sozialversicherungsbeiträgen basiert.
Wie eingangs erwähnt, werden die Lorenz-Kurve und der Gini-Koeffizient häufig im wirtschaftlichen und sozialen Bereich verwendet, können aber auch als Indikatoren zur Messung von Ungleichheit und Voreingenommenheit in anderen Bereichen verwendet werden.
Daher werde ich dieses Mal ein Beispiel für die Berechnung der Lorentz-Kurve und des Gini-Koeffizienten mithilfe von JMP unter Verwendung von MLB-Daten vorstellen.
Beispiel für die Verwendung des Gini-Koeffizienten: Bias bei der Anzahl der Homeruns in der MLB
In der regulären MLB-Saison 2024 haben wir die Verzerrung in der Anzahl der Homeruns der Batter der vier Teams analysiert, die an der World Series und der League Champion Series teilgenommen haben.
Das folgende Histogramm zeigt die Verteilung der Homeruns für Batter in jedem Team.
Wenn Sie sich mit Baseball auskennen, wissen Sie, wer die Ausreißer der Dodgers (50–55 Treffer) und die Ausreißer der Yankees (55–60 Treffer) sind.
Nachfolgend finden Sie die Schritte zur Berechnung des Gini-Koeffizienten und zur Erstellung einer Lorentz-Kurve in JMP anhand des Dodgers-Beispiels.
1. Daten aufbereiten und Berechnungsformeln erstellen
Unten sind die Daten aufgeführt, die die Quelle des obigen Histogramms sind, einschließlich der Spalten „Homeruns“ (Anzahl der Homeruns) und „N“ (Anzahl der Personen). Mit der Formel erstellen wir nun die gelb dargestellten Spalten.
Auf jede gelbe Spalte wird die folgende Formel angewendet*.
- Spalte „ Cum_N “: Zeigt den kumulierten Prozentsatz der Personen an. Wird für die horizontale Achse der Lorentz-Kurve verwendet.
- Spalte „ Cum_Homeruns “: Zeigt den kumulierten Prozentsatz der Homeruns an. Wird für die vertikale Achse der Lorentz-Kurve verwendet.
- Spalte „ Trapez “: Berechnet die Fläche unter der Lorentzfläche mithilfe der Trapezformel.
- Spalte „ GiniCoef “: Berechnung des Gini-Koeffizienten aus der Fläche des Trapezes.
Der erhaltene Gini-Koeffizient beträgt 0,584.
*Diese Berechnungsformeln können zu einer Formel zusammengefasst werden. Um das Verständnis zu erleichtern, haben wir in der Berechnung jedoch absichtlich mehrere Spalten verwendet.
2. Erstellen einer Lorentzkurve
Erstellen Sie mit dem „Graph Builder“ ein Liniendiagramm unter Verwendung der neu erstellten Spalten „Cum_N“ und „Cum_Homeruns“.
Hier kann die 45-Grad-Linie (schwarze gepunktete Linie) angezeigt werden, indem Sie mit der rechten Maustaste auf das Diagramm klicken, im angezeigten Menü [Anpassen] auswählen und das folgende Skript schreiben.
Zusätzlich zu den Dodgers haben wir die gleichen Berechnungen für die Yankees, Mets und Guardians durchgeführt. Die Ergebnisse der Lorenz-Kurven sind unten dargestellt.
Bei der Lorenz-Kurve ist die Tendenz umso größer, je weiter die Kurve nach unten verläuft. Sie können sehen, dass der Bias bei den Guardians (rote Linie) im Vergleich zu den anderen drei Teams geringer ist. Wenn Sie sich auch den Gini-Koeffizienten ansehen, sind die Dodgers, Yankees, Mets und Guardians am stärksten voreingenommen.
Die Dodgers und Yankees, die in die World Series aufgestiegen sind, verfügen über bestimmte Spieler, die überwältigend viele Homeruns erzielen, was ein wesentlicher Faktor für die Voreingenommenheit ist.
In diesem Blog haben wir ein Beispiel für die Verwendung des Gini-Koeffizienten und der Lorentz-Kurve gezeigt, um die Verzerrung bei der Anzahl der Home Runs in der MLB zu visualisieren und zu quantifizieren. Diese Methode lässt sich nicht nur auf wirtschaftliche und soziale Bereiche anwenden, sondern auch auf die Datenanalyse im Sport und anderen Bereichen.
Bitte beachten Sie die JMP-Datentabelle, die die Gini-Koeffizienten für die vier Teams berechnet hat, die diesem Blog beigefügt sind (MLB2024_4teams.jmp).
von Naohiro Masukawa (JMP Japan)
Naohiro Masukawa – JMP-Benutzergemeinschaft
