In dieser Präsentation untersuchen wir die entscheidende Rolle von Vorhersage-, Konfidenz- und Toleranzgrenzen. Da sie leicht zu berechnen sind und in den meisten Lehrbüchern vorkommen, werden sie häufig verwendet; dies bedeutet jedoch auch, dass sie oft falsch angewendet oder interpretiert werden. Eine der aktuellen Herausforderungen besteht darin, diese Grenzen für gemischte Modelle präzise zu bestimmen, was in den meisten Branchen eine erhebliche Einschränkung darstellt.
JMP verwendet zwar die bestmögliche Methode zur Abschätzung dieser Grenzen (basierend auf einer 2019 in der Fachzeitschrift Wiley Medicine veröffentlichten Studie), doch können bei unvorsichtiger Anwendung Probleme auftreten, da die Methode gewisse Schwächen aufweist. Als Beratungsunternehmen müssen unsere Methoden fundiert sein. Daher haben wir uns entschieden, das Thema genauer zu untersuchen und diese Grenzen mittels Simulation in JMP zu evaluieren.
Die Präsentation konzentriert sich auf die anschauliche Darstellung des Problems und sensibilisiert branchenübergreifend für diese statistischen Herausforderungen. Zudem wird demonstriert, wie JMP zur Simulation verschiedener Szenarien eingesetzt und Modelle evaluiert wurden. Vorgestellt werden eine eigens dafür entwickelte grafische Benutzeroberfläche sowie die Modellerstellung und die Generierung interpretierbarer Ergebnisse.
Willkommen zu meiner Präsentation. Mein Name ist Thomas. Ich arbeite für die Firma NNE und bin als Statistikberater in der Pharmaindustrie tätig. Heute möchte ich Ihnen ein Thema vorstellen, das ich sehr interessant finde und das meiner Meinung nach branchenübergreifend relevant ist. Es basiert auf der klassischen Statistik, genauer gesagt auf Konfidenzintervallen, Prognosen und Toleranzgrenzen. Legen wir gleich los! Zunächst möchte ich Ihnen die Ausgangssituation erläutern. Stellen Sie sich vor, Sie wären Qualitätsingenieur in einem Unternehmen, das medizinische Spritzen herstellt. Damit eine medizinische Spritze sicher ist, muss sie bestimmte Qualitätsmerkmale erfüllen.
Eine der wichtigsten Voraussetzungen ist die richtige Größe. Wenn eine Spritze für eine bestimmte Größe ausgelegt ist, sollte diese unbedingt eingehalten werden. Ist sie zu groß, besteht die Gefahr einer Überdosierung, ist sie zu klein, einer Unterdosierung. Daher gibt es sogenannte Spezifikationsgrenzen, innerhalb derer bestimmte Eigenschaften liegen müssen, um die Sicherheit zu gewährleisten. Manche Experten sagen, dass bestimmte Merkmale innerhalb dieser Werte liegen müssen. Nehmen wir beispielsweise an, dass der Durchmesser der Spritze zwischen 10 und 10,5 Millimetern liegen muss.
Stellen Sie sich vor, Sie sind Qualitätsingenieur und kommen in Ihr Büro. Dort finden Sie eine Lieferung von 100 Spritzen vor. Sie müssen nun die Qualität der Spritzen beurteilen. Sie entnehmen eine Stichprobe, messen den Durchmesser und stellen fest, dass dieser innerhalb der Spezifikationen liegt. Zumindest im ersten Fall, aber Sie fragen sich nun: Reicht das aus, um zu belegen, dass die Qualität in der gesamten Charge erhalten geblieben ist? Eine solche Aussage nur auf Basis einer einzigen Stichprobe zu treffen, ist schwer zu begründen.
Dann macht man das Nächstbeste: Man nimmt zehn Stichproben und erhält solche Werte. Sie liegen alle innerhalb der Spezifikationen. Wahrscheinlich meldet man schließlich den Mittelwert und scheint zufrieden damit zu sein, aber dann kommen die Gesundheitsbehörden. Diese bestätigen, dass alles in Ordnung ist, der Durchschnitt akzeptabel ist, und bemerken: „Diese Grafik sieht gut aus, aber woher wissen Sie, dass die nächste Stichprobe nicht so aussieht? Oder – noch zu Ihrem Vorteil – auch so.“
Das ist eines der Probleme: Wenn man beispielsweise nur einen Durchschnittswert oder eine einzelne Größe angibt oder nur ein Diagramm wie dieses zeigt, hat man keine Möglichkeit, die Unsicherheit der eigenen Schätzungen oder Schlussfolgerungen zu quantifizieren. Genau deshalb verwendet man statistische Intervalle. Das ist das Thema des heutigen Tages: Wir werden ein Intervall für etwas angeben und dann sagen können, wie sicher wir uns dabei sind.
Das war die Motivation, aber im weiteren Verlauf der Präsentation werde ich noch etwas genauer auf die statistischen Intervalle eingehen, sie etwas theoretischer betrachten, um die Grundlagen für den Rest zu schaffen. Anschließend werden wir einige Simulationen in JMP vorstellen. Ich habe eine Benutzeroberfläche entwickelt, mit der man verschiedene Szenarien durchspielen kann, und Sie werden sehen, warum das wichtig ist. Abschließend werden wir sehen, wie ein typischer Workflow bei NNE aussehen könnte, beispielsweise bei der Bearbeitung von Kundendaten mithilfe dieser Intervalle.
Wie bereits erwähnt, möchte ich, wenn wir uns zunächst die Theorie statistischer Intervalle ansehen, einige Grundregeln festlegen. Bevor wir praktisch arbeiten, müssen wir diese Regeln definieren. Es gibt viele Möglichkeiten, Vorhersage- und Toleranzintervalle zu berechnen. Die heute vorgestellten basieren auf klassischer Statistik und sind auch in JMP implementiert. Es gibt jedoch noch weitere Methoden, nur zur Information. Dies sind die gängigsten.
Die erste Annahme, die wir treffen werden, die erste Frage ist: Haben wir eine repräsentative Stichprobe erhalten? Denn wenn wir Intervalle erstellen, sammeln wir zunächst Daten aus der Vergangenheit, um daraus Aussagen treffen zu können. Diese Daten nennen wir Stichprobe. Ist sie repräsentativ und zufällig? Mit einem Intervall können Sie Aussagen über eine Grundgesamtheit treffen. Das kann Ihr Prozess sein, vielleicht eine bestimmte Zielpopulation, die Sie im Auge haben – aber ist Ihre Stichprobe repräsentativ? Denn genau darüber werden wir das Intervall betrachten. Stellen Sie sich beispielsweise vor, Sie erhalten jede Lieferung in einem Karton und entnehmen immer nur die oberste Charge, weil das am einfachsten ist.
Je nach Prozessaufbau kann dies in manchen Fällen problematisch sein, da man beispielsweise nie Proben von anderen Bereichen entnimmt. Oder man verwendet einen Ofen zur Herstellung eines Produkts, etwa eines Medizinprodukts, und entnimmt die Probe immer an einer bestimmten Stelle im Ofen. Bei Temperaturschwankungen kann die Repräsentativität der Probe beeinträchtigt sein.
Zunächst gehen wir im einfachsten Fall von einer Datenverteilung, insbesondere einer Normalverteilung, aus. Wir nehmen also an, dass unsere Messgröße – sei es der Durchmesser einer Spritze oder eine andere Qualitätskennzahl – normalverteilt ist. Sollten Ihre Daten nicht normalverteilt sein, können Sie versuchen, sie zu transformieren. Beachten Sie jedoch, dass dies eine Voraussetzung für die Gültigkeit der Intervalle ist.
Wenn Ihre Daten nicht normalverteilt sind und Transformationen nicht helfen, benötigen Sie möglicherweise eine komplexere Datenstruktur, beispielsweise ein Modell. Ich werde dieses Beispiel anführen, da es auch für das Folgende relevant ist. Es handelt sich um Daten aus einer Normalverteilung mit Varianten innerhalb eines Batches.
Man sieht, dass die Gruppenverteilung nahezu gleichmäßig ist, aber es gibt auch Schwankungen zwischen den einzelnen Chargen. Das bedeutet, dass beispielsweise verschiedene Chargen unterschiedliche Eigenschaften aufweisen können, etwa durch unterschiedliche Rohstoffe. Man muss berücksichtigen, dass dies in den Daten vorkommt, sie aber insgesamt dennoch einer Normalverteilung folgen. Das sind die wichtigsten Regeln.
Ich werde nun die drei Haupttypen von Intervallen erläutern. Zunächst einmal gibt es Konfidenz-, Prognose- und Toleranzintervalle. Das Konfidenzintervall ist eines der gebräuchlichsten. Es wird für einen Parameter oder eine Kenngröße einer Verteilung verwendet. Da wir beispielsweise davon ausgehen, dass die Daten einer bestimmten Verteilung folgen, könnte man theoretisch sagen, dass sie einen theoretischen Wert haben.
Wenn wir beispielsweise über den Mittelwert oder die Standardabweichung sprechen – zwei der gebräuchlichsten Kennzahlen –, möchten Sie vielleicht den Mittelwert eines Prozesses schätzen und gleichzeitig eine gewisse Konfidenz angeben. Sie geben ein Intervall an, in dem Sie den tatsächlichen Mittelwert vermuten, oder eine Standardabweichung, ein Quantil oder andere Kennwerte. Ein Beispiel hierfür wäre der Satz: „Wir sind zu 95 % sicher, dass die durchschnittliche Lebensdauer einer Glühbirne zwischen 1.000 und 1.200 Stunden liegt.“ Anstatt zu sagen: „Wissen Sie was? Die durchschnittliche Lebensdauer einer von mir hergestellten Glühbirne beträgt 1.100 Stunden“, geben Sie nun einen Bereich an, in dem die Lebensdauer liegen kann, und verbinden damit eine bestimmte Konfidenz.
Was genau meinen wir, wenn wir von Konfidenz sprechen? Konfidenz beschreibt die Leistungsfähigkeit der Methode. Es geht nicht um das spezifische Intervall, sondern um die Methode selbst. Anders ausgedrückt: Langfristig gesehen enthalten 95 % der mit dieser Methode berechneten Intervalle den wahren Parameter. Das bedeutet auch, dass dies in 5 % der Fälle nicht der Fall ist. Daher können Sie den gewünschten Konfidenzwert selbst wählen; 95 % ist ein gängiger Wert. Sie können aber auch 90 %, 99 % oder 99,99 % verwenden. Es kommt ganz auf den Zweck Ihres Intervalls an.
Seien Sie sich dessen bewusst, denn viele Leute könnten denken, dass sich die Zahl 95 auf die Idee bezieht, dass 95 % der zukünftigen Stichprobenmittelwerte innerhalb des berechneten Intervalls liegen werden, und das ist einfach nicht wahr. Seien Sie also vorsichtig.
Dies sind die Formeln, die ich verwenden werde. Wie Sie sehen, gibt es zwei. Ich erkläre Ihnen auch warum. Die erste Formel geht von einer Normalverteilung ohne Zufallseffekte aus, die zweite hingegen berücksichtigt Zufallseffekte. Dies sind die klassischen Formeln, die anderen wurden später entwickelt. Ich werde jetzt nicht zu sehr ins Detail gehen, aber wer mehr wissen möchte, kann mich gerne fragen.
Dann gibt es noch das Vorhersageintervall. Während das Konfidenzintervall für einen Mittelwert, eine Standardabweichung oder eine Kenngröße verwendet wird, dient das Vorhersageintervall der Betrachtung einer konkreten Beobachtung. Wenn Sie beispielsweise Kunde und nicht Hersteller sind – um beim Beispiel der Glühbirne zu bleiben –, möchten Sie vielleicht das Verhalten einer bestimmten Glühbirne untersuchen, anstatt das durchschnittliche Verhalten zu betrachten. Denn beim Kauf möchten Sie schließlich wissen, wie lange sie für Ihren speziellen Zweck hält.
Prognoseintervalle dienen dazu, Zeiträume für eine einzelne zukünftige Beobachtung vorherzusagen. Mit angepassten Formeln lassen sie sich auch für drei oder fünf Beobachtungen berechnen, üblicherweise jedoch nur für eine. Beachten Sie, dass ein Prognoseintervall, wenn Sie von einer 95%igen Wahrscheinlichkeit sprechen, sich auf eine zusätzliche Beobachtung bezieht. Es geht nicht darum, ob alle zukünftigen Beobachtungen innerhalb des Intervalls liegen oder ob es sich nur um eine davon handelt.
Ein Beispiel: Wir sind zu 95 % sicher, dass die Lebensdauer einer neuen Glühbirne zwischen 700 und 1500 Stunden liegt. Diese Sicherheit basiert darauf, dass Sie bei Wiederholung dieses Prozesses in 95 % der Fälle richtig liegen. Hier sind die Formeln: die klassische und diejenige, die Zufallseffekte berücksichtigt (gemischte Modelle).
Dann gibt es noch die Toleranzintervalle. Toleranzintervalle sind strenger als Vorhersageintervalle. Sie werden typischerweise in der Pharma- oder Medizintechnikbranche verwendet, da sie dazu dienen, ein Intervall für einen Anteil zukünftiger Beobachtungen aus der Grundgesamtheit zu erstellen. Dabei möchte man nicht nur einen zusätzlichen Wert, sondern beispielsweise 99 % der zukünftigen Werte umfassen. So kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass es sich um ein ausreichend genaues Intervall handelt.
Nehmen wir beispielsweise an, wir sind zu 95 % sicher, dass mindestens 99 % der zukünftigen Glühbirnen eine Leuchtdauer zwischen 650 und 1550 Stunden haben werden. Damit haben wir gewissermaßen zwei Konfidenzmaße: 95 % und 99 %. Diese Werte repräsentieren die Konfidenz und die Abdeckung. Natürlich können Sie auch andere Werte als 95 % oder 99 % wählen. Dies sind nur Beispiele. Die Konfidenz bezieht sich auf den langfristigen Zeitraum: 95 % der so berechneten Intervalle umfassen mindestens 99 % der zukünftigen Glühbirnenpopulation.
Die erste Formel ist eine typische, die schnell kompliziert wird. Diese Formel stammt aus Fachartikeln und ist meines Wissens die beste Annäherung, die beste Formel, die wir derzeit haben. Sie gilt für den Fall eines einzelnen Zufallseffekts, lässt sich aber verallgemeinern.
Genug geredet. Jetzt geht's endlich zu JMP, wo es interessant wird. Wie gesagt, ich zeige Ihnen zuerst das von mir erstellte Skript. Minimieren Sie es. Das ist die Eingabeoberfläche, die Sie sehen, der Hauptbildschirm. Es gibt zwei Tabs, und wir beginnen mit dem ersten. Damit simulieren wir Daten und die eben besprochenen Intervalle. Wir haben zwei Modelltypen: nur den Mittelwert oder mit einem Zufallseffekt. Beim Mittelwertmodell verwenden Sie die Normalverteilung und die berechneten Grenzen. Sie können den Mittelwert, die Standardabweichung und die Anzahl der zu simulierenden Punkte ändern. All diese Berechnungen laufen im Hintergrund ab.
Sie können die Zusammenhänge untersuchen und experimentieren. Es gibt die Konfidenzintervalle (grüne Linien), die Vorhersagegrenzen (rote Linien) und die Toleranzgrenzen. Hierbei geht es darum, zu sehen, was passiert, wenn ich beispielsweise meine Abdeckung ändere.
Dann werden die Grenzen der Toleranzverteilung enger, oder Sie möchten die 95%ige Abdeckung beibehalten und das Konfidenzniveau ändern. Das Konfidenzniveau beträgt 1 minus 0,5. Wenn ich ein höheres Konfidenzniveau festlegen möchte, beachten Sie beispielsweise die Vorhersageintervalle zwischen -1,8 und 2. Wenn ich mir der Sache sicherer sein möchte, werden die Grenzen breiter. Sie werden breiter, weil Sie dann weniger Fehler in Ihren Schätzungen akzeptieren. Da Sie zu 99 % sicher sind, besteht der Preis dafür darin, dass die Intervalle breiter werden, und das gilt für alle Intervalle.
Natürlich muss man immer ein Gleichgewicht finden zwischen dem, was für einen gut genug ist, der maximal tolerierbaren Ausfallrate und der gewünschten Genauigkeit der Trendprognose.
Wie Sie sehen, können wir hier einfach auf „Simulieren“ klicken. Hier erhalten Sie die tatsächlichen Zahlen; dies dient lediglich zum Ausprobieren. Das Mittelwertmodell funktioniert einwandfrei. Ich wechsle nun zum Modell mit Zufallseffekten, das meiner Meinung nach interessanter ist. Hier haben wir wiederum den Mittelwert und die Standardabweichung. Die Standardabweichung ergibt sich, wie Sie sehen, aus der Variation innerhalb der einzelnen Gruppen – innerhalb der Mittelwerte, innerhalb der Chargen.
Dann gibt es noch die Chargenvarianz, die Sie erhalten, wenn Sie das Varianzverhältnis festlegen. Das Varianzverhältnis gibt an, wie hoch die Chargenvarianz im Verhältnis zur Chargenvarianz ist. Anschließend legen Sie die Anzahl der Chargen und die gewünschte Anzahl an Artikeln pro Charge fest. Ich kann beispielsweise einfach auf „Simulieren“ klicken. Hier sehen Sie es – ich ändere den Wert jetzt wieder auf den Standardwert von 5.
Hier sieht man, dass die simulierten Punkte zwischen den Gruppen variieren. Die Streuung innerhalb jeder Gruppe ist also recht ähnlich, aber es gibt auch Unterschiede zwischen den Gruppen. Das liegt an dem Varianzverhältnis. Wenn ich das Varianzverhältnis verzehnfachen würde, wäre die Variation innerhalb einer Gruppe deutlich geringer als die Variation zwischen den Gruppen.
Nur mal so zum Nachdenken. Das Ganze fing an, als wir mit Kundendaten arbeiteten, die nur wenige Batches und wenige Artikel enthielten. Ich reduziere die Anzahl auf zwei Batches und zwei Artikel und simuliere einige Daten. Ich simuliere noch einmal und erkläre Ihnen gleich, warum. Es ist immer noch knapp. Gleich wird es klar, denn dieses Verhalten tritt typischerweise auf. Ich reduziere das Varianzverhältnis auf 1.
So, jetzt geht's los. Entschuldigung für die Verzögerung. Denn jetzt haben wir… Es ist sehr interessant. Wir haben Konfidenzintervalle. Konfidenzintervalle beziehen sich auf den Mittelwert des Prozesses. Dieser sollte im Vergleich zu den einzelnen Grenzen geglättet sein, aber man sieht, dass die Vorhersagegrenzen innerhalb der Konfidenzintervalle liegen. Bedenken Sie nun, dass die Vorhersagegrenzen Abweichungen aufweisen, die von der Genauigkeit Ihrer Mittelwertschätzung abhängen, plus eine zusätzliche Abweichung aufgrund der Stichprobenziehung. In gewisser Weise sollten sie deutlich breiter sein als die Konfidenzintervalle, doch die geschätzten Werte sind schmaler. Das erscheint intuitiv unlogisch, aber das ist der Preis, den wir für wenige Chargen und wenige Artikel zahlen.
Das Problem ist ungelöst, da diese Formeln auf einer Veröffentlichung von Wiley Medicine basieren. Soweit ich weiß, gehören sie zu den besten Formeln und Methoden, die derzeit verfügbar sind. Man muss sich jedoch bewusst sein, dass Probleme auftreten, wenn man die Grenzen ausreizt, beispielsweise durch die geringe Anzahl an Chargen und Elementen oder die geringe Anzahl an Zufallseffekten. Bei einer geringen Anzahl an Gruppen sind diese Grenzwerte nicht sehr zuverlässig.
Das sollten Sie im Hinterkopf behalten. Schauen Sie sich auch die Toleranzintervalle an, sie scheinen sehr groß zu sein. Diese Toleranzgrenzen werden auch in dem Artikel erwähnt, und dort tritt dieses Problem nicht auf. Ich möchte Ihnen außerdem zeigen, dass Sie den Tab wechseln können, denn wenn Sie hier etwas simulieren, führen Sie die Simulation einmal durch. Klicken Sie dort einmal, dann erneut und simulieren Sie es wieder.
Was aber, wenn Sie den Vorgang mehrmals wiederholen möchten, um einen Überblick über das allgemeine Verhalten zu erhalten? Dann wechseln Sie zu diesem Tab, der dieselben Informationen enthält. Er ist speziell für das Zufallsmodell. Sie können beispielsweise 250 Mal auf die Schaltfläche im letzten Tab klicken. Anschließend klicken Sie auf „Simulieren“ und warten kurz. Die Ausgabe sollte dann bald angezeigt werden. Hier finden Sie allgemeine Diagramme, Histogramme und geglättete Kerndichteschätzungen. Diese geben Ihnen einen Eindruck von der Streuung und der Form der Verteilung der Vorhersage- und Toleranzgrenzen.
Man sieht, dass die Toleranzgrenzen tendenziell größer sind als die Vorhersagegrenzen und die Vorhersagegrenzen wiederum größer als die Konfidenzgrenzen. Das ist in diesem Szenario nachvollziehbar. Ich habe hier außerdem einige Informationen hinzugefügt, die meiner Meinung nach sehr relevant sind. Die Konfidenzgrenzen geben an, in wie viel Prozent der Fälle der tatsächliche Mittelwert innerhalb der Konfidenzgrenzen liegt. In dieser Simulation sollten es 95 % sein; tatsächlich sind es 94,4 %. Das ist ein recht gutes Ergebnis.
Wenn ich die geschätzte Konfidenz angebe, enthalten die Vorhersagegrenzen in 94 % der Fälle einen zusätzlichen Punkt. Ich habe diese Zeile mit einem Sternchen markiert, da es sehr wichtig ist, Vorhersageintervalle nicht auf diese Weise zu verwenden. Da dies jedoch häufig vorkommt, hielt ich es für notwendig, darauf hinzuweisen.
Wenn Sie glauben, ein Vorhersageintervall mit 95%iger Konfidenz zu haben, gehen Sie davon aus, dass 95% Ihrer zukünftigen Stichproben innerhalb dieser Grenzen liegen. Umso ernüchternder wird es sein, festzustellen, dass in diesem Fall mit 95%iger Konfidenz nur 84% Ihrer zukünftigen Population innerhalb der Grenzen liegen. Nur zur Info: Wenn Sie Vorhersagegrenzen auf diese Weise verwenden möchten, seien Sie vorsichtig, da Sie Ihren Schutz möglicherweise überschätzen.
Dann haben wir das geschätzte Konfidenzintervall und die geschätzte Toleranzgrenzenabdeckung. In diesem Fall sollten beide 95 % betragen, was recht gut ist. Beachten Sie dies bitte, insbesondere wenn wir die Varianz erhöhen und die Anzahl der Chargen verringern. Simulieren wir erneut und sehen wir, was passiert. Jetzt haben wir nur drei Chargen mit je 20 Artikeln und ein sehr hohes Varianzverhältnis. Schauen wir uns die Ausgabe an.
„Nehmen wir an, Sie erreichen in diesem Szenario mit einem Vorhersageintervall eine Abdeckung von 95 %. Tatsächlich decken Sie aber nur 57 % ab. Das Intervall ist ausreichend, da es in diesem Szenario, dem es nahe kommt, gut funktionieren soll. Bitte verwenden Sie Vorhersageintervalle jedoch nicht für andere Zwecke. Das war meine Benutzeroberfläche.“
Zum Schluss, wie versprochen, zeige ich Ihnen ein Beispiel für die Datenanalyse. Ich möchte noch einmal auf das Beispiel der Spritzen zurückkommen, über das wir bereits gesprochen haben. Stellen Sie sich folgendes Szenario vor: Sie haben zwei Produktionslinien zur Herstellung der Spritzen, also Linie eins und Linie zwei. Es gibt 40 Chargen. Sie sehen es hier. Wenn wir ganz nach unten scrollen, sehen Sie, dass es 40 Chargen gibt, also 20 pro Produktionslinie, und dass Sie den Durchmesser der Spritzen gemessen haben.
Dies ist Ihre Stichprobe. Sie haben 20 Messungen pro Charge. Wo fangen wir an? Wir beginnen beispielsweise mit der Betrachtung der Verteilung, da es in JMP recht einfach ist, Konfidenzintervalle und Toleranzintervalle zu ermitteln. Sie wählen die Verteilung aus und geben ein Konfidenzintervall von 95 % an. Anschließend können Sie ein Vorhersageintervall, erneut 95 % und schließlich ein Toleranzintervall berechnen. Fertig. Sie haben Ihre Intervalle.
Hier wäre es in Ordnung, aber ich würde zu etwas Vorsicht raten, denn wie besprochen, gehen wir davon aus, dass die Verteilung normalverteilt ist. Das sieht recht gut aus. In der Praxis könnte man es vielleicht als ausreichend betrachten. Lassen wir JMP doch einfach alle möglichen Verteilungen anpassen und uns die beste empfehlen. Einen Moment bitte. Das Ergebnis sollte in Kürze eintreffen.
Man sollte versuchen, die Annahmen so gut wie möglich zu beachten, aber hier sehen wir, dass JMP die Normalverteilung nicht als erste Wahl auswählt. Es wird sogar vorgeschlagen: „Wählen Sie stattdessen eine der folgenden Verteilungen.“ Oder man betrachtet das Histogramm und erstellt ein Normalverteilungs-Quantildiagramm. Liegen die Punkte innerhalb der roten Linien, ist das in der Regel in Ordnung. Je gerader die Kurve, desto besser. Man könnte es vielleicht so hinbekommen, aber sehen wir, wie wir es optimieren können.
Normalerweise gehen wir folgendermaßen vor: Wir wählen „Modell anpassen“. Zunächst geben wir nur den Spritzendurchmesser als Y-Achse ein, sonst nichts. Wenn wir uns dann die Residuen ansehen, stellen wir einige Ungereimtheiten fest. Es scheint zwei Ebenen zu geben. Versuchen wir es erneut. Wir wählen wieder „Modell anpassen“. Diesmal geben wir den Durchmesser ein und fügen wahrscheinlich die Charge als Zufallseffekt hinzu, da uns die Chargen an sich nicht interessieren, wir aber berücksichtigen, dass es Unterschiede zwischen ihnen geben könnte. Wir fügen die Charge als Zufallseffekt hinzu und legen die Produktionslinie bereits fest. Dann klicken wir auf „Ausführen“.
Was sehen wir hier? Die Residuen scheinen nun recht gleichmäßig verteilt zu sein. Es ist keine bestimmte Form erkennbar. Das bedeutet, dass wir mit ziemlicher Sicherheit davon ausgehen können, dass das Modell korrekt ist. Die Produktionslinie scheint einen sehr signifikanten Einfluss zu haben, was bedeutet, dass es Unterschiede zwischen den Produktionsniveaus in Linie 1 und 2 gibt. Warum? Wir wissen es nicht. Es muss einen Grund dafür geben, aber dies zeigt, dass es sinnvoll ist, sie ebenfalls im Modell zu berücksichtigen.
Hier unten betrachten wir die Varianzkomponenten. Wir sehen, welchen Anteil die Varianz zwischen den Chargen und welchen Anteil die Varianz innerhalb der Chargen an der Gesamtvarianz hat. Üblicherweise ziehen wir die Quadratwurzel, um die Standardabweichung für jede Varianzkomponente zu schätzen. Wir sehen, dass sie nahezu gleich groß sind; die Streuung zwischen den Chargen und innerhalb der Chargen ist gleich.
Die einfachste Methode, Konfidenzintervalle zu erhalten, sobald Sie JMP haben, ist die Verwendung des Profilers, denn JMP zeigt Ihnen nun mit den blauen Linien an: „Meine beste Schätzung für Produktionslinie 1 ist, dass der Durchschnitt 10,29 beträgt, aber mit 95%iger Wahrscheinlichkeit liegt er zwischen 10,27 und 10,30. Für Produktionslinie 2 würden Sie eine Schätzung von 10,19 erhalten, aber mit 95%iger Sicherheit liegt er zwischen 10,18 und 10,20.“
Wenn Sie Vorhersageintervalle benötigen, können Sie diese hier anfordern. Wie bereits erwähnt, handelt es sich um eine komplexe Formel. Für jede Produktionslinie erhalten Sie nun die Daten einer einzelnen Spritze von Produktionslinie 1. Wenn Sie eine neue Spritze entnehmen, liegt die beste Schätzung mit 95%iger Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 10,21 und 10,36. Für Produktionslinie 2 liegen Ihnen weitere Werte vor. Sie können diese jederzeit speichern. Wenn Sie Spalten speichern, beispielsweise die einzelnen Konfidenzintervalle, werden diese Werte in Ihrer Datentabelle gespeichert und stehen Ihnen zur Verwendung bereit.
Ich lösche sie jetzt erst einmal, da ich Ihnen gleich zeigen werde, wie wir das mit einem von uns erstellten Skript angehen. Es ist ein weiteres Skript, also öffnen wir es. Es handelt sich eigentlich um einen Workflow. Sobald wir mit einem Modell zufrieden sind – und das ist der erste Schritt –, klicken wir einfach auf „Starten“. Das Skript bzw. der Workflow liefert Ihnen dann die richtigen Ergebnisse. Es läuft einfach. Wir müssen ihm etwas Zeit geben. Am Ende erhalten Sie eine Ausgabe mit Steuerungstabellen.
Sie sehen, dass die Informationen aus Ihrer Datei kopiert und anschließend zahlreiche neue Spalten berechnet werden. Am einfachsten erhalten Sie die gewünschten Ergebnisse, indem Sie auf das Skript „Kontrollgraphgrenzen“ klicken. Dadurch erhalten Sie eine entsprechende Ausgabe. Der Vorteil hierbei ist, dass Sie nun Toleranzintervalle sowie Konfidenzintervalle basierend auf Ihrem Modell berechnet haben. Da Ihr Modell den festen Effekt der Produktionslinie berücksichtigt, erhalten Sie zwei unterschiedliche Grenzwertsätze: einen für Produktionslinie 1 und einen für Produktionslinie 2.
Wenn wir uns einen einzelnen Wert ansehen, hängt die Interpretation davon ab, wie hoch das Konfidenzniveau ist… Ich schaue mal nach, wie hoch es ist: 0,05. Das ist allerdings einseitig. Wenn ich es zweiseitig machen würde, könnte ich das so machen. Jedenfalls können wir jetzt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit sagen, dass mindestens 99,73 % der zukünftigen Bevölkerung aus Linie 1 – also die von uns festgelegte Abdeckung – innerhalb dieser beiden Linien liegen werden. Dasselbe gilt für Produktionslinie 2.
Da wir innerhalb der Spezifikationsgrenzen liegen, haben wir bestmöglich bewiesen, dass wir ein angemessenes Qualitätsniveau einhalten. Sollten Sie außerhalb der Spezifikationen liegen, könnten Sie sich Sorgen machen. Dies könnte bedeuten, dass Ihr Prozess nicht optimal ist, aber auch, dass Sie einfach mehr Daten erfassen müssen, da sich die Grenzen mit zunehmender Datenmenge weiter verengen. Das war meine Präsentation. Ich hoffe, Sie konnten etwas daraus mitnehmen. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
