在半導體產業中，測量系統分析 (MSA) 對於評估測量品質至關重要。大多數 MSA 指標，尤其是精度/公差比 (P/T)，都隱含地假設資料服從常態分佈，其中 +/- kσ 覆蓋了分佈的給定百分比。然而，在參考文件（AIAG MSA 手冊）中，並沒有針對非常態資料的替代計算方法，因此很難找到一種能夠適用於分佈差異極大的參數的簡單方法。
我們提出了兩種計算簡單且與分佈無關的方法，它們能夠涵蓋我們在置信水準下設定的分佈百分比。第一種方法利用Bienaymé-Tchebychev不等式來精確定義k-sigma型公式中的標準差個數。第二種方法則分別計算公式左右兩側的半個標準差，以便在非對稱分佈的情況下獲得更好的覆蓋率。
大家好。我叫弗朗索瓦·貝爾蘭，在法國圖盧茲的恩智浦半導體公司工作。
弗朗索瓦·貝爾熱雷在法國學習第一本功課。我們是一家統計諮詢公司。
今天我們將討論非常態資料情況下的測量系統分析。本次演講的議程如下：首先，我們將探討業務背景。我將以汽車雷達為例，講解驗證在半導體領域的意義。然後，我將回顧測量系統分析的基本概念。接下來，我將分享一些非常態分佈的案例，並介紹兩種解決方案。
方案一基於比納梅-切比雪夫不等式。我將在此框架下給出一些驗證建議。方案二基於半標準差。我們將分享計算過程、應用案例、JMP公式，並提出一種用於異常值檢測的推廣方法。
我們來聊聊雷達在汽車領域的應用。雷達是無線電偵測和測距的縮寫，是自動駕駛汽車和提升行車安全的關鍵技術。車載雷達可以提供車輛的位置、速度以及與道路上其他車輛的相對角度。它具有諸多優勢：價格低廉、堅固耐用、能夠偵測到被遮蔽物體，而且與攝影機相比，不受天氣和光照條件的影響。
如圖所示，短程和中程雷達有一些應用。它可以輔助停車和交叉路口交通預警。中程雷達可以幫助進行盲區偵測，而遠端雷達則可以輔助自適應巡航控制和自動緊急煞車等功能。
現在來說說半導體開發中的驗證環節。在半導體汽車領域，我們採用V模型進行開發。 V模型代表驗證和確認，是一種開發新產品的方法。 V的左側部分是定義和分析需求，本質上是對即將推出的產品進行規格。接下來是實現階段。 V的右側部分則表示我們需要評估產品是否符合規範要求。換句話說，我們需要對產品進行測試。
在汽車產業，驗證指的是晶片上的測試。驗證的作用是什麼？驗證的目的是確認產品是否符合規定的要求。驗證通常包括晶片上的測試和測量。接下來，我們來談談測量系統分析（MSA）。為什麼測量系統分析如此重要？
假設我們有一個參數，它有規格下限和規格上限。驗證工程師測量了一個值，比如說，我們測試一個零件，得到的結果在這個圖表中標記為十字。十字標記位於規格限值內。我們得出結論，測試結果符合規格。但是，假設存在這樣一個距離。這個範圍代表了您所使用測量系統的精確度。
如果由於測量不確定性而測得某個值，那麼產品的真實值可能實際上超出規格限值。即使測試結果顯示符合規格，但由於測量精度問題，真實值也可能超出規格。這就是為什麼測量系統分析 (MSA) 以及評估測量系統的精確度或誤差如此重要的原因。
有兩種情況。一種情況是，零件的實際尺寸可能遠遠超出規格，但由於測量誤差，我們實際測量的結果卻在規格範圍內。另一種情況是，零件的真實值可能在規格範圍內，但由於測量精度問題，測量結果卻超出規格範圍。
第一種情況對應於一個被判定為合格但實際品質不佳的部件，這代表客戶風險或品質問題。第二種情況對應於一個被判定為合格但實際品質不佳的零件，這代表生產者風險和預期產量損失。
MSA主要基於量具重複性和再現性（Gage R&R），用於評估測量系統的變異性。 Gage R&R代表重複性和再現性。重複性是指同一測量人員進行測量時的變異程度，再現性是指不同測量人員進行測量時的變異程度。
測量系統分析的主要指標是精度/公差比（P/T），預期值小於10%。我們可以將測量系統的準確度視覺化，例如測量總方差，它是再現性方差與重複性方差總和。
指標 P/T 的公式定義為：透過量具重複性和再現性 (Gage R&R) 實驗研究獲得的測量值的六西格瑪值除以規格寬度的百分比。這裡使用六西格瑪是因為它實際上是正負三個西格瑪，對於常態分佈而言，這對應於 99.73% 的置信水準。但這是在常態分佈假設下進行的。
以下是一些在驗證過程中進行的實際驗證測量案例。驗證並非生產環境。我們只能接觸到少量零件，而不是成千上萬個產品零件。我們不會像汽車產業測量規範中定義的那樣進行完整的量具重複性和再現性 (Gage R&R) 研究。我們通常只有一個零件。我們會進行大約 30 次重複測量，並且確實觀察到非常態分佈的情況，正如我在繪製常態分位數圖的兩個範例中所示。您可以看到 Shapiro-Wilk 和 Anderson-Darling 適合度檢定的結果，這兩個參數的結果都非常顯著。
這裡我們面臨兩個參數不服從常態分佈的情況。但我們仍然需要估計量具重複性和再現性 (Gage R&R) 以及 P/T。問題是，標準公式「測量值的 sigma 的六倍除以規格容差」是否仍然適用？這個參考公式在非常態資料集的情況下是否仍然有效？為此，我們提出了兩種替代方案。第一種方案基於 Bienayme-Tchebychev 不等式。
設 X 為具有有限非零方差的隨機變數。那麼，對於任何大於零的實數 k，變數減去平均值，換句話說，變數與平均值之間的偏差大於 K 倍標準差的機率小於或等於 1/K 的平方。
這種不等式令人驚訝之處在於它與分佈無關。我們不必處理，也不必擔心分佈是否符合常態分佈。
讓我們看看在我們的例子中會得到什麼結果。 Kσ 代表 3K3σ。超出平均值 K 個標準差的最大百分比。超出平均值三個標準差。根據比納梅-切比雪夫不等式，超出平均值四個標準差的百分比為 11%。它永遠不會超過 6.25%。對於五個標準差，它是 4%，依此類推。直到十個標準差的情況，它保證不會有超過 1% 的總體超出十個標準差。
但我們需要記住，基於常態分佈的六西格瑪加減三西格瑪的標準 P/T 公式，無論分佈類型如何，都能保證 90% 的置信水準。我想說的是，如果我們應用貝納梅-切比雪夫不等式並採用三西格瑪，實際上也能達到 90% 的置信水平，而無需考慮分佈類型。這很好，因為與生產測量系統相比，我們並不需要如此高的置信水準。我們目前仍處於驗證階段。
是的，我們已經進行了驗證。我們目前處於開發階段，而非生產階段。我的建議是在公式中使用 K 等於 4，這樣基於貝納梅-切比雪夫不等式，置信水準就能接近 95%。再次強調，這與分佈類型無關。這使得我們無需驗證資料集的常態性，即使資料集不服從常態分佈，我們仍然可以憑藉這個不等式，以 95% 的置信水準評估測量系統的精確度。
然而，由於分佈未知，此不等式通常只能給出較差的界限。我們不妨回顧一下，對於常態分佈，±3σ 等於 99.73%，遠高於我們這裡的目標值。如果需要更高的置信水平，我們還有第二種解決方案。接下來，我將請弗朗索瓦為大家解釋。
謝謝你，貝蘭德。謝謝你，弗朗索瓦。
我們將嘗試得到比貝納梅-切比雪夫不等式更精確一些的結果，儘管貝納梅-切比雪夫不等式是普適的。這是一個非常好的結果，可以應用於電氣測試數據。我們稱之為半矩。半矩衡量的是資料的標準離散程度，但僅限於分佈的一側，即分佈的右側或左側。根據定義，半矩可以處理非對稱分佈。當然，非常態資料通常意味著非對稱資料。半矩分為右半矩和左半矩。
關於理論。我研究了一下這個理論。它相當複雜，涉及到複數 i。當然，我不會在這裡深入探討這個理論。但是，關於半矩，還有一種替代方法，叫做半標準差。半標準差對於 NXP 和 Francois 的目標非常有用。我們的矩是什麼？這裡是左標準差半矩的簡單公式。
好的，您可以看到它與標準差的公式非常相似。但是左側是給定數量的數據點。左側表示低於平均值。我們計算左側數據點與平均值之差的平方和。請注意，y 軸表示全域平均值。它不是左均值或右均值，而是所有資料的全域平均值。這很自然。當然，右側的左標準差和右標準差是相同的。好的。
完成計算後，您可以對任何非對稱分佈進行建模並計算置信區間。這裡，我們在使用這個預測公式時還有一個額外的假設。您可以看到，Z 是常態分佈的分位數。這或許令人驚訝，但我們假設我們有一個非對稱分佈。然而，在分佈的左右兩側，存在某種程度的偏斜，類似於常態分佈。因此，我們可以應用這個公式，這是一個使用常態分佈 Z 的標準公式。當然，預測區間不會是對稱的，因為通常對於非常態數據，根據定義，左 σ 和右 σ 並不相等。這就是關鍵所在。
現在我來看下一張投影片。這裡有一個例子，我們有一個非常態分佈。這是一份電氣測試數據。分位數圖顯示了非常態性。我們也能在直方圖中看到這一點。我們計算了正負三個標準差。但是我們有左側標準差和右側標準差。這就是我們在這個分佈中看到的情況。
平均值接近此處的值。分佈的偏斜主要集中在右邊。在這種情況下，右側標準差大於左側標準差。您可以看到預測結果。這是一個等效於 99.7% 的預測區間，其右側比左側更寬。
有趣的是，這個值非常接近預測極限，因為左側的σ值很低。我們可以看到，左側存在一個非常小的偏態分佈區域，而這個點與預測極限相距甚遠。相較之下，我們能夠在一定程度上對這個點進行建模。
現在我將以 JMP 來示範一下，為了繼續並推廣 François 定義的 P/T 比率，我們定義一個非常態 P/T 比率，即左側 3σ 加上右側 3σ 除以容差。這顯然是相同的公式。但是，分子中沒有 6σ，而是左側 3σ 和右側 3σ。
在此範例中，分佈的左側偏斜非常重要。因此，左側標準差明顯高於右側標準差。可以看到，我們稱之為預測極限 LPL 的預測極限明顯位於上限的左側。這樣，無論分佈是否服從常態分佈，我們都能涵蓋超過 99% 的分佈，它適用於任何分佈。就像貝納梅-切比雪夫分佈一樣，它具有普適性。
下一張投影片。舉個例子。這裡再加一點挑戰。通常情況下，當分佈不對稱時，只有一個規格限值。例如，我們可以以漏電流為例。由於漏電流值過高會帶來危險，因此只有一個較高的規格限值。另一方面，或者在這個例子中，我們只有一個較低的規格限值。在這種情況下，我們當然不會再增加一個限值。只有一個規格限值，我們就用這一個限值來處理。在這種情況下，P/T 公式需要進行一些調整，即分子為 3σ。在本示範中，我們所說的 σ 始終指的是測量 σ。 3σ 除以等效的半容差，也就是平均數減去下限。這是一個標準公式。但不同之處在於，這裡我們應用的是 σf 而不是 σ。
這個例子很有意思。我們再次使用NXP提供的真實數據，可以看到，這是一個明顯的非對稱分佈。左側的σ值更高。機率密度呈偏態分佈，左側明顯較高。因此，左側三個σ值（我們稱之為預測下限）相對於預測上限而言更靠左，這並不奇怪。
這裡，如果我們觀察非常態分佈的 P/T，它實際上是平均值與預測下限的比值。這個範圍是透過除以平均值與規格下限之差得到的。這就是比值。在這個例子中，P/T 為 75%。這意味著左側測量系統的全域離散度超過了左側公差的 50%。當然，這是一個糟糕的結果，因為在汽車產業，我們需要將這個值控制在 10% 以下。這是一個很好的例子，展示了我們可以做些什麼。
僅供參考，如果我們不使用非常態分佈 P/T，而是使用標準公式，那麼用 JMP 計算的結果（我會向您展示）將是 43%。結果就是 43%。這顯然與 75% 不同。
現在我將用 JMP 做個示範。抱歉。謝謝。 JMP 的小演示。開始了。我要打開兩個文件。我要開啟一個匿名檔案。你看到的 X1、X2、X3 等等是電氣測試資料的結果，像是電流洩漏等等。我們會看到其中大部分資料都不符合常態分佈。首先，我們可以看一下其中的一些參數。這裡是一些參數。例如，第一個參數顯然不符合常態分佈。當然，JMP 的功能非常強大。
例如，我們可以嘗試建模。我們收集了非常多的分佈數據。我們發現它不是常態分佈。為什麼不試試柯西分佈呢？但是柯西分佈在這種情況下效果不太好。我們再試試別的。你喜歡哪一個？我們可以試試指數分佈。指數分佈。好的。藍色的那個顯然表現很差。試圖用理論分佈來擬合這些經驗數據真是一項艱鉅的任務。
你知道嗎？此外，即使我找到了一個擬合參數 X1 的良好分佈，顯然它對 X3、X4 也不適用。例如，對於 X4，我們試試柯西分佈。效果很差。即使效果還不錯，我們也可以嘗試其他方法。例如，我們可以試試 beta 分佈。 beta 分佈的效果也不好。好吧。總之，這非常費力。我們可以採用的第二個方法是，對分佈進行建模並計算分位數，使其等效於 P/T 公式中的六西格瑪，即使用我們所說的擬合平滑曲線。
平滑曲線是一種非參數資料建模方法，在某些情況下可能效果很好，但在這裡，在驗證階段，我們遇到了兩個問題。首先，我們的樣本量非常小。例如，他們只進行了15次重複實驗，樣本數只有15，非常小。我們知道，非參數估計，特別是分佈估計，需要大樣本。顯然，在驗證階段，這樣的樣本量是不夠的。平滑曲線無法很好地發揮作用。此外，在如此小的樣本量下，平滑處理對異常值非常敏感。我們不想移除這些異常值，因為它們是測量分析誤差的一部分，我們無法移除它們。
綜上所述，使用標準方法擬合非分佈資料非常困難，而非參數擬合也不適用。我們需要另一種解決方案。 R Sigma 是一個簡單的解決方案，因為 NXP 正在尋找一種無需進行大量複雜統計計算的簡單方案。
我們來看看。我要開啟一個在ippon開發的GSL腳本。我得找到一個GSL精英。我運行GSL腳本，它提示我打開一個檔案。這裡我想評估一下測量系統分析，包括所有這些參數和電氣測試。預設值是3？3加3當然是6。這是預設值。
我們觀察到了什麼？第一個分佈與常態分佈相去不遠。我們在分位數圖中可以看到這一點。我們已經有了完整的分佈。這是 X15。如果我回到 X1，很明顯 X1 不是常態分佈，我們可以看到這一點。 X2 也不是常態分佈。我們顯然看到的是一個右偏分佈。 X4 是離散分佈，類似於加一分佈。它並不完全是常態分佈，也許 X9 可以算是接近常態分佈。 X10 顯然不是常態分佈。它顯然不是常態分佈，以此類推。
我們有一組參數，包括電氣測試和分配情況。現在我們要輸入規格限值。我們先從 X1 開始。例如，對於 X1，我們知道規格限值是 25 和 28。這裡我輸入 25 和 28。我們有兩個規格限值，這裡的 P/T 比是 39%。不太好。雖然不至於災難性的，但也不太理想。
這裡我們展示了 P/T 比率，它表示測量偏差範圍的比率。這裡的 sigma 僅指測量 sigma 值，與客戶預期值進行比較。這裡的公差區間為 USL 減去 LSL。藍色曲線與紅色曲線的偏差為 39%，較不理想。需要製定改進計劃來優化測量系統。但這又是另一個話題了。
現在我們來看看 X2 的非常態分佈，它的分佈呈現右偏態。我們只輸入 X2 的值。危險區域在右側，右側只有一個規格限值。我們輸入右邊的規格限值，也就是點 2。點 2 在這裡。比較一下平均數和藍線之間的區間，以及平均數和紅線之間的區間。這裡是 34%。不太好。但是很抱歉，我這裡弄錯了。規格限值應該是 0.5。抱歉。
這裡有更清晰的圖示。這是測量系統偏差與規格的比值。假設我們有一個正確的 P/T 值，是 12%。無論如何，您可以直接輸入一個規格限值。我再輸入一個。我們來找找。是的，這個值是 X10。我們要輸入的規格限值，我記得是 X10。我們有一個規格限值是 30。我來找 X10。較低的規格限值是 10。抱歉，我弄錯了。我們有一個非常好的 P/T 比。我想應該是 10。不好意思。不過沒關係。規格限值設為 10 時，我們有一個非常好的 P/T 比值。
總之，這個計算非常簡單。我們用GSL腳本實現了這個計算，因為GSL的互動性和圖形使用者介面非常出色，而且計算本身也很簡單。這是用PowerPoint示範的版本。
我們回到簡報。就是這裡。我切換回全螢幕模式。抱歉。我們就在這裡結束。簡報的第一部分非常有趣，因為貝納梅-切比雪夫不等式實際上對任何類型的分佈都是一種保障。它可以確保分佈中很大一部分資料落在最小值加減 K 個標準差的範圍內。弗朗索瓦舉例說明，4 個標準差已經可以很好地涵蓋接近 95% 的分佈範圍。如果想要更精確的結果，可以使用標準差。
我最近發現了這個方法。它很有前景，因為它考慮了任何分佈的非對稱性，而且在多個測試資料集上的初步結果也非常令人鼓舞。一個應用方向是將其應用於異常值檢測。不過，這或許可以作為未來演講的主題。我要感謝 Nikolaus Kourentzesa 提出的半矩概念。他是瑞典的統計學教授，他正在研究這些主題以及一本（ippon）。感謝 Charly Marty 提供的非常優秀的 GSL 腳本。謝謝大家的關注。
非常感謝。
