El análisis de sistemas de medición (MSA) es fundamental en la industria de semiconductores para estimar la calidad de las mediciones. La mayoría de los indicadores de MSA, especialmente la relación precisión-tolerancia (P/T), asumen implícitamente una distribución normal, con +/- kσ cubriendo un porcentaje determinado de la distribución. En los documentos de referencia (Manual de MSA de AIAG), no se ofrecen cálculos alternativos para datos no normales, y es difícil encontrar un método sencillo que se adapte a parámetros con distribuciones muy diferentes.
Presentamos dos métodos, con cálculos sencillos e independientes de la distribución, que cubren el porcentaje de distribución establecido para nuestro nivel de confianza. El primer método utiliza la desigualdad de Bienaymé-Tchebychev para definir correctamente el número de desviaciones estándar en una fórmula de tipo k-sigma. El segundo método utiliza el cálculo de la mitad de la desviación estándar a la derecha y a la izquierda para una mejor cobertura en el caso de una distribución asimétrica.
Los dos métodos se aplican en muchas pruebas eléctricas con fórmulas JMP y pueden generalizarse para la detección y eliminación de valores atípicos.
Hola a todos. Me llamo François Berland y trabajo para NXP Semiconductors en Toulouse, Francia.
François Bergeret Ippon, estudiante de francés. Trabajamos en una empresa de consultoría estadística.
Hoy hablaremos sobre el análisis de sistemas de medición en el caso de datos no normales. El programa de esta presentación es el siguiente. Primero, abordaremos el contexto empresarial. Hablaré sobre el radar automotriz y el significado de la validación en el mundo de los semiconductores. Después, les daré un repaso sobre el análisis de sistemas de medición. Después, compartiré algunos casos de distribuciones no normales para las que tenemos dos soluciones.
La primera solución se basa en la desigualdad de Bienaymé Tchebychev. Ofreceré algunas recomendaciones para la validación en ese contexto. La segunda solución se basa en la mitad de la desviación estándar. Compartiremos cálculos, aplicaciones, fórmulas JMP y propondremos una generalización de este método para la detección de valores atípicos.
Hablemos del radar en aplicaciones automotrices. Radar significa detección y alcance por radio. Es un factor tecnológico clave para los vehículos autónomos y para una mayor seguridad. El radar en los automóviles proporciona la posición, la velocidad y el ángulo del vehículo de múltiples objetivos en relación con otros vehículos en la carretera. Tiene varias ventajas: es económico, robusto, puede detectar la presencia de objetos ocultos y, a diferencia de las cámaras, no se ve afectado por las condiciones climáticas ni de iluminación.
En la imagen se pueden ver algunas aplicaciones del radar de corto y medio alcance. Puede ayudar con el asistente de estacionamiento y la alerta de tráfico cruzado. En el caso del radar de medio alcance, ayuda con la detección de puntos ciegos, y en el de largo alcance, con el control de crucero adaptativo y el frenado automático de emergencia, por ejemplo.
La validación se aplica al desarrollo de semiconductores. En el sector automotriz, utilizamos el desarrollo del modelo en V. Este modelo significa verificación y validación. Es una forma de desarrollar nuevos productos. El brazo izquierdo de esta V consiste en definir y analizar los requisitos. Básicamente, se especifica el producto futuro. Luego viene la implementación. El segundo brazo de la V indica que debemos evaluar si el producto cumple con los requisitos de la especificación. En otras palabras, realizamos pruebas en los productos.
En el sector automotriz, la validación se refiere a las pruebas en silicio. ¿Cuál es la función de la validación? La validación consiste en verificar que el producto cumple con los requisitos especificados. La validación generalmente incluye pruebas y mediciones en silicio. Hablemos ahora del análisis de sistemas de medición MSA. ¿Por qué es importante el análisis de sistemas de medición?
Consideremos este caso: tenemos un parámetro con un límite inferior y un límite superior de especificación, y el ingeniero de validación mide un valor. Por ejemplo, probamos una pieza y obtenemos un resultado donde la cruz está en este gráfico. La cruz está dentro de los límites de especificación. Concluimos que el resultado de la prueba cumple con las especificaciones. Pero supongamos esta distancia. Este rango representa la precisión del sistema de medición que se utiliza.
Si ha medido un valor aquí debido a la incertidumbre de la medición, el valor real del producto podría estar fuera del límite especificado. Incluso si el resultado de la prueba indica que cumple con las especificaciones debido a la precisión de la medición, el valor real podría estar fuera de ellas. Por eso es tan importante el MSA y la evaluación de la precisión o el error del sistema de medición.
Hay dos casos. Una pieza puede estar realmente fuera de especificación, pero debido a un error de medición, la medimos dentro de ella. Por otro lado, el valor real de la pieza podría estar dentro de la especificación, pero podría medirse fuera de ella debido a la precisión de la medición.
El primer caso corresponde a una pieza defectuosa que se consideraría buena, lo que representa un riesgo para el cliente o problemas de calidad. El segundo caso corresponde a una pieza buena que se considera mala, y representa un riesgo para el productor y una pérdida de rendimiento esperada.
El MSA se basa principalmente en el Gage R&R, que permite estimar la variación de un sistema de medición. El Gage R&R se refiere a la repetibilidad, que es la variación en las mediciones realizadas por un solo operador de instrumento, y a la reproducibilidad, que es la variación en las mediciones realizadas por diferentes operadores de instrumentos.
La métrica principal para el análisis del sistema de medición es el porcentaje de P sobre T para la precisión sobre la tolerancia, y se espera que sea inferior al 10 %. Podemos visualizar la precisión del sistema de medición, como la varianza total de la medición, que es la suma de la varianza de la reproducibilidad más la varianza de la repetibilidad.
La fórmula de la métrica P sobre T se define como seis sigma de la medición obtenida mediante el Estudio Experimental de R&R de Gage, dividido entre el ancho de especificación en porcentaje. Seis sigma se utiliza aquí porque, en realidad, equivale a más o menos tres sigmas, y para una distribución normal corresponde a un nivel de confianza del 99,73 %. Sin embargo, esto se basa en el supuesto normal.
Aquí se presentan algunos casos reales de mediciones de validación realizadas en validación. La validación no es producción. Solo tenemos acceso a unas pocas piezas, no a miles de piezas de productos. No realizamos un estudio completo de Gage R&R, tal como se define en las especificaciones de medición de la industria automotriz. Normalmente, solo contamos con una pieza. Realizamos unas 30 repeticiones y observamos casos de distribuciones no normales, como se muestra en los dos ejemplos donde tracé el gráfico de cuantiles normales. Se puede observar la prueba de bondad de ajuste tanto para Shapiro-Wilk como para Anderson-Darling, que es muy significativa para ambos parámetros.
Aquí nos encontramos con dos casos de parámetros que no siguen una distribución normal. Aun así, queremos estimar el R&R de Gage y la P sobre T. La pregunta es: ¿la fórmula estándar de seis veces la sigma de la medición dividida entre la tolerancia de especificación? ¿Sigue siendo válida esta fórmula de referencia en el caso de un conjunto de datos no normal? Para ello, proponemos dos alternativas y dos soluciones. La primera se basa en la desigualdad de Bienaymé-Tchébychev.
Sea X una variable aleatoria con una varianza finita distinta de cero. Entonces, para cualquier número real k mayor que cero, la probabilidad de que la variable menos la media (es decir, que la variable se aleje de la media en más de K veces sigma) es menor o igual a uno sobre K elevado al cuadrado.
Lo sorprendente de esta desigualdad es que es independiente de la distribución. No tenemos que lidiar con la normalidad de la distribución.
Veamos qué da en nuestros casos. K sigma para 3K3 sigma. El porcentaje máximo más allá de K desviaciones estándar de la media. Tres desviaciones estándar de la media. Según la desigualdad de Bienayme-Tchebychev es del 11%, más allá, digamos, de cuatro sigmas de la media. Nunca puede ser mayor que el 6,25%. Para cinco sigma es del 4%, y así sucesivamente. Hasta este caso de diez sigma, que garantiza que no más del 1% de la población lo superará, estará por encima de diez sigma.
Pero recordemos que la fórmula estándar de P sobre T, basada en seis sigma más menos tres sigma en una distribución normal, garantiza un nivel de confianza del 90 %, independientemente del tipo de distribución. Lo que quiero decir es que si aplicamos la desigualdad de Beinayme-TchebyChev con tres sigma, podemos alcanzar un nivel de confianza del 90 %, independientemente del tipo de distribución. Esto es positivo, ya que no necesitamos un nivel de confianza tan alto en comparación con los sistemas de medición de producción. Aún estamos en fase de validación.
Sí, tenemos validación. Estamos en desarrollo, no en producción. Mi recomendación sería usar K igual a cuatro en nuestra fórmula para alcanzar un nivel de confianza basado en la desigualdad de Beinayme-Tchebychev cercano al 95 %. Esto aplica independientemente del tipo de distribución. Esto elimina la necesidad de verificar la normalidad del conjunto de datos y, en caso de un conjunto de datos no normal, aún podemos evaluar la precisión del sistema de medición con un nivel de confianza del 95 %. Gracias a esta desigualdad.
Sin embargo, la desigualdad generalmente da un límite deficiente, ya que se desconoce la distribución. Recordemos que, en el caso de la distribución normal, más menos tres sigma equivale al 99,73 %, que es mucho mayor que nuestro objetivo. Si se requiere un nivel de confianza mayor, tenemos una segunda solución. Dejaré que François se la explique.
Gracias, Berland. Gracias, François.
Intentaremos obtener algo un poco más preciso en comparación con la desigualdad de Beinayme-Tchebychev, aunque esta desigualdad es universal. Es un resultado muy útil que podemos aplicar a datos de pruebas eléctricas. La idea es lo que llamamos semimomento. El semimomento es una medida de la dispersión estándar de los datos, pero solo en un lado, ya sea en el lado derecho o en el lado izquierdo de la distribución. Por definición, con el semimomento se pueden tratar distribuciones asimétricas. Por supuesto, con frecuencia, los datos no normales implican datos asimétricos. Existe un semimomento derecho e izquierdo.
Sobre la teoría. La revisé. Es bastante compleja usando el número complejo i. Por supuesto, no la analizaré aquí. Pero existe una alternativa para el semimomento llamada semidesviación estándar. Esta semidesviación estándar es muy útil para el objetivo de NXP y François. ¿Cuál es nuestro momento? Aquí tienen la fórmula, muy simple, del semimomento para la sigma izquierda.
Bien, como pueden ver, es muy similar a la fórmula de la desviación estándar. Pero a la izquierda hay un número determinado de puntos. A la izquierda significa menor que la media. Calculamos la suma de los cuadrados entre el punto de la izquierda y la diferencia de cuadrados con la media. Tengan en cuenta que la barra y es una media global. No es una media izquierda o derecha, sino la media global de todos los datos. Esto es bastante natural. La sigma izquierda y la sigma derecha son, por supuesto, las mismas en la derecha.
Una vez hecho este cálculo, puedes modelar y calcular un intervalo de confianza de límite de confianza para cualquier distribución no simétrica. Aquí tenemos una suposición adicional cuando usamos este intervalo de fórmula de predicción. Verás que Z es el cuartil de la distribución normal. Puede parecer sorprendente, pero aquí asumimos que tenemos una distribución no simétrica. Sin embargo, a la derecha y fuera de la izquierda tenemos algún tipo de sesgo, como una distribución normal. Bien. Por esa razón, podemos aplicar esta fórmula, que es una fórmula estándar con la Z de la distribución normal. Pero, por supuesto, el intervalo de predicción no será simétrico porque, por lo general, para datos no normales, por definición, sigma izquierda y sigma derecha no son lo mismo. Esa es la idea.
Ahora paso a la siguiente diapositiva. Aquí tenemos un ejemplo de distribución no normal. Se trata de datos de una prueba eléctrica. El gráfico de cuantiles muestra una distribución no normal. También lo vemos en el histograma. Tenemos un cálculo con un valor de +/- tres sigma. Pero tenemos sigma a la izquierda y sigma a la derecha. Esto es lo que vemos en esta distribución.
El promedio se acerca a este valor. La distribución se inclina principalmente hacia la derecha. En ese caso, sigma derecha es mayor que sigma izquierda. Se puede observar la predicción. Este intervalo de predicción es equivalente al 99,7 %, más amplio a la derecha que a la izquierda.
También es interesante que este valor esté muy cerca del límite de predicción, ya que la sigma restante es baja. Podemos observar que queda una distribución sesgada muy pequeña, y este punto está bastante lejos. En comparación con esto, podemos modelar este punto hasta cierto punto.
Ahora les mostraré con un JMP. Para continuar y generalizar la razón P/T definida por François, definimos una razón P/T no normal que es simplemente tres sigma a la izquierda más tres sigma a la derecha dividido entre la tolerancia. Es claramente la misma fórmula. Pero no tenemos seis sigma en el numerador. Tenemos tres sigma a la izquierda y tres sigma a la derecha.
En la ilustración, la asimetría de la distribución a la izquierda es muy importante. Por lo tanto, sigma izquierda es claramente mayor que sigma derecha. Se observa que el límite de predicción (LPL) está claramente a la izquierda en comparación con el límite superior. Con esto, cubrimos aproximadamente más del 99 % de la distribución, independientemente de la normalidad o de cualquier distribución; funciona en cualquier distribución. Al igual que el método de Beinayme-Tchebychev, esto es universal.
Siguiente diapositiva. Un ejemplo. Un pequeño desafío adicional, digamos. Muy a menudo, cuando se tiene una distribución no simétrica, solo se tiene un límite de especificación. Por ejemplo, podemos tomar el ejemplo de la corriente de fuga. Solo hay un límite de especificación más alto porque el peligro está en el valor alto de fuga. En el otro extremo o en este ejemplo, solo tenemos un límite de especificación más bajo. En ese caso, por supuesto, no inventaremos otro límite. Tenemos un límite de especificación, luego trabajamos con un límite de especificación. En ese caso, hay una adaptación de la fórmula P sobre T, que aquí solo tenemos en el numerador tres sigma izquierda. Cuando decimos sigma en esta presentación, siempre es sigma de medición. Tres sigma izquierda dividido por el equivalente de la mitad de la tolerancia, bien. La media menos el límite inferior. Esta es una fórmula estándar. Pero la diferencia aquí es que aplicamos la fórmula estándar con sigma f y no sigma.
Este ejemplo es muy interesante. De nuevo, con datos reales proporcionados por NXP, lo que vemos es una distribución claramente asimétrica. Vemos que el sigma izquierdo es mayor. Tenemos una densidad de probabilidad sesgada claramente mayor a la izquierda. No es sorprendente que tres sigmas izquierdos. A este límite inferior de predicción, que en realidad está a la izquierda en comparación con el límite superior, se le llama límite inferior de predicción.
Si observamos la P sobre T no normal, se trata simplemente de la razón entre la media y el límite inferior de predicción. Este rango se compara dividiendo la diferencia entre la media y el límite inferior de especificación. Esta es simplemente la razón. En este ejemplo, tenemos una P sobre T del 75 %. Esto significa que la dispersión global del sistema de medición a la izquierda cubre más del 50 % de la tolerancia de la izquierda. Por supuesto, este es un mal resultado, ya que necesitamos que este valor sea inferior al 10 % en la industria automotriz. Este es un excelente ejemplo de lo que podemos hacer.
A título informativo, si no usamos la P sobre T no normal, si se usa una fórmula estándar, el resultado que podemos calcular con JMP (como les mostraré) es del 43 %. El resultado es del 43 %. Claramente diferente al 75 %.
Ahora haré una demostración con JMP. Disculpen, gracias. Una pequeña demostración con JMP. Aquí está. Voy a abrir dos cosas. Voy a abrir un archivo anonimizado. Lo que ven, X1, X2, X3, etc., son los resultados de datos de pruebas eléctricas, fugas de corriente, etc. Veremos que la mayoría son datos anormales. Primero, podemos echar un vistazo a algunos de estos parámetros. Aquí está. El primero, por ejemplo, es claramente anormal. Podemos hacer muchas cosas con JMP, por supuesto.
Por ejemplo, podemos intentar modelar. Tenemos una colección muy amplia de distribuciones. Vemos que no es normal. ¿Por qué no probamos la distribución de Cauchy? Pero la distribución de Cauchy no funciona tan bien en ese caso. Intentémoslo. ¿Qué les parece? Podemos probar la distribución exponencial. Distribución exponencial. Bien. La distribución azul claramente no funciona bien. Es un proceso muy tedioso intentar ajustar una distribución teórica a estos datos empíricos.
¿Sabes qué? Además, incluso si encontrara una distribución adecuada para el parámetro X1, claramente no sería la misma para X3 y X4. Por ejemplo, x4. Probemos con un Cauchy. No funciona nada bien. Aunque no sea tan malo, podemos probar algo diferente. Podemos probar la beta, por ejemplo. La beta no funcionará bien. De acuerdo. En cualquier caso, es un trabajo muy difícil. La segunda opción para modelar la distribución y calcular cuantiles equivalentes a seis sigma en una fórmula P sobre T es usar lo que llamamos una curva de ajuste suave.
La curva suave es un modelado no paramétrico de datos que puede funcionar bien en algunos casos, pero en el caso de la validación, tenemos dos problemas. El primero es que tenemos muestras muy pequeñas. Por ejemplo, en ese caso, se realizaron 15 repeticiones, solo 15 muestras pequeñas. Sabemos que la estimación no paramétrica, especialmente para la estimación de distribuciones, requiere muestras grandes. Claramente, en el contexto de la validación, esto no es suficiente. La curva suave no funcionará bien. Además, con esta muestra pequeña, el suavizado es muy sensible a estos valores atípicos. No queremos eliminarlos, ya que forman parte del error del análisis de medición. No podemos eliminarlos.
En conclusión, utilizando el método estándar, ajustar una distribución no lineal es muy difícil y el ajuste no paramétrico no es adecuado. Necesitamos otra solución. R Sigma es una solución sencilla, ya que NXP buscaba una solución simple sin muchos cálculos estadísticos complejos.
Veamos esto. Voy a abrir un pequeño script de GSL desarrollado en ippon. Necesito encontrar un elitismo de GSL. Ejecuto GSL y me pide que abra un archivo. Aquí quiero evaluar el análisis del sistema de medición para todos estos parámetros, todas estas pruebas eléctricas. Por defecto, ¿tomo un valor de tres? Tres más tres es seis, por supuesto. Este es un valor predeterminado.
¿Qué observamos? Esta primera distribución no se aleja mucho de la normalidad. Lo vemos en el diagrama de cuantiles. Tenemos toda la distribución. Esta es X15. Si volvemos a X1, vemos claramente que X1 no es normal. X2 no es normal. Claramente, tenemos una distribución sesgada a la derecha. X4 es una distribución discreta, como una distribución de más uno. No es realmente normal; quizás X9 podría serlo, cerca de la normalidad. X10 no es claramente normal. Claramente no es normal, y así sucesivamente.
Tenemos un conjunto de parámetros de prueba eléctrica y la distribución. Ahora vamos a introducir el límite de especificación. Empecemos con X1. Por ejemplo, para X1, sabemos que los límites de especificación son 25 y 28. Aquí introduzco 25 y 28. Tenemos dos límites de especificación y la relación P/T es del 39 %. No es muy bueno. No es catastrófico, pero tampoco muy bueno.
Aquí tenemos una ilustración de la relación P sobre T, que es simplemente la relación de la dispersión de la variación de la medición. En este caso, sigma es solo una medición sigma, ¿de acuerdo? Esto se compara con lo que espera el cliente. El intervalo de tolerancia aquí es USL menos LSL. El azul comparado con el rojo es del 39 %. No tan bueno. Se necesitará un plan de mejora para optimizar el sistema de medición. Pero ese es otro tema.
Analicemos ahora la distribución no normal de X2 con una desviación hacia la derecha. Introduciremos una variable solo para X2. El peligro está en el lado derecho y solo hay un límite de especificación a la derecha. Introduzcamos el límite de especificación correcto, que es el punto dos. El punto dos está aquí. Compare aquí el intervalo entre la media y la línea azul, y entre la media y la línea roja. Aquí es del 34 %. No es muy bueno. Pero lamento haber cometido un error. La especificación es 0,5. Disculpen.
Aquí tenemos una mejor ilustración. Este es el ancho de la variación del sistema de medición en comparación con la especificación. Tenemos un p de t correcto, digamos correcto, es del 12 %. En cualquier caso, puedes simplemente ingresar un límite de especificación. Estoy ingresando otro. Vamos a encontrarlo. Sí, este en X10. Vamos a ingresar el límite de especificación, que es, hasta donde recuerdo, X10. Tenemos un límite de especificación en 30. Déjame encontrar X10. Límite de especificación inferior, inferior en diez. Lo siento. Cometí un error aquí. Tenemos un muy buen, muy buen. Creo que era diez. Lo siento. En fin, no importa. Con el límite de especificación en diez, tenemos una muy buena relación P sobre T.
De todos modos, este cálculo es muy sencillo. Creamos un script en GSL porque GSL es muy útil por su interactividad y su interfaz gráfica de usuario, pero los cálculos son realmente sencillos. Este es el que se presenta en PowerPoint.
Si volvemos a la presentación, aquí está. Voy a volver a la pantalla completa. Disculpen. Concluiremos aquí. La primera parte de la presentación fue muy interesante porque la desigualdad de Beinaymé-Tchebychev es realmente una garantía para cualquier tipo de distribución. Se puede estar seguro de que un buen porcentaje de la distribución estará entre mínimo más o menos K sigma. François mostró el ejemplo de cuatro sigma; es bueno tener una cobertura cercana al 95% de la distribución. Si se desean resultados un poco más precisos, se puede usar la desviación estándar.
Descubrí esto recientemente. Es muy prometedor porque se tiene en cuenta la asimetría de cualquier distribución, y los primeros resultados con varios datos de prueba también son muy prometedores. Una perspectiva es aplicarlo a la detección de valores atípicos. Pero quizás este sea el tema de una futura presentación. Me gustaría agradecer a Nikolaus Kourentzesa por la idea de Half Moment. Es profesor de estadística en Suecia y trabaja en estos temas, así como en Ippon. Gracias a Charly Marty por sus excelentes scripts de GSL. Gracias por su atención.
Muchas gracias.
