在半导体行业中，测量系统分析 (MSA) 对于评估测量质量至关重要。大多数 MSA 指标，尤其是精度/公差比 (P/T)，都隐含地假设数据服从正态分布，其中 +/- kσ 覆盖了分布的给定百分比。然而，在参考文档（AIAG MSA 手册）中，并没有针对非正态数据的替代计算方法，因此很难找到一种能够适用于分布差异极大的参数的简便方法。
我们提出了两种计算简便且与分布无关的方法，它们能够覆盖我们置信水平下设定的分布百分比。第一种方法利用Bienaymé-Tchebychev不等式来精确定义k-sigma型公式中的标准差个数。第二种方法则分别计算公式左右两侧的半个标准差，以便在非对称分布的情况下获得更好的覆盖率。
大家好。我叫弗朗索瓦·贝尔兰，在法国图卢兹的恩智浦半导体公司工作。
弗朗索瓦·贝尔热雷在法国学习第一本功课。我们是一家统计咨询公司。
今天我们将讨论非正态数据情况下的测量系统分析。本次演讲的议程如下：首先，我们将探讨业务背景。我将以汽车雷达为例，讲解验证在半导体领域中的意义。然后，我将回顾一下测量系统分析的基本概念。接下来，我将分享一些非正态分布的案例，并介绍两种解决方案。
方案一基于比纳梅-切比雪夫不等式。我将在此框架下给出一些验证建议。方案二基于半标准差。我们将分享计算过程、应用案例、JMP公式，并提出一种用于异常值检测的推广方法。
我们来聊聊雷达在汽车领域的应用。雷达是无线电探测和测距的缩写，是自动驾驶汽车和提升行车安全的关键技术。车载雷达可以提供车辆的位置、速度以及与道路上其他车辆的相对角度。它具有诸多优势：价格低廉、坚固耐用、能够探测到被遮挡物体，而且与摄像头相比，不受天气和光照条件的影响。
如图所示，短程和中程雷达有一些应用。它可以辅助泊车和交叉路口交通预警。中程雷达可以帮助进行盲区检测，而远程雷达则可以辅助自适应巡航控制和自动紧急制动等功能。
现在来说说半导体开发中的验证环节。在半导体汽车领域，我们采用V模型进行开发。V模型代表验证和确认，是一种开发新产品的方法。V的左侧部分是定义和分析需求，本质上是对即将推出的产品进行规范。接下来是实现阶段。V的右侧部分则表示我们需要评估产品是否满足规范要求。换句话说，我们需要对产品进行测试。
在汽车行业，验证指的是芯片上的测试。验证的作用是什么？验证的目的是确认产品是否符合规定的要求。验证通常包括芯片上的测试和测量。接下来，我们来谈谈测量系统分析（MSA）。为什么测量系统分析如此重要？
假设我们有一个参数，它有规格下限和规格上限。验证工程师测量了一个值，比如说，我们测试一个零件，得到的结果在这个图表中标记为十字。十字标记位于规格限值内。我们得出结论，测试结果符合规格。但是，假设存在这样一个距离。这个范围代表了您所使用测量系统的精度。
如果由于测量不确定性而测得某个值，那么产品的真实值可能实际上超出规格限值。即使测试结果显示符合规格，但由于测量精度问题，真实值也可能超出规格。这就是为什么测量系统分析 (MSA) 以及评估测量系统的精度或误差如此重要的原因。
有两种情况。一种情况是，零件的实际尺寸可能远超规格，但由于测量误差，我们实际测量的结果却在规格范围内。另一种情况是，零件的真实值可能在规格范围内，但由于测量精度问题，测量结果却超出规格范围。
第一种情况对应于一个被判定为合格但实际质量不佳的部件，这代表客户风险或质量问题。第二种情况对应于一个被判定为合格但实际质量不佳的部件，这代表生产者风险和预期产量损失。
MSA主要基于量具重复性和再现性（Gage R&R），后者用于评估测量系统的变异性。Gage R&R代表重复性和再现性。重复性是指同一测量人员进行测量时的变异程度，再现性是指不同测量人员进行测量时的变异程度。
测量系统分析的主要指标是精度/公差比（P/T），预期该值小于10%。我们可以将测量系统的准确度可视化，例如测量总方差，它是再现性方差与重复性方差之和。
指标 P/T 的公式定义为：通过量具重复性和再现性 (Gage R&R) 实验研究获得的测量值的六西格玛值除以规格宽度的百分比。这里使用六西格玛是因为它实际上是正负三个西格玛，对于正态分布而言，这对应于 99.73% 的置信水平。但这是在正态分布假设下进行的。
以下是一些在验证过程中进行的实际验证测量案例。验证并非生产环境。我们只能接触到少量零件，而不是成千上万个产品零件。我们不会像汽车行业测量规范中定义的那样进行完整的量具重复性和再现性 (Gage R&R) 研究。我们通常只有一个零件。我们会进行大约 30 次重复测量，并且确实观察到非正态分布的情况，正如我在绘制正态分位数图的两个示例中所示。您可以看到 Shapiro-Wilk 和 Anderson-Darling 拟合优度检验的结果，这两个参数的结果都非常显著。
这里我们面临两个参数不服从正态分布的情况。但我们仍然需要估计量具重复性和再现性 (Gage R&R) 以及 P/T。问题是，标准公式“测量值的 sigma 的六倍除以规格容差”是否仍然适用？这个参考公式在非正态数据集的情况下是否仍然有效？为此，我们提出了两种替代方案。第一种方案基于 Bienayme-Tchebychev 不等式。
设 X 为具有有限非零方差的随机变量。那么，对于任何大于零的实数 k，变量减去均值，换句话说，变量与均值之间的偏差大于 K 倍标准差的概率小于或等于 1/K 的平方。
这种不等式令人惊奇之处在于它与分布无关。我们不必处理，也不必担心分布是否符合正态分布。
让我们看看在我们的例子中会得出什么结果。Kσ 代表 3K3σ。超出均值 K 个标准差的最大百分比。超出均值三个标准差。根据比纳梅-切比雪夫不等式，超出均值四个标准差的百分比为 11%。它永远不会超过 6.25%。5σ 时为 4%，以此类推。直到十σ 的情况，它保证不会有超过 1% 的总体超出十σ。
但我们要记住，基于正态分布的六西格玛加减三西格玛的标准 P/T 公式，无论分布类型如何，都能保证 90% 的置信水平。我想说的是，如果我们应用贝纳梅-切比雪夫不等式并采用三西格玛，实际上也能达到 90% 的置信水平，而无需考虑分布类型。这很好，因为与生产测量系统相比，我们并不需要如此高的置信水平。我们目前仍处于验证阶段。
是的，我们已经进行了验证。我们目前处于开发阶段，而非生产阶段。我的建议是在公式中使用 K 等于 4，这样基于贝纳梅-切比雪夫不等式，置信水平就能接近 95%。再次强调，这与分布类型无关。这使得我们无需验证数据集的正态性，即使数据集不服从正态分布，我们仍然可以凭借这个不等式，以 95% 的置信水平评估测量系统的精度。
然而，由于分布未知，该不等式通常只能给出较差的界限。我们不妨回顾一下，对于正态分布，±3σ 等于 99.73%，远高于我们此处的目标值。如果需要更高的置信水平，我们还有第二种解决方案。接下来，我将请弗朗索瓦为大家解释。
谢谢你，贝兰德。谢谢你，弗朗索瓦。
我们将尝试得到比贝纳梅-切比雪夫不等式更精确一些的结果，尽管贝纳梅-切比雪夫不等式是普适的。这是一个非常好的结果，可以应用于电气测试数据。我们称之为半矩。半矩衡量的是数据的标准偏差，但仅限于分布的一侧，即分布的右侧或左侧。根据定义，半矩可以处理非对称分布。当然，非正态数据通常意味着非对称数据。半矩分为右半矩和左半矩。
关于理论。我研究了一下这个理论。它相当复杂，涉及到复数 i。当然，我不会在这里深入探讨这个理论。但是，关于半矩，还有一种替代方法，叫做半标准差。半标准差对于 NXP 和 Francois 的目标非常有用。我们的矩是什么？这里是左标准差半矩的简单公式。
好的，您可以看到它与标准差的公式非常相似。但是左侧是给定数量的数据点。左侧表示低于平均值。我们计算左侧数据点与平均值之差的平方和。请注意，y 轴表示全局平均值。它不是左均值或右均值，而是所有数据的全局平均值。这很自然。当然，右侧的左标准差和右标准差是相同的。好的。
完成计算后，您可以对任何非对称分布进行建模并计算置信区间。这里，我们在使用这个预测公式时还有一个额外的假设。您可以看到，Z 是正态分布的分位数。这可能看起来令人惊讶，但我们假设我们有一个非对称分布。然而，在分布的左右两侧，存在某种程度的偏斜，类似于正态分布。好的。因此，我们可以应用这个公式，这是一个使用正态分布 Z 的标准公式。当然，预测区间不会是对称的，因为通常对于非正态数据，根据定义，左标准差和右标准差并不相等。这就是关键所在。
现在我来看下一张幻灯片。这里有一个例子，我们有一个非正态分布。这是一份电气测试数据。分位数图显示了非正态性。我们也能在直方图中看到这一点。我们计算了正负三个标准差。但是我们有左侧标准差和右侧标准差。这就是我们在这个分布中看到的情况。
平均值接近此处的值。分布的偏斜主要集中在右侧。在这种情况下，右侧标准差大于左侧标准差。您可以看到预测结果。这是一个等效于 99.7% 的预测区间，其右侧比左侧更宽。
有趣的是，这个值非常接近预测极限，因为左侧的σ值很低。我们可以看到，左侧存在一个非常小的偏态分布区域，而这个点与预测极限相距甚远。相比之下，我们能够在一定程度上对这个点进行建模。
现在我将用 JMP 来演示一下，为了继续并推广 François 定义的 P/T 比率，我们定义一个非正态 P/T 比率，即左侧 3σ 加上右侧 3σ 除以容差。这显然是相同的公式。但是，分子中没有 6σ，而是左侧 3σ 和右侧 3σ。
在此示例中，分布的左侧偏斜非常重要。因此，左侧标准差明显高于右侧标准差。可以看到，我们称之为预测极限 LPL 的预测极限明显位于上限的左侧。这样，无论分布是否服从正态分布，我们都能覆盖超过 99% 的分布，它适用于任何分布。就像贝纳梅-切比雪夫分布一样，它具有普适性。
下一张幻灯片。举个例子。这里再加一点挑战。通常情况下，当分布不对称时，只有一个规格限值。例如，我们可以以漏电流为例。由于漏电流值过高会带来危险，因此只有一个较高的规格限值。另一方面，或者在这个例子中，我们只有一个较低的规格限值。在这种情况下，我们当然不会再增加一个限值。只有一个规格限值，我们就用这一个限值来处理。在这种情况下，P/T 公式需要进行一些调整，即分子为 3σ。在本演示中，我们所说的 σ 始终指的是测量 σ。3σ 除以相当于半容差的值，也就是均值减去下限。这是一个标准公式。但不同之处在于，我们应用的是 σf 而不是 σ。
这个例子很有意思。我们再次使用NXP提供的真实数据，可以看到，这是一个明显的非对称分布。左侧的σ值更高。概率密度呈偏态分布，左侧明显更高。因此，左侧三个σ值（我们称之为预测下限）相对于预测上限而言更靠左也就不足为奇了。
这里，如果我们观察非正态分布的 P/T，它实际上是均值与预测下限的比值。这个范围是通过除以均值与规格下限之差得到的。这就是比值。在这个例子中，P/T 为 75%。这意味着左侧测量系统的全局离散度超过了左侧公差的 50%。当然，这是一个糟糕的结果，因为在汽车行业，我们需要将这个值控制在 10% 以下。这是一个很好的例子，展示了我们可以做些什么。
仅供参考，如果我们不使用非正态分布 P/T，而是使用标准公式，那么用 JMP 计算出的结果（我会向您展示）将是 43%。结果就是 43%。这显然与 75% 不同。
现在我将用 JMP 做个演示。抱歉。谢谢。JMP 的小演示。开始了。我要打开两个文件。我要打开一个匿名文件。你看到的 X1、X2、X3 等等是电气测试数据的结果，比如电流泄漏等等。我们会看到其中大部分数据都不符合正态分布。首先，我们可以看一下其中的一些参数。这里是一些参数。例如，第一个参数显然不符合正态分布。当然，JMP 的功能非常强大。
例如，我们可以尝试建模。我们收集了非常多的分布数据。我们发现它不是正态分布。为什么不试试柯西分布呢？但是柯西分布在这种情况下效果不太好。我们再试试别的。你喜欢哪个？我们可以试试指数分布。指数分布。好的。蓝色的那个显然表现很差。试图用理论分布来拟合这些经验数据真是一项艰巨的任务。
你知道吗？此外，即使我找到了一个拟合参数 X1 的良好分布，显然它对 X3、X4 也不适用。例如，对于 X4，我们试试柯西分布。效果很差。即使效果还不错，我们也可以尝试其他方法。例如，我们可以试试 beta 分布。beta 分布的效果也不好。好吧。总之，这非常费力。我们可以采用的第二个方法是，对分布进行建模并计算分位数，使其等效于 P/T 公式中的六西格玛，即使用我们所说的拟合平滑曲线。
平滑曲线是一种非参数数据建模方法，在某些情况下可能效果很好，但在这里，在验证阶段，我们遇到了两个问题。首先，我们的样本量非常小。例如，他们只进行了15次重复实验，样本量只有15，非常小。我们知道，非参数估计，特别是分布估计，需要大样本。显然，在验证阶段，这样的样本量是不够的。平滑曲线无法很好地发挥作用。此外，在如此小的样本量下，平滑处理对异常值非常敏感。我们不想移除这些异常值，因为它们是测量分析误差的一部分，我们不能移除它们。
综上所述，使用标准方法拟合非分布数据非常困难，而非参数拟合也并不适用。我们需要另一种解决方案。R Sigma 是一个简单的解决方案，因为 NXP 正在寻找一种无需进行大量复杂统计计算的简单方案。
我们来看看。我要打开一个在ippon开发的GSL脚本。我得找到一个GSL精英。我运行GSL脚本，它提示我打开一个文件。这里我想评估一下测量系统分析，包括所有这些参数和电气测试。默认值是3？3加3当然是6。这是默认值。
我们观察到了什么？第一个分布与正态分布相差不远。我们在分位数图中可以看到这一点。我们已经有了完整的分布。这是 X15。如果我回到 X1，很明显 X1 不是正态分布，我们可以看到这一点。X2 也不是正态分布。我们显然看到的是一个右偏分布。X4 是一个离散分布，类似于加一分布。它并不完全是正态分布，也许 X9 可以算接近正态分布。X10 显然不是正态分布。它显然不是正态分布，以此类推。
我们有一组参数，包括电气测试和分配情况。现在我们要输入规格限值。我们先从 X1 开始。例如，对于 X1，我们知道规格限值是 25 和 28。这里我输入 25 和 28。我们有两个规格限值，这里的 P/T 比是 39%。不太好。虽然不至于灾难性的，但也不太理想。
这里我们展示了 P/T 比率，它表示测量偏差范围的比率。这里的 sigma 仅指测量 sigma 值，与客户预期值进行比较。这里的公差区间为 USL 减去 LSL。蓝色曲线与红色曲线的偏差为 39%，不太理想。需要制定改进计划来优化测量系统。但这又是另一个话题了。
现在我们来看一下 X2 的非正态分布，它的分布呈右偏态。我们只输入 X2 的值。危险区域在右侧，右侧只有一个规格限值。我们输入右侧的规格限值，也就是点 2。点 2 在这里。比较一下均值和蓝线之间的区间，以及均值和红线之间的区间。这里是 34%。不太好。但是很抱歉，我这里弄错了。规格限值应该是 0.5。抱歉。
这里有个更清晰的图示。这是测量系统偏差与规格的比值。假设我们有一个正确的 P/T 值，是 12%。无论如何，您可以直接输入一个规格限值。我再输入一个。我们来找找。是的，这个值是 X10。我们要输入的规格限值，我记得是 X10。我们有一个规格限值是 30。我来找找 X10。更低的规格限值是 10。抱歉，我弄错了。我们有一个非常好的 P/T 比值。我想应该是 10。不好意思。不过没关系。规格限值设为 10 时，我们有一个非常好的 P/T 比值。
总之，这个计算非常简单。我们用GSL脚本实现了这个计算，因为GSL的交互性和图形用户界面非常出色，而且计算本身也很简单。这是用PowerPoint演示的版本。
我们回到演示文稿。就是这里。我切换回全屏模式。抱歉。我们就在这里结束。演示文稿的第一部分非常有趣，因为贝纳梅-切比雪夫不等式实际上对任何类型的分布都是一种保障。它可以确保分布中很大一部分数据落在最小值加减 K 个标准差的范围内。弗朗索瓦举例说明，4 个标准差已经可以很好地覆盖接近 95% 的分布范围。如果想要更精确的结果，可以使用标准差。
我最近发现了这个方法。它很有前景，因为它考虑了任何分布的非对称性，而且在多个测试数据集上的初步结果也非常令人鼓舞。一个应用方向是将其应用于异常值检测。不过，这或许可以作为未来演讲的主题。我要感谢 Nikolaus Kourentzesa 提出的半矩概念。他是瑞典的一位统计学教授，他正在研究这些课题以及一本（ippon）。感谢 Charly Marty 提供的非常优秀的 GSL 脚本。谢谢大家的关注。
非常感谢。
