計測システム分析（MSA）は、半導体業界において計測品質を評価する上で非常に重要です。ほとんどのMSA指標、特に精度対公差比（P/T比）は、暗黙的に正規分布を仮定しており、+/- kσが分布の一定割合をカバーすると仮定しています。参考文献（AIAG MSAマニュアル）には、非正規分布データに対する代替計算法は記載されておらず、大きく異なる分布を持つパラメータに適応できる簡便な方法を見つけることは困難です。
分布に依存しない、シンプルな計算で信頼水準に設定された分布の割合をカバーする2つの方法を紹介します。1つ目の方法では、ビエネイメ・チェビシェフ不等式を用いて、k-シグマ型の式における標準偏差の数を適切に定義します。2つ目の方法では、右と左の標準偏差の半分を計算することで、非対称分布の場合のカバー率を向上させます。
皆さん、こんにちは。私はフランソワ・ベルランドです。フランスのトゥールーズにあるNXPセミコンダクターズで働いています。
フランソワ・ベルジェレはフランスでippon learningをしています。統計会社でコンサルティングを行っています。
本日は、非正規分布データの場合の測定システム分析についてお話します。プレゼンテーションのアジェンダは以下の通りです。まず、ビジネスコンテキストについてお話します。車載レーダーと、半導体業界における検証の意味についてお話しします。次に、測定システム分析について改めてご説明します。最後に、非正規分布の事例をいくつかご紹介し、それぞれに2つの解決策があります。
解決策1はビエナイメ・チェビシェフ不等式に基づいています。この文脈における検証のための推奨事項をいくつか示します。解決策2は半標準偏差に基づいています。計算方法、応用、JMPの式を紹介し、この手法を外れ値検出に一般化する方法を提案します。
自動車用途におけるレーダーについてお話しましょう。レーダーとは、無線による探知と測距の略で、自動運転車や安全性向上の鍵となる技術です。車載レーダーは、車両の位置、速度、道路上の他の車両に対する複数のターゲットの角度などを提供します。レーダーにはいくつかの利点があります。安価で、堅牢で、隠れた物体の存在も検知でき、カメラに比べて天候や照明条件の影響を受けにくいです。
写真をご覧ください。短距離・中距離レーダーの用途の一例です。パーキングアシストやクロストラフィックアラートの支援に利用できます。中距離レーダーでは死角検知に、長距離レーダーではアダプティブクルーズコントロールや自動緊急ブレーキなどの機能に活用できます。
さて、半導体開発における検証についてですが、自動車向け半導体ではV字モデル開発を採用しています。V字モデルとは、検証と妥当性確認の略で、新製品を開発する方法の一つです。このV字の左腕は、要件の定義と分析です。基本的には、これから開発する製品の仕様を規定することになります。次に実装です。そして、V字の右腕は、製品が仕様要件を満たしているかどうかを評価する必要があることを示しています。言い換えれば、製品に対して何らかのテストを行っているということです。
自動車業界において、バリデーションとはオンシリコンテストを指します。バリデーションの役割は何でしょうか？まず、バリデーションは、製品が規定の要件を満たしていることを確認することです。バリデーションには通常、オンシリコンテストと測定が含まれます。それでは、MSA（メジャメントシステムアナリシス）についてお話ししましょう。なぜメジャメントシステムアナリシスが重要なのでしょうか。
下限仕様限界と上限仕様限界を持つパラメータがあり、検証エンジニアが例えば部品をテストして値を測定したとしましょう。グラフ上で×印が付く結果が得られます。×印は仕様限界内です。つまり、テスト結果は仕様範囲内であると結論付けられます。しかし、この距離を仮定してみましょう。この範囲は、使用している測定システムの精度です。
測定の不確かさのためにここで値を測定した場合、製品の真の値は実際には仕様限界外になる可能性があります。測定精度により試験結果が仕様内を示したとしても、真の値は実際には仕様外である可能性があります。だからこそ、MSAと測定システムの精度または誤差の評価が非常に重要なのです。
2つのケースがあります。部品が実際には仕様外であるにもかかわらず、測定誤差により実際には仕様範囲内で測定される場合があります。また、部品の真の値は仕様範囲内であっても、測定精度の問題により仕様外で測定される場合があります。
最初のケースは、良品と判定される不良品に相当し、顧客リスクまたは品質問題を表します。2番目のケースは、良品と判定される不良品に相当し、生産者リスクおよび予想される歩留まり損失を表します。
MSAは主にゲージR&Rに基づいており、これにより測定システムの変動を推定できます。ゲージR&Rは、繰り返し精度（1人の測定者による測定値の変動）と再現精度（複数の測定者による測定値の変動）を表します。
測定システム分析の主な指標は、精度と公差の比率（P/T）であり、10%未満であることが期待されます。測定システムの精度は、例えば測定の総分散（再現性の分散と繰り返し精度の分散の合計）など、視覚的に表現できます。
P/T指標の式は、ゲージR&R実験研究で得られた測定値の6シグマを、規格幅（パーセンテージ）で割った値として定義されます。ここで6シグマと表記しているのは、実際には±3シグマであり、正規分布では信頼水準99.73%に相当するためです。ただし、これは正規分布の仮定に基づいています。
検証において実際に行われた検証測定の事例をいくつかご紹介します。検証は製造工程ではありません。私たちが扱うのは製品の数千個の部品ではなく、ごく少数の部品だけです。自動車業界の測定仕様で定義されているような完全なゲージR&R試験は行いません。通常、部品は1個だけです。約30回の繰り返し試験を行い、正規分布に従わないケースも観察されます。これは、正規分布の四分位点プロットをプロットした2つの例で示されています。Shapiro-Wilk検定とAnderson-Darling検定の両方において、適合度検定が非常に有意であることがわかります。
ここでは、正規分布に従わないパラメータの2つのケースに直面しています。それでもなお、ゲージR&RとTに対するPを推定したいと考えています。問題は、測定値のシグマの6倍を仕様許容値で割るという標準的な式です。この参照式は、非正規分布のデータセットの場合にも有効でしょうか？そこで、ここでは2つの代替案、つまり2つの解決策を提案します。1つ目は、ビエナイメ・チェビシェフ不等式に基づいています。
Xを有限の非ゼロ分散を持つ確率変数とします。すると、0より大きい任意の実数kに対して、変数から平均を引いた値、つまり変数が平均からシグマのK倍以上離れている確率は、1/Kの2乗以下になります。
この不等式の驚くべき点は、分布に依存しないということです。分布の正規性を気にする必要も、心配する必要もありません。
それぞれのケースでどうなるか見てみましょう。3K3シグマの場合、Kシグマです。平均値からK標準偏差を超える最大パーセンテージです。平均値から3標準偏差です。ビエナイメ＝チェビシェフ不等式によれば、平均値から4シグマを超えると11%になります。6.25%を超えることはありません。5シグマの場合は4%、以下同様です。この10シグマの場合、母集団の1%以下しか超えないことが保証されますが、10シグマを超えることになります。
しかし、ここで念頭に置いておきたいのは、正規分布に基づく6シグマプラスマイナス3シグマに基づく標準的なP/T式は、この場合の分布の種類に関わらず、90%の信頼度を保証するということです。つまり、Beinayme-TchebyChev不等式を3シグマに適用すれば、分布の種類に関わらず、実際に90%の信頼度をカバーできるということです。これは良いことです。なぜなら、生産測定システムと比較すると、それほど高い信頼度は必要ないからです。まだ検証段階です。
はい、検証は行っています。私たちは開発部門であり、本番環境ではありません。ベイナイメ・チェビシェフ不等式に基づく信頼度を95%に近づけるために、式でKを4とすることをお勧めします。繰り返しますが、これは分布の種類に関係ありません。これにより、データセットの正規性を検証する必要がなくなり、データセットが正規分布外の場合でも、95%の信頼度で測定システムの精度を評価できます。この不等式のおかげです。
しかし、分布が未知であるため、この不等式は一般的に不十分な境界値を与えます。正規分布の場合、±3σは99.73%となり、ここで目指す値よりもはるかに高いことを思い出してください。より高い信頼度が必要な場合は、2つ目の解法があります。フランソワが説明しましょう。
ありがとう、ベルランド。ありがとう、フランソワ。
ベイナイメ・チェビシェフ不等式は普遍的ですが、ベイナイメ・チェビシェフ不等式と比べてもう少し精度の高いものを目指します。これは電気試験データに適用できる非常に優れた結果です。いわゆる「半モーメント」という考え方です。半モーメントとは、データの標準分散の尺度です。ただし、分布の片側、つまり右側または左側のみです。半モーメントの定義により、非対称な分布を扱うことができます。もちろん、非正規データは非対称データであることが多いです。右半モーメントと左半モーメントが存在します。
理論について。理論を調べてみました。複素数iを使うのでかなり複雑です。もちろん、ここではこの理論には触れません。しかし、半モーメントには半標準偏差と呼ばれる別の方法があります。半標準偏差は、NXPとFrancoisの目的関数に非常に役立ちます。ここでのモーメントとは何でしょうか？ここに、左シグマの半モーメントの非常に簡単な式があります。
標準偏差の式と非常によく似ていることにお気づきかもしれません。ただし、左側には点がいくつか示されています。左側は平均より低いことを意味します。左側の点と平均との差の平方和を計算します。yバーは全体平均であることに注意してください。これは左平均や右平均ではなく、すべてのデータの全体平均です。これは当然のことです。もちろん、右側の左シグマと右シグマは同じです。わかりましたか？
この計算が終われば、非対称分布のモデル化と信頼限界信頼区間の計算が可能になります。この予測式区間を使用する際に、追加の仮定があります。Zは正規分布の分位数です。意外に思われるかもしれませんが、ここでは非対称分布を仮定しています。ただし、右側と左側には、正規分布のような歪みがあります。そのため、正規分布のZを用いた標準的な式であるこの式を適用できます。ただし、もちろん予測区間は対称にはなりません。なぜなら、非正規データの場合、定義上、σ左とσ右は同じではないからです。これが考え方です。
次のスライドに進みましょう。これは非正規分布の例です。これは電気試験のデータです。分位点プロットは非正規性を示しています。ヒストグラムでも同じことが分かります。±3シグマの計算値がありますが、左シグマと右シグマがあります。この分布から何が分かりますか？
平均値はこの値に近いです。分布の歪みは主に右側にあります。この場合、シグマ右はシグマ左よりも高くなります。予測値を見ると、これは99.7%相当の予測区間で、左側に比べて右側が広くなっています。
また興味深いのは、シグマ左が低いため、この値が予測限界に非常に近いことです。分布の左方向の歪みが非常に小さく、この点はかなり離れていることがわかります。これと比較すると、この点はある程度モデル化できます。
フランソワが定義したP/T比を一般化するために、JMPを使って説明します。非正規P/T比は、左3シグマと右3シグマを足して許容値で割った値です。これは明らかに同じ式です。しかし、分子には6シグマがありません。左3シグマと右3シグマです。
この図では、分布の左側の歪みが非常に重要です。シグマ左はシグマ右よりも明らかに高くなっています。ここで予測限界（LPL）と呼ぶ予測限界は、上限と比較して明らかに左側にあります。これにより、分布の約99%以上をカバーできます。正規分布や分布の種類に関わらず、あらゆる分布で機能します。Beinayme-Tchebychev分布と同様に、これは普遍的です。
次のスライドです。例です。少し追加の、いわば課題と言えるでしょう。非対称分布の場合、多くの場合、仕様限界は1つしかありません。例えば、リーク電流の例を考えてみましょう。リーク電流の値が高すぎると危険となるため、仕様限界は高くなっています。一方、この例では、仕様限界は低くなっています。もちろん、この場合、別の限界を設ける必要はありません。仕様限界は1つなので、その仕様限界で作業します。この場合、P/Tの式を応用したものがあり、分子に左3σを置きます。このプレゼンテーションでσと言うときは、常に測定σです。左3σを許容差の半分に相当する値で割ります。つまり、平均値から下限値を引いた値です。これは標準的な式です。しかし、ここで異なるのは、σではなくσfを用いて標準的な式を適用している点です。
この例は非常に興味深いものです。NXPから提供された実際のデータを見てみましょう。明らかに非対称な分布になっています。シグマ左の方が高いことがわかります。確率密度の歪度は明らかに左側が高くなっています。3シグマ左にあるのは当然のことです。これを下限予測限界と呼びますが、上限予測限界と比較して左側にあります。
ここで、非正規分布のP/T比を見ると、これは平均値と予測下限値の比に過ぎません。この範囲は、平均値と仕様下限値の差で割って比較されます。これは単なる比です。この例では、P/T比が75%です。これは、左側の測定システムの全体的な分散が、左側の許容範囲の50%以上をカバーしていることを意味します。もちろん、自動車業界ではこれを10%未満に抑える必要があるため、これは悪い結果です。これは、私たちができることの非常に良い例です。
ご参考までに、非正規分布のP/Tを使わず、標準的な式を使うと、JMPで計算できる結果は43%になります。43%が結果です。75%と比べると明らかに違いますね。
では、JMPを使ったデモを少しやってみましょう。すみません、ありがとうございます。JMPを使ったちょっとしたデモです。こちらです。2つ開きます。匿名化されたファイルを開きます。X1、X2、X3などは、電気試験データの結果です。電流漏れなどです。これらのほとんどは非正規データであることがわかります。まず、これらのパラメータのいくつかを見てみましょう。こちらです。例えば、最初のパラメータは明らかに非正規です。もちろん、JMPでは様々なことができます。
例えば、モデル化を試みてみましょう。非常に幅広い分布のコレクションがあります。正規分布ではないことがわかります。コーシー分布を試してみませんか？しかし、コーシー分布はこのケースではあまりうまく機能しません。試してみましょう。何がお好きですか？指数分布を試してみましょう。指数分布です。わかりました。青いものは明らかに全くうまく機能していません。この経験的データに理論的な分布を当てはめようとするのは非常に骨の折れる作業です。
ご存知ですか？さらに、パラメータX1に適合する良い分布を見つけたとしても、X3、X4では明らかに同じ分布にはならないでしょう。例えばx4です。コーシー分布を試してみましょう。全くうまくいきません。それほど悪くないとしても、別の方法も試すことができます。例えばベータ分布を試してみましょう。ベータ分布はうまくいきません。わかりました。いずれにせよ、それを実行するのは非常に大変な作業です。分布をモデル化し、P/Tの式でシックスシグマに相当する分位点を計算する2つ目の方法は、いわゆる「フィット・スムース・カーブ」を使用することです。
滑らかな曲線は、データのノンパラメトリックモデリングであり、場合によっては非常にうまく機能することもあります。しかし、検証という点では、2つの問題があります。1つ目の問題は、サンプル数が非常に少ないことです。例えば、このケースでは15回の反復が行われており、サンプルサイズはわずか15個しかありません。ノンパラメトリック推定、特に分布推定には大きなサンプル数が必要であることは周知の事実です。しかし、検証という点では、それだけでは明らかに不十分です。滑らかな曲線はうまく機能しません。さらに、この小さなサンプル数では、平滑化はこれらの外れ値に非常に敏感です。これらを除去したくありません。これらは測定分析誤差の一部であり、除去することができません。
結論として、標準的な方法を用いた非分布のフィッティングは非常に困難であり、ノンパラメトリックフィッティングは適していません。別の解決策が必要です。NXPは複雑な統計計算を必要としないシンプルなソリューションを求めていたため、R Sigmaはシンプルなソリューションです。
では、これを見てみましょう。ipponで開発された小さなGSLスクリプトを開いてみます。GSLエリート主義を見つける必要があります。GSLを実行すると、ファイルを開くように求められます。ここでは、すべてのパラメータ、すべての電気テストについて、測定システム分析を評価します。デフォルトでは、3という値を使用します。もちろん、3と3を足すと6になります。これがデフォルト値です。
何が観察されているのでしょうか。この最初の分布は正規分布からそれほど離れていません。これは分位点プロットで確認できます。分布全体です。これはX15です。X1に戻ると、明らかにX1は正規分布ではありません。X2も正規分布ではありません。明らかに右に歪んだ分布です。X4はプラス1分布のような離散分布です。X9は正規分布に近いかもしれませんが、X10は明らかに正規分布ではありません。明らかに正規分布ではありません。以下も同様です。
電気試験と分布のパラメータセットができました。それでは、仕様限界を入力します。まずX1から始めましょう。例えばX1の場合、仕様限界は25と28であることが分かっています。ここでは25と28を入力します。仕様限界は2つあり、P/T比は39%です。あまり良くありません。致命的ではありませんが、あまり良くはありません。
こちらはP/T比の図解です。これは測定変動の広がりの比率です。ここでのシグマは測定シグマに過ぎません。これは顧客の期待値と比較したものです。ここでの許容範囲はUSLからLSLを引いた値です。青色と赤色を比較すると39%です。あまり良くありません。この測定システムを改善するための改善計画が必要です。しかし、これは別の話題です。
分布が右に歪んでいる非正規分布のX2を見てみましょう。X2のみに値を入力します。危険は右側にあり、右側には仕様限界が1つしかありません。右側の仕様限界、つまり点2を入力します。点2はここにあります。ここで、平均値と青い線の間の間隔と、平均値と赤い線の間の間隔を比較します。ここでは34%です。あまり良くありません。申し訳ありませんが、ここで間違いを犯しました。仕様限界は0.5です。申し訳ありません。
より分かりやすい例があります。これは、仕様と比較した測定システムの変動幅です。正しいp/t比は12%です。いずれにしても、仕様限界を入力するだけで済みます。もう一つ入力します。求めてみましょう。はい、これはX10です。私が覚えている限りではX10の仕様限界を入力します。仕様限界は30です。X10を求めてみましょう。仕様限界の下限は10です。すみません、ここで間違いました。非常に良い、非常に良い値です。10だったと思います。申し訳ありません。とにかく、問題ありません。仕様限界が10なので、P/T比は非常に良好です。
とにかく、この計算はとても簡単です。GSLはインタラクティブ性とグラフィカルユーザーインターフェースを備えているので、GSLスクリプトを作成しました。計算自体は非常にシンプルです。これはPowerPointで提示したものです。
プレゼンテーションに戻りましょう。こちらです。全画面に戻ります。申し訳ありません。ここで終わりにします。プレゼンテーションの最初の部分は非常に興味深いものでした。なぜなら、Beinayme-Tchebychev不等式は、あらゆる種類の分布、つまりあらゆる種類の分布に対する保険となるからです。分布のかなりの割合が最小値±Kシグマの範囲に入ることが確実です。Françoisは、分布の95%近くを4シグマでカバーできれば十分だと例を示しました。もう少し正確な結果が必要な場合は、標準偏差を使うことができます。
最近これを発見しました。あらゆる分布の非対称性を考慮に入れているため、非常に有望です。また、いくつかのテストデータでの最初の結果も非常に有望です。これを外れ値検出に適用することも一つの展望ですが、これはおそらく将来のプレゼンテーションのテーマになるでしょう。Half Momentのアイデアを提供してくれたNikolaus Kourentzesa氏に感謝します。彼はスウェーデンの統計学教授で、これらのトピックだけでなく、ipponでも研究を行っています。Charly Marty氏には素晴らしいGSLスクリプトを提供してくれたことに感謝します。以上で終わりです。ご清聴ありがとうございました。
どうもありがとうございます。
