L'analisi dei sistemi di misura (MSA) è molto importante nel settore dei semiconduttori per stimare la qualità delle misurazioni. La maggior parte degli indicatori MSA, in particolare il rapporto precisione/tolleranza (P/T), presuppone implicitamente una distribuzione normale, con +/- kσ che copre una data percentuale della distribuzione. Nei documenti di riferimento (Manuale AIAG MSA), non sono presenti calcoli alternativi per dati non normali ed è difficile trovare un metodo semplice che si adatti a parametri con distribuzioni molto diverse.
Presentiamo due metodi, con calcoli semplici e indipendenti dalla distribuzione, che coprono la percentuale di distribuzione impostata per il nostro livello di confidenza. Il primo metodo utilizza la disuguaglianza di Bienaymé-Tchebychev per definire correttamente il numero di deviazioni standard in una formula di tipo k-sigma. Il secondo metodo utilizza un calcolo di semi-deviazione standard a destra e a sinistra per consentire una migliore copertura nel caso di una distribuzione asimmetrica.
I due metodi vengono applicati a molti test elettrici con formule JMP e possono essere generalizzati per il rilevamento e la rimozione di valori anomali.
Ciao a tutti. Mi chiamo François Berland e lavoro per NXP Semiconductors a Tolosa, in Francia.
François Bergeret sta studiando in Francia. Siamo una società di consulenza statistica.
Oggi parleremo dell'analisi dei sistemi di misura nel caso di dati non normali. Il programma di questa presentazione è il seguente. Innanzitutto, parleremo del contesto aziendale. Parlerò del radar automobilistico e del significato della convalida nel mondo dei semiconduttori. Poi, rinfrescherò le idee sull'analisi dei sistemi di misura. Infine, condividerò alcuni casi di distribuzioni non normali per le quali abbiamo due soluzioni.
La prima soluzione si basa sulla disuguaglianza di Bienayme Tchebychev. Fornirò alcuni suggerimenti per la validazione in questo contesto. La seconda soluzione si basa sulla mezza deviazione standard. Condivideremo calcoli, applicazioni, formule JMP e proporremo una generalizzazione di questo metodo per l'individuazione di valori anomali.
Parliamo del radar nelle applicazioni automobilistiche. Radar sta per Radio Detection and Ranging (rilevamento e misurazione della distanza via radio). È una tecnologia chiave per i veicoli autonomi e per una maggiore sicurezza. Il radar nelle auto fornisce la posizione del veicolo, la velocità e l'angolazione di più bersagli rispetto agli altri veicoli sulla strada. Presenta diversi vantaggi. È economico. È robusto. Può rilevare la presenza di oggetti nascosti e non è influenzato dalle condizioni meteorologiche e di illuminazione rispetto alle telecamere.
Nell'immagine sono visibili alcune applicazioni del radar a corto e medio raggio. Può supportare il parcheggio assistito e l'avviso di traffico trasversale. Per il radar a medio raggio, può supportare il rilevamento del lato cieco, mentre per il radar a lungo raggio supporta, ad esempio, le funzioni del cruise control adattivo e della frenata automatica di emergenza.
Ora passiamo alla validazione nello sviluppo dei semiconduttori. Nel settore automobilistico, utilizziamo lo sviluppo del modello a V. Il modello a V sta per verifica e validazione. È un modo per sviluppare nuovi prodotti. Il braccio sinistro di questa V consiste nella definizione dei requisiti e nella loro analisi. In pratica, si tratta di specificare il prodotto futuro. Poi si passa all'implementazione. Il secondo braccio della V serve a dimostrare che dobbiamo valutare se il prodotto soddisfa i requisiti delle specifiche. In altre parole, stiamo eseguendo dei test sui prodotti.
Nel settore automobilistico, la convalida si riferisce ai test sul silicio. Qual è il ruolo della convalida? Beh, la convalida serve a verificare la conformità del prodotto ai requisiti specificati. La convalida in genere include test e misurazioni sul silicio. Parliamo quindi dell'analisi del sistema di misura MSA. Perché l'analisi del sistema di misura è importante?
Consideriamo questo caso in cui abbiamo un parametro con un limite di specifica inferiore e uno superiore e l'ingegnere di convalida misura un valore, ad esempio, qui testiamo un componente e otteniamo un risultato in cui la croce si trova su questo grafico. La croce rientra nei limiti di specifica. Concludiamo che il risultato del test è entro i limiti di specifica. Ma poi ipotizziamo questa distanza. Questo intervallo rappresenta la precisione del sistema di misura che si sta utilizzando.
Ebbene, se avete misurato un valore a causa dell'incertezza di misura, il valore reale del prodotto potrebbe essere effettivamente al di fuori del limite di specifica. Anche se il risultato del test indica un valore conforme alle specifiche a causa dell'accuratezza della misurazione, il valore reale potrebbe in realtà essere fuori specifica. Ecco perché l'MSA e la valutazione dell'accuratezza o dell'errore del sistema di misura sono così importanti.
Ci sono due casi. Un componente può essere effettivamente fuori specifica, ma a causa di un errore di misurazione in realtà lo misuriamo entro le specifiche. D'altro canto, il valore reale del componente potrebbe essere entro le specifiche, ma potrebbe essere misurato al di fuori delle specifiche a causa della precisione della misurazione.
Il primo caso corrisponde a una parte difettosa che verrebbe definita buona, e rappresenta un rischio per il cliente o problemi di qualità. Il secondo caso corrisponde a una parte buona definita cattiva, e rappresenta un rischio per il produttore e una perdita di resa prevista.
L'MSA si basa in gran parte sul Gage R&R, che consente di stimare la variabilità di un sistema di misura. Gage R&R sta per ripetibilità, ovvero la variabilità nelle misurazioni effettuate da un singolo operatore addetto allo strumento, e riproducibilità, ovvero la variabilità nelle misurazioni effettuate da diversi operatori addetti allo strumento.
La metrica principale per l'analisi del sistema di misura è la percentuale P su T per la precisione sulla tolleranza, che dovrebbe essere inferiore al 10%. Possiamo visualizzare l'accuratezza del sistema di misura, come la varianza totale della misurazione, che è la somma della varianza della riproducibilità più la varianza della ripetibilità.
La formula della metrica P su T è definita come sei sigma della misurazione ottenuta attraverso lo studio sperimentale Gage R&R, diviso per la larghezza della specifica in percentuale. Sei sigma è qui perché in realtà è più o meno tre sigma e per una distribuzione normale corrisponde a un livello di confidenza del 99,73%. Ma questo è nell'ipotesi normale.
Ecco alcuni casi reali di misurazioni di convalida eseguite in fase di convalida. La convalida non è produzione. Abbiamo accesso solo a poche parti, non a migliaia di parti di prodotti. Non eseguiamo uno studio completo di Gage R&R, come definito nelle specifiche del settore automobilistico per le misurazioni. Di solito disponiamo di una sola parte. Eseguiamo circa 30 ripetizioni e osserviamo casi di distribuzioni non normali, come mostrato in quei due esempi in cui ho tracciato il grafico dei quantili normali, e si può vedere il test di bontà di adattamento sia per Shapiro-Wilk che per Anderson-Darling, che è molto significativo per entrambi i parametri.
Qui ci troviamo di fronte a due casi di parametri che non seguono una distribuzione normale. Vogliamo comunque stimare il Gage R&R e il P su T. La domanda è: la formula standard di sei volte il sigma della misura diviso per la tolleranza di specifica? Questa formula di riferimento è ancora valida nel caso di un set di dati non normale? Per questo proponiamo qui due alternative, due soluzioni. La prima si basa sulla disuguaglianza di Bienayme-Tchebychev.
Sia X una variabile casuale con varianza finita diversa da zero. Quindi, per ogni numero reale k maggiore di zero, la probabilità che la variabile meno la media, ovvero che la variabile si discosti dalla media di più di K volte il sigma, sia minore o uguale a uno fratto K elevato al quadrato.
La cosa sorprendente di questa disuguaglianza è che è agnostica rispetto alla distribuzione. Non dobbiamo preoccuparci della normalità della distribuzione.
Vediamo cosa dà nei nostri casi. K sigma per 3K3 sigma. La percentuale massima oltre K deviazioni standard dalla media. Tre deviazioni standard dalla media. Per la disuguaglianza di Bienayme-Tchebychev è dell'11%, oltre, diciamo, quattro sigma dalla media. Non può mai essere maggiore del 6,25%. Per cinque sigma è del 4% e così via. Fino a questo caso di dieci sigma, che garantisce che non più dell'1% della popolazione supererà, sarà oltre dieci sigma.
Ma ricordiamoci che la formula standard P su T, che si basa su sei sigma più meno tre sigma su una distribuzione normale, garantisce un livello di confidenza del 90%, indipendentemente dal tipo di distribuzione in questo caso. Quello che voglio dire è che se applichiamo la disuguaglianza di Beinayme-TchebyChev con tre sigma, possiamo effettivamente coprire un livello di confidenza del 90% indipendentemente dal tipo di distribuzione. Il che è positivo perché non abbiamo bisogno di un livello di confidenza così elevato rispetto ai sistemi di misurazione della produzione. Siamo ancora in fase di validazione.
Sì, abbiamo la validazione. Siamo sviluppo, non produzione. Il mio consiglio sarebbe di usare K uguale a quattro nella nostra formula per raggiungere un livello di confidenza basato sulla disuguaglianza di Beinayme-Tchebychev prossimo al 95%. Anche in questo caso, questo vale indipendentemente dal tipo di distribuzione. Questo elimina la necessità di verificare la normalità del set di dati e, in caso di un set di dati non normale, possiamo comunque valutare l'accuratezza del sistema di misurazione con un livello di confidenza del 95%. Grazie a questa disuguaglianza.
Tuttavia, la disuguaglianza generalmente fornisce un limite scarso poiché la distribuzione è sconosciuta. Ricordiamo che nel caso della distribuzione normale, più meno tre sigma equivale al 99,73%, che è molto più alto di quanto ci prefiggiamo qui. Se è necessario un livello di confidenza più elevato, abbiamo una seconda soluzione. Lascerò che sia Francois a spiegarvela.
Grazie Berland. Grazie, François.
Cercheremo di ottenere qualcosa di un po' più preciso rispetto alla disuguaglianza di Beinayme-Tchebychev, anche se la disuguaglianza di Beinayme-Tchebychev è universale. È un risultato molto interessante che possiamo applicare ai dati dei test elettrici. L'idea di ciò che chiamiamo "mezzo momento". Il mezzo momento è una misura della dispersione standard dei dati. Ma solo su un lato. Sul lato destro o sul lato sinistro della distribuzione. Per definizione, con il mezzo momento si possono gestire distribuzioni non simmetriche. Molto spesso, ovviamente, dati non normali significano dati non simmetrici. Esiste un mezzo momento destro e uno sinistro.
A proposito della teoria. Ho dato un'occhiata alla teoria. È piuttosto complessa usando il numero complesso i. Quindi non entrerò qui in questa teoria, ovviamente. Ma esiste un'alternativa al semimomento che si chiama mezza deviazione standard. La mezza deviazione standard è molto utile per l'obiettivo di NXP e Francois. Qual è il nostro momento? Ecco la formula molto semplice del semimomento per il sigma sinistro.
Ok, quindi potresti vedere che è molto simile alla formula della deviazione standard. Ma a sinistra hai un dato numero di punti. A sinistra significa inferiore alla media, inferiore alla media. Calcoliamo la somma dei quadrati tra il punto a sinistra e la differenza al quadrato con la media. Nota che la barra y è una media globale. Non è una media sinistra o destra, è la media globale di tutti i dati. Questo è abbastanza naturale. Il sigma sinistro e il sigma destro sono ovviamente gli stessi a destra. Ok.
Una volta eseguito questo calcolo, è possibile modellare e calcolare un intervallo di confidenza con limite di confidenza per qualsiasi distribuzione non simmetrica. Qui abbiamo un'ulteriore ipotesi quando utilizziamo questo intervallo di predizione. Vedete, gli Z sono i quantili della distribuzione normale. Potrebbe sembrare sorprendente, ma qui ipotizziamo di avere una distribuzione non simmetrica. Tuttavia, a destra e a sinistra abbiamo una sorta di asimmetria, come una distribuzione normale. Bene. Per questo motivo, possiamo applicare questa formula, che è una formula standard con gli Z della distribuzione normale. Ma ovviamente l'intervallo di predizione non sarà simmetrico perché di solito per i dati non normali, per definizione, sigma a sinistra e sigma a destra non sono la stessa cosa. Questa è l'idea.
Ora passo alla diapositiva successiva. Un esempio: abbiamo una distribuzione non normale. Si tratta di dati di un test elettrico. Il grafico dei quantili mostra una non normalità. Lo vediamo anche nell'istogramma. Abbiamo un calcolo a più o meno tre sigma. Ma abbiamo sigma a sinistra e sigma a destra. Ecco cosa vediamo in questa distribuzione.
La media è vicina a questo valore. L'asimmetria della distribuzione è principalmente a destra. In questo caso, sigma a destra è maggiore di sigma a sinistra. Si vede la previsione. Si tratta di un intervallo di previsione equivalente al 99,7%, che è più ampio a destra rispetto a sinistra.
Ciò che è anche interessante è che questo valore è molto vicino al limite di predizione, perché il sigma rimanente è basso. Possiamo vedere che rimane una distribuzione asimmetrica molto piccola, e questo punto è piuttosto lontano. Rispetto a questo, siamo in grado di modellare questo punto in una certa misura.
Ora, per continuare e generalizzare il rapporto P/T definito da François, vi mostrerò un JMP. Definiamo un rapporto P/T non normale, che è semplicemente tre sigma a sinistra più tre sigma a destra diviso per la tolleranza. Questa è chiaramente la stessa formula. Ma non abbiamo sei sigma al numeratore. Abbiamo tre sigma a sinistra e tre a destra.
Nell'illustrazione qui, in quel caso, l'asimmetria della distribuzione a sinistra è molto importante. Quindi sigma a sinistra è chiaramente maggiore di sigma a destra. Si vede che il limite di predizione qui, che chiamiamo limite di predizione LPL, è chiaramente a sinistra rispetto al limite superiore. In questo modo, copriamo circa più del 99% della distribuzione, indipendentemente dalla normalità o da qualsiasi distribuzione, funziona su qualsiasi distribuzione. Come la teoria di Beinayme-Tchebychev, questa è universale.
Diapositiva successiva. Un esempio. Una piccola sfida aggiuntiva, diciamo. Molto spesso, quando si ha una distribuzione non simmetrica, si ha un solo limite di specifica. Ad esempio, possiamo prendere l'esempio della corrente di dispersione. C'è solo un limite di specifica superiore perché il pericolo è sul valore elevato per la corrente di dispersione. All'altro estremo, o in questo esempio, abbiamo solo un limite di specifica inferiore. In tal caso, ovviamente, non inventeremo un altro limite. Abbiamo un limite di specifica, quindi lavoriamo con un solo limite di specifica. In tal caso, c'è un adattamento della formula P su T, che qui è semplicemente tre sigma a sinistra al numeratore. Quando diciamo sigma in questa presentazione, si intende sempre sigma di misura. Tre sigma a sinistra diviso per l'equivalente di metà tolleranza, ok. La media meno il limite inferiore. Questa è una formula standard. Ma la differenza qui è che applichiamo la formula standard con sigma f e non sigma.
Questo esempio è molto interessante. Ancora una volta, con dati reali forniti da NXP, vediamo cosa succede. Abbiamo chiaramente una distribuzione non simmetrica. Osserviamo che il valore di sigma a sinistra è più alto. Abbiamo una densità di probabilità asimmetrica che è chiaramente più alta a sinistra. Non sorprende che siano rimasti tre sigma. Chiamiamo questo limite di previsione inferiore quello che si trova in realtà a sinistra rispetto al limite di previsione superiore.
Qui, se consideriamo il P non normale su T, è semplicemente il rapporto tra la media e il limite inferiore di predizione. Questo intervallo viene confrontato e diviso per la differenza tra la media e il limite inferiore di specifica. Questo è semplicemente il rapporto. In questo esempio, abbiamo un P su T del 75%. Ciò significa che la dispersione globale del sistema di misura a sinistra copre più del 50% della tolleranza di sinistra. Naturalmente, è un risultato negativo perché nel settore automobilistico è necessario che questo valore sia inferiore al 10%. Questo è un ottimo esempio di ciò che possiamo fare.
Solo per informazione, se non usiamo la funzione P non normale su T, se utilizziamo una formula standard, il risultato che possiamo calcolare con JMP, come vi mostrerò, sarà del 43%. Il risultato è il 43%. Chiaramente diverso, rispetto al 75%.
Ora farò una demo con JMP. Scusate. Grazie. Una piccola demo con JMP. Eccola. Aprirò due cose. Aprirò un file anonimizzato. Quello che vedete, X1, X2, X3 e così via, sono il risultato di dati di test elettrici. Dispersione di corrente e così via. Vedremo che la maggior parte di questi sono dati non normali. Prima di tutto possiamo dare un'occhiata ad alcuni di questi parametri. Eccoli. Il primo, ad esempio, è chiaramente non normale. Possiamo fare molte cose con JMP, ovviamente.
Ad esempio, possiamo provare a modellare. Abbiamo una collezione molto ampia di distribuzioni. Vediamo che non è normale. Perché non proviamo la distribuzione di Cauchy? Ma la distribuzione di Cauchy non funziona molto bene in quel caso. Proviamo. Cosa ti piace? Possiamo provare la distribuzione esponenziale. Distribuzione esponenziale. Okay. Quella blu chiaramente non funziona affatto bene. È un'impresa molto ardua cercare di adattare una distribuzione teorica a questi dati empirici.
Sapete cosa? Inoltre, anche se trovassi una buona distribuzione che si adatti al parametro X1, chiaramente non sarebbe la stessa per X3, X4. Ad esempio x4. Proviamo con una curva di Cauchy. Non funziona affatto bene. Anche se non è così male, ok, possiamo provare qualcos'altro. Possiamo provare con la beta, ad esempio. La beta non funzionerà bene. Ok. In ogni caso è un lavoro molto arduo. La seconda opzione che possiamo fare per modellare la distribuzione e calcolare quantili che potrebbero essere equivalenti a sei sigma in una formula P su T è usare quella che chiamiamo una curva di adattamento regolare.
La curva liscia è una modellazione non parametrica dei dati che può funzionare molto bene in alcuni casi, ma qui, nel caso della convalida, abbiamo due problemi. Il primo problema è che abbiamo campioni molto piccoli. Ad esempio, in quel caso sono state effettuate 15 ripetizioni, solo 15 campioni di piccole dimensioni. Sappiamo che la stima non parametrica, soprattutto per la stima della distribuzione, richiede campioni di grandi dimensioni. Chiaramente, nel contesto della convalida, non è sufficiente. La curva liscia non funzionerà molto bene. Inoltre, con un campione così piccolo, la levigatura è molto sensibile a questi valori anomali e a questi valori anomali. Non vogliamo rimuoverli. Fanno parte dell'errore di analisi della misurazione. Non possiamo rimuoverli.
Per concludere, utilizzando il metodo standard, adattare una non-distribuzione è molto difficile e l'utilizzo di un adattamento non parametrico non è adatto. Abbiamo bisogno di un'altra soluzione. R Sigma è una soluzione semplice perché NXP cercava una soluzione semplice che non richiedesse molti calcoli statistici complessi.
Diamo un'occhiata a questo. Apro un piccolo script GSL sviluppato qui a Ippon. Devo trovare un'elitarizzazione GSL. Eseguo il GSL, mi chiede di aprire un file. Qui voglio valutare l'analisi del sistema di misura per tutti questi parametri, tutti questi test elettrici. Di default, prendo un valore di tre? Tre più tre fa sei, ovviamente. Questo è un valore predefinito.
Cosa stiamo osservando? Questa prima distribuzione non è poi così lontana dalla normalità. Lo vediamo nel grafico dei quantili. Abbiamo tutta la distribuzione. Questa è X15. Se torno a X1, vediamo chiaramente che X1 non è normale. X2 non è normale. Siamo chiaramente in una distribuzione asimmetrica a destra. X4 è una distribuzione discreta come una distribuzione più uno. Non proprio normale, forse X9 potrebbe esserlo, vicina alla normalità. X10 non è chiaramente normale. È chiaramente non normale e così via.
Abbiamo un set di parametri per il test elettrico e la distribuzione. Ora inseriamo il limite di specifica. Iniziamo con X1. Ad esempio, per X1 sappiamo che i limiti di specifica sono 25 e 28. Qui inserisco 25 e 28. Abbiamo due limiti di specifica e qui il rapporto P/T è del 39%. Non tanto bene. Non catastrofico, ma non tanto bene.
Abbiamo qui un'illustrazione del rapporto P/T, che è semplicemente il rapporto tra la dispersione della variazione di misura. Qui, sigma è solo una misura sigma, ok. Che viene confrontata con ciò che il cliente si aspetta. L'intervallo di tolleranza qui è USL meno LSL. Il blu rispetto al rosso è del 39%. Non così buono. Sarà necessario un piano di miglioramento per migliorare il sistema di misura in questo caso. Ma questo è un altro argomento.
Diamo ora un'occhiata a X2 non normale con asimmetria destra della distribuzione. Inseriremo un solo per X2. Il pericolo è sul lato destro e c'è un solo limite di specifica a destra. Inseriremo il limite di specifica destro, che è il punto due. Il punto due è qui. Confrontate qui l'intervallo tra la media e la linea blu e tra la media e la linea rossa. Qui è del 34%. Non è un granché. Ma mi dispiace di aver commesso un errore. La specifica è 0,5. Scusate.
Qui abbiamo un'illustrazione migliore. Questa è l'ampiezza della variazione del sistema di misura rispetto alla specifica. Abbiamo un p corretto, diciamo corretto, di t, del 12%. In ogni caso, puoi semplicemente inserire un limite di specifica. Ne sto inserendo un altro. Cerchiamo. Sì, questo su X10. Inseriremo il limite di specifica che, per quanto ricordo, è X10. Abbiamo un limite di specifica a 30. Fammi trovare X10. Limite di specifica inferiore a dieci. Scusate. Ho fatto un errore qui. Abbiamo un ottimo, ottimo rapporto P su T. Credo fosse dieci. Scusate. Comunque, non importa. Con il limite di specifica a dieci, abbiamo un ottimo rapporto P su T.
In ogni caso, con questo calcolo è molto semplice. Abbiamo creato uno script GSL perché GSL è molto utile per l'interattività e l'interfaccia utente grafica, ma i calcoli sono davvero semplici da eseguire. Questo è quello presentato in PowerPoint.
Torniamo alla presentazione. Eccola. Torno a schermo intero. Scusate. Concludiamo qui. La prima parte della presentazione è stata davvero interessante perché la disuguaglianza di Beinayme-Tchebychev è davvero una garanzia per qualsiasi tipo di distribuzione. Si è certi che una buona percentuale della distribuzione sarà compresa tra min più o meno K sigma, ok. François ha mostrato che l'esempio di quattro sigma è già buono per avere una copertura della distribuzione vicina al 95%, se si vogliono ottenere risultati un po' più precisi, si può usare la deviazione standard.
L'ho scoperto di recente. È molto promettente perché tiene conto della non simmetria di qualsiasi distribuzione, e anche i primi risultati su una serie di dati di test sono molto promettenti. Una prospettiva è quella di applicarlo all'individuazione di valori anomali. Ma forse questo sarà l'argomento di una futura presentazione. Vorrei ringraziare Nikolaus Kourentzesa per l'idea di Half Moment. È professore di statistica in Svezia e sta lavorando su questi argomenti e anche su Ippon. Grazie a Charly Marty per gli ottimi script GSL. Grazie per l'attenzione.
Grazie mille.
