Die Messsystemanalyse (MSA) ist in der Halbleiterindustrie von großer Bedeutung, um die Messqualität zu beurteilen. Die meisten MSA-Kennzahlen, insbesondere das Präzisions-Toleranz-Verhältnis (P/T), setzen implizit eine Normalverteilung voraus, wobei +/- kσ einen bestimmten Prozentsatz der Verteilung abdeckt. In den Referenzdokumenten (AIAG MSA Manual) finden sich keine alternativen Berechnungsmethoden für nicht normalverteilte Daten, und es ist schwierig, eine einfache Methode zu finden, die sich an Parameter mit sehr unterschiedlichen Verteilungen anpasst.
Wir stellen zwei Methoden vor, die sich durch einfache Berechnungen auszeichnen und verteilungsunabhängig sind. Sie decken den für unser Konfidenzniveau festgelegten Prozentsatz der Verteilung ab. Die erste Methode verwendet die Bienaymé-Tschebyscheff-Ungleichung, um die Anzahl der Standardabweichungen in einer k-Sigma-Formel korrekt zu definieren. Die zweite Methode berechnet jeweils eine halbe Standardabweichung auf der rechten und linken Seite, um bei asymmetrischen Verteilungen eine bessere Abdeckung zu gewährleisten.
Die beiden Methoden werden bei vielen elektrischen Prüfungen mit JMP-Formeln angewendet und können auf die Erkennung und Beseitigung von Ausreißern verallgemeinert werden.
Hallo zusammen. Mein Name ist François Berland und ich arbeite für NXP Semiconductors in Toulouse, Frankreich.
François Bergeret ippon learning in France. We are consulting in statistics company.
Heute geht es um die Analyse von Messsystemen bei nicht normalverteilten Daten. Die Agenda dieser Präsentation sieht wie folgt aus: Zunächst beleuchten wir den geschäftlichen Kontext. Ich werde auf das Thema Automobilradar eingehen und erläutern, was Validierung in der Halbleiterindustrie bedeutet. Anschließend wiederhole ich die Grundlagen der Messsystemanalyse. Danach präsentiere ich einige Beispiele nicht normalverteilter Daten, für die es jeweils zwei Lösungsansätze gibt.
Lösung eins basiert auf der Bienayme-Tschebyscheff-Ungleichung. Ich werde in diesem Zusammenhang einige Empfehlungen zur Validierung geben. Lösung zwei basiert auf der halben Standardabweichung. Wir werden Berechnungen, Anwendungen und JMP-Formeln vorstellen und eine Verallgemeinerung dieser Methode zur Ausreißererkennung vorschlagen.
Sprechen wir über Radar in Automobilanwendungen. Radar steht für Radio Detection and Ranging (Funkortung und Entfernungsmessung). Es ist eine Schlüsseltechnologie für autonomes Fahren und mehr Sicherheit. Radar im Auto liefert Position, Geschwindigkeit und Winkel mehrerer Objekte im Verhältnis zu anderen Fahrzeugen. Es bietet zahlreiche Vorteile: Es ist kostengünstig, robust, erkennt verdeckte Objekte und ist im Gegensatz zu Kameras unempfindlich gegenüber Wetter- und Lichtverhältnissen.
Wie auf dem Bild zu sehen, gibt es einige Anwendungsbereiche für Nah- und Mittelstreckenradar. Es kann beispielsweise beim Einparkassistenten und der Querverkehrswarnung helfen. Mittelstreckenradar unterstützt die Totwinkelüberwachung, und Fernstreckenradar trägt unter anderem zur adaptiven Geschwindigkeitsregelung und zum automatischen Notbremsassistenten bei.
Nun zur Validierung in der Halbleiterentwicklung. In der Automobilindustrie nutzen wir das V-Modell. V steht für Verifikation und Validierung. Es ist eine Methode zur Entwicklung neuer Produkte. Der linke Schenkel des V besteht aus der Definition und Analyse der Anforderungen. Im Wesentlichen wird hier das zukünftige Produkt spezifiziert. Anschließend folgt die Implementierung. Der rechte Schenkel des V dient der Überprüfung, ob das Produkt die Spezifikationsanforderungen erfüllt. Mit anderen Worten: Wir führen Produkttests durch.
In der Automobilindustrie bezeichnet Validierung On-Silicon-Tests. Welche Rolle spielt die Validierung? Sie dient dazu, die Konformität des Produkts mit den spezifizierten Anforderungen zu überprüfen. Typischerweise umfasst die Validierung On-Silicon-Tests und -Messungen. Kommen wir nun zur MSA-Messsystemanalyse. Warum ist eine Messsystemanalyse wichtig?
Betrachten wir folgenden Fall: Ein Parameter hat eine untere und eine obere Spezifikationsgrenze. Der Validierungsingenieur misst einen Wert – beispielsweise testet er ein Bauteil – und erhält ein Ergebnis, dessen Schnittpunkt im Diagramm innerhalb der Spezifikationsgrenzen liegt. Wir schließen daraus, dass das Testergebnis den Spezifikationen entspricht. Nehmen wir nun an, dass dieser Abstand die Genauigkeit des verwendeten Messsystems darstellt.
Wenn Sie hier aufgrund der Messunsicherheit einen Wert ermittelt haben, kann der tatsächliche Wert des Produkts außerhalb der Spezifikationsgrenzen liegen. Selbst wenn das Testergebnis aufgrund der Messgenauigkeit innerhalb der Spezifikation liegt, kann der tatsächliche Wert außerhalb der Spezifikation liegen. Deshalb sind die Messsystemanalyse (MSA) und die Bewertung der Genauigkeit bzw. des Fehlers des Messsystems so wichtig.
Es gibt zwei Fälle. Ein Bauteil kann deutlich außerhalb der Spezifikation liegen, aber aufgrund eines Messfehlers wird es fälschlicherweise als innerhalb der Spezifikation liegend gemessen. Umgekehrt kann der tatsächliche Wert des Bauteils innerhalb der Spezifikation liegen, aber aufgrund der Messgenauigkeit außerhalb der Spezifikation gemessen werden.
Der erste Fall entspricht einem fehlerhaften Teil, das fälschlicherweise als einwandfrei bezeichnet würde. Dies stellt ein Kundenrisiko oder Qualitätsprobleme dar. Der zweite Fall ist ein einwandfreies Teil, das fälschlicherweise als fehlerhaft bezeichnet wird. Dies birgt ein Produzentenrisiko und führt zu erwarteten Ertragsverlusten.
Die Messsystemanalyse (MSA) basiert im Wesentlichen auf der Messsystemanalyse (Gage R&R), mit der die Streuung eines Messsystems abgeschätzt werden kann. Gage R&R steht für Wiederholbarkeit (die Streuung der Messungen einer einzelnen Person) und Vergleichbarkeit (die Streuung der Messungen verschiedener Personen).
Die wichtigste Kennzahl für die Analyse des Messsystems ist das prozentuale Verhältnis von Präzision zu Toleranz (P/T), das erwartungsgemäß unter 10 % liegt. Die Genauigkeit des Messsystems lässt sich beispielsweise anhand der Gesamtvarianz der Messung visualisieren, welche sich aus der Summe der Varianz der Reproduzierbarkeit und der Varianz der Wiederholbarkeit ergibt.
Die Formel für die Kennzahl P/T ist definiert als sechs Sigma der im Rahmen der Messsystemanalyse (MSA) ermittelten Messwerte, dividiert durch die prozentuale Spezifikationsbreite. Sechs Sigma werden hier verwendet, da es sich tatsächlich um plus/minus drei Sigma handelt und bei einer Normalverteilung einem Konfidenzniveau von 99,73 % entspricht. Dies gilt jedoch nur unter der Annahme einer Normalverteilung.
Hier sind einige Beispiele für Validierungsmessungen aus der Praxis. Validierung ist keine Produktion. Wir haben nur Zugriff auf wenige Teile, nicht auf Tausende von Produktteilen. Wir führen keine vollständige Messsystemanalyse (MSA) durch, wie sie in den Spezifikationen der Automobilindustrie für Messungen definiert ist. Wir haben in der Regel nur ein einziges Teil. Wir wiederholen die Messung etwa 30 Mal und beobachten dabei Fälle von nicht-normalverteilten Daten, wie in den beiden Beispielen dargestellt. Dort habe ich das Quantildiagramm der Normalverteilung erstellt. Sie sehen auch den Anpassungstest nach Shapiro-Wilk und Anderson-Darling, der für beide Parameter hochsignifikant ist.
Hier stehen wir vor zwei Fällen von Parametern, die keiner Normalverteilung folgen. Dennoch möchten wir die Messsystem-Risiko-Beziehung (Gage R&R) und die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler (P/T) schätzen. Die Frage ist, ob die Standardformel – das Sechsfache der Standardabweichung der Messung geteilt durch die Spezifikationstoleranz – auch bei nicht normalverteilten Daten gültig ist. Wir schlagen daher zwei alternative Lösungsansätze vor. Der erste basiert auf der Bienayme-Tschebyscheff-Ungleichung.
Sei X eine Zufallsvariable mit endlicher, von null verschiedener Varianz. Dann ist für jede reelle Zahl k größer als null die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable minus dem Mittelwert, also dass die Variable um mehr als das K-fache der Standardabweichung (σ) vom Mittelwert entfernt ist, kleiner oder gleich 1/K².
Das Erstaunliche an dieser Ungleichung ist, dass sie verteilungsunabhängig ist. Wir müssen uns nicht mit der Normalverteilung auseinandersetzen, wir müssen uns darüber keine Gedanken machen.
Schauen wir uns an, was das in unseren Fällen ergibt. K Sigma für 3K3 Sigma. Der maximale Prozentsatz, der über K Standardabweichungen vom Mittelwert liegt. Drei Standardabweichungen vom Mittelwert. Laut der Bienayme-Tschebyscheff-Ungleichung sind das 11 %, sagen wir, vier Sigma vom Mittelwert entfernt. Er kann nie größer als 6,25 % sein. Für fünf Sigma sind es 4 % und so weiter. Bis zu diesem Fall von zehn Sigma, der garantiert, dass nicht mehr als 1 % der Population zehn Sigma überschreitet.
Erinnern wir uns jedoch daran, dass die Standardformel P/T, basierend auf 6σ ± 3σ einer Normalverteilung, ein Konfidenzniveau von 90 % garantiert, unabhängig vom Verteilungstyp. Anders ausgedrückt: Wendet man die Beinayme-Tschebyscheff-Ungleichung mit 3σ an, erreicht man tatsächlich ein Konfidenzniveau von 90 %, unabhängig vom Verteilungstyp. Dies ist vorteilhaft, da wir im Vergleich zu Produktionsmesssystemen kein so hohes Konfidenzniveau benötigen. Wir befinden uns noch in der Validierungsphase.
Ja, wir haben Validierungsergebnisse. Wir befinden uns in der Entwicklungsphase, nicht in der Produktion. Ich empfehle, in unserer Formel K = 4 zu verwenden, um basierend auf der Beinayme-Tschebyscheff-Ungleichung ein Konfidenzniveau von nahezu 95 % zu erreichen. Dies gilt unabhängig von der Art der Verteilung. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, die Normalverteilung der Daten zu überprüfen, und selbst bei nicht normalverteilten Daten können wir die Genauigkeit des Messsystems dank dieser Ungleichung mit einem Konfidenzniveau von 95 % bewerten.
Die Ungleichung liefert jedoch im Allgemeinen eine ungenaue Schranke, da die Verteilung unbekannt ist. Zur Erinnerung: Im Fall der Normalverteilung entspricht ± 3σ einem Wert von 99,73 %, was deutlich über dem hier angestrebten Wert liegt. Ist ein höheres Konfidenzniveau erforderlich, gibt es eine zweite Lösung. François wird Ihnen diese erläutern.
Danke, Berland. Danke, François.
Wir werden versuchen, eine etwas präzisere Lösung als die Beinayme-Tchebychev-Ungleichung zu finden, auch wenn diese universell gültig ist. Es handelt sich um ein sehr nützliches Ergebnis, das wir auf elektrische Messdaten anwenden können. Wir nennen es das Halbmoment. Das Halbmoment ist ein Maß für die Standardstreuung der Daten, allerdings nur auf einer Seite – entweder rechts oder links der Verteilung. Definitionsgemäß lassen sich mit dem Halbmoment auch nicht-symmetrische Verteilungen analysieren. Nicht-normalverteilte Daten sind häufig auch nicht-symmetrisch. Es gibt ein rechtes und ein linkes Halbmoment.
Zur Theorie: Ich habe sie mir angesehen. Sie ist recht komplex und verwendet die komplexe Zahl i. Daher werde ich hier natürlich nicht näher darauf eingehen. Es gibt jedoch eine Alternative zum halben Moment, nämlich die halbe Standardabweichung. Die halbe Standardabweichung ist für das Ziel von NXP und François sehr nützlich. Was ist unser Moment? Hier ist die sehr einfache Formel für das halbe Moment der linken Sigma-Frequenz.
Okay, Sie sehen also, dass die Formel der Standardabweichung sehr ähnlich ist. Links steht eine bestimmte Anzahl von Punkten. „Links“ bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. Wir berechnen die Summe der Quadrate zwischen dem jeweiligen Punkt links und der quadrierten Differenz zum Mittelwert. Beachten Sie, dass ȳ der globale Mittelwert ist. Es ist nicht der linke oder rechte Mittelwert, sondern der globale Mittelwert aller Daten. Das ist ganz natürlich. Die linke und rechte Standardabweichung (σ) sind natürlich gleich. Okay.
Sobald diese Berechnung abgeschlossen ist, können Sie ein Modell erstellen und ein Konfidenzintervall für jede nicht-symmetrische Verteilung berechnen. Bei der Verwendung dieser Vorhersageformel gilt eine zusätzliche Annahme: Die Z-Werte entsprechen den Quantilen der Normalverteilung. Es mag überraschend klingen, aber wir gehen hier von einer nicht-symmetrischen Verteilung aus. Allerdings weisen die Verteilungen links und rechts eine gewisse Schiefe auf, ähnlich wie bei einer Normalverteilung. Daher können wir diese Standardformel mit den Z-Werten der Normalverteilung anwenden. Das Vorhersageintervall ist jedoch nicht symmetrisch, da bei nicht-normalverteilten Daten die Standardabweichungen (σ links und σ rechts) definitionsgemäß nicht gleich sind. Das ist der Grundgedanke.
Nun zur nächsten Folie. Hier sehen wir ein Beispiel mit einer nicht-normalen Verteilung. Es handelt sich um elektrische Testdaten. Das Quantildiagramm zeigt die Abweichung von der Normalverteilung. Dasselbe ist im Histogramm erkennbar. Wir haben eine Berechnung im Bereich von plus/minus drei Standardabweichungen (Sigma). Dabei haben wir aber auch die Standardabweichungen links und rechts. Das sehen wir in dieser Verteilung.
Der Mittelwert liegt nahe an diesem Wert. Die Verteilung ist überwiegend rechtsschief. In diesem Fall ist die Standardabweichung rechts größer als die Standardabweichung links. Dies ist ein Vorhersageintervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7 %, das rechts breiter ist als links.
Interessant ist auch, dass dieser Wert sehr nahe an der Vorhersagegrenze liegt, da die verbleibende Standardabweichung gering ist. Man erkennt eine sehr geringe verbleibende Schiefe der Verteilung, und dieser Punkt liegt vergleichsweise weit entfernt. Wir können diesen Punkt daher bis zu einem gewissen Grad modellieren.
Ich zeige Ihnen das jetzt anhand eines JMP-Programms. Um das von François definierte P/T-Verhältnis zu verallgemeinern, definieren wir ein nicht-normales P/T-Verhältnis, das einfach drei Sigma links plus drei Sigma rechts geteilt durch die Toleranz ist. Das ist im Prinzip dieselbe Formel. Allerdings haben wir im Zähler nicht sechs Sigma, sondern drei Sigma links und drei Sigma rechts.
In der Abbildung ist die Schiefe der Verteilung auf der linken Seite in diesem Fall sehr wichtig. Sigma links ist also deutlich größer als Sigma rechts. Man sieht, dass die hier als LPL bezeichnete Vorhersagegrenze im Vergleich zur oberen Grenze deutlich links liegt. Damit decken wir über 99 % der Verteilung ab, unabhängig von der Normalverteilung oder anderen Verteilungen; das Verfahren funktioniert mit jeder Verteilung. Wie das Beinayme-Tchebychev-Verfahren ist es universell anwendbar.
Nächste Folie. Ein Beispiel. Eine kleine zusätzliche Herausforderung. Bei einer nicht-symmetrischen Verteilung gibt es oft nur einen Grenzwert. Nehmen wir beispielsweise den Leckstrom. Es gibt einen oberen Grenzwert, da die Gefahr bei hohen Leckstromwerten liegt. Am anderen Ende, in diesem Beispiel, haben wir nur einen unteren Grenzwert. In diesem Fall erfinden wir natürlich keinen weiteren Grenzwert. Wir haben einen Grenzwert und arbeiten mit diesem. Hierfür gibt es eine angepasste P/T-Formel, bei der wir im Zähler drei linke Sigma verwenden. Wenn wir in dieser Präsentation von Sigma sprechen, meinen wir immer das Mess-Sigma. Drei linke Sigma geteilt durch die halbe Toleranz, also den Mittelwert minus den unteren Grenzwert. Das ist eine Standardformel. Der Unterschied hier besteht darin, dass wir die Standardformel mit Sigma f und nicht mit Sigma anwenden.
Dieses Beispiel ist sehr interessant. Anhand realer Daten von NXP sehen wir Folgendes: Es handelt sich eindeutig um eine asymmetrische Verteilung. Sigma links ist höher. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist schief und links deutlich höher. Es ist daher nicht überraschend, dass drei Sigma links – die sogenannte untere Vorhersagegrenze – im Vergleich zur oberen Vorhersagegrenze deutlich weiter links liegt.
Betrachten wir hier die nicht-normale Verteilung P/T, so entspricht diese dem Verhältnis zwischen dem Mittelwert und der unteren Vorhersagegrenze. Dieser Bereich wird durch die Differenz zwischen Mittelwert und unterer Spezifikationsgrenze dividiert. Das ist einfach das Verhältnis. In diesem Beispiel haben wir eine Verteilung P/T von 75 %. Das bedeutet, dass die Gesamtstreuung des Messsystems links mehr als 50 % der Toleranzgrenze links abdeckt. Natürlich ist das ein schlechtes Ergebnis, da wir in der Automobilindustrie einen Wert unter 10 % benötigen. Dies ist ein sehr gutes Beispiel dafür, was wir erreichen können.
Nur zur Information: Wenn wir die nicht-normale Verteilung P/T nicht berücksichtigen und stattdessen eine Standardformel verwenden, ergibt sich mit JMP ein Ergebnis von 43 %. Das ist ein deutlicher Unterschied zu den 75 %.
Jetzt zeige ich euch eine kleine Demo mit JMP. Entschuldigung. Danke. Hier ist sie. Ich öffne zwei Dateien. Zuerst eine anonymisierte Datei. Die Werte X1, X2, X3 usw. sind die Ergebnisse elektrischer Messdaten, z. B. Leckströme. Wir werden sehen, dass die meisten Werte nicht normal sind. Schauen wir uns zunächst einige dieser Parameter an. Hier ist er. Der erste Wert ist beispielsweise eindeutig nicht normal. Mit JMP kann man natürlich noch vieles mehr machen.
Wir können beispielsweise versuchen, ein Modell zu erstellen. Wir haben eine sehr große Sammlung von Verteilungen. Wir sehen, dass sie nicht normalverteilt ist. Warum versuchen wir es nicht mit der Cauchy-Verteilung? Aber die Cauchy-Verteilung funktioniert in diesem Fall nicht so gut. Versuchen wir es. Was gefällt Ihnen? Wir können die Exponentialverteilung versuchen. Exponentialverteilung. Okay. Die blaue Verteilung funktioniert eindeutig überhaupt nicht gut. Es ist sehr mühsam, eine theoretische Verteilung an diese empirischen Daten anzupassen.
Weißt du was? Selbst wenn ich eine passende Verteilung für den Parameter X1 fände, wäre sie natürlich nicht dieselbe für X3 und X4. Nehmen wir zum Beispiel X4. Versuchen wir es mit einer Cauchy-Verteilung. Das funktioniert überhaupt nicht gut. Auch wenn es nicht so schlecht ist, können wir etwas anderes versuchen. Wir könnten es zum Beispiel mit einer Beta-Verteilung versuchen. Die Beta-Verteilung funktioniert aber auch nicht gut. Okay. Auf jeden Fall ist das sehr aufwendig. Eine zweite Möglichkeit, die Verteilung zu modellieren und Quantile zu berechnen, die in einer P/T-Formel äquivalent zu sechs Sigma sein könnten, ist die Verwendung einer sogenannten angepassten Kurve.
Die Glättungskurve ist eine nichtparametrische Modellierung der Daten, die in manchen Fällen sehr gut funktionieren kann. Hier, im Kontext der Validierung, ergeben sich jedoch zwei Probleme. Erstens sind unsere Stichproben sehr klein. Beispielsweise wurden in diesem Fall nur 15 Wiederholungen durchgeführt – eine sehr geringe Stichprobengröße. Wir wissen, dass nichtparametrische Schätzverfahren, insbesondere für die Verteilungsschätzung, große Stichproben benötigen. Im Kontext der Validierung ist dies eindeutig nicht ausreichend. Die Glättungskurve funktioniert daher nicht optimal. Zudem reagiert die Glättung bei dieser kleinen Stichprobe sehr empfindlich auf Ausreißer. Diese Ausreißer sind Teil des Messfehlers und können nicht entfernt werden.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Anpassung einer Nichtverteilung mit der Standardmethode sehr schwierig ist und nichtparametrische Anpassungsverfahren dafür nicht geeignet sind. Wir benötigen eine andere Lösung. R² ist eine einfache Lösung, da NXP nach einer unkomplizierten Lösung ohne aufwändige, komplexe statistische Berechnungen suchte.
Schauen wir uns das mal an. Ich öffne ein kleines GSL-Skript, das hier bei ippon entwickelt wurde. Ich muss einen GSL-Elitismus finden. Ich starte das GSL-Skript und werde aufgefordert, eine Datei zu öffnen. Hier möchte ich die Messsystemanalyse für all diese Parameter, all diese elektrischen Tests, durchführen. Standardmäßig nehme ich den Wert drei? Drei plus drei ist natürlich sechs. Das ist ein Standardwert.
Was beobachten wir? Diese erste Verteilung ist nicht weit von der Normalverteilung entfernt. Das sehen wir im Quantilplot. Wir haben die gesamte Verteilung. Das ist X15. Wenn ich zu X1 zurückgehe, ist deutlich zu erkennen, dass X1 nicht normalverteilt ist. Auch X2 ist nicht normalverteilt. Wir haben eindeutig eine rechtsschiefe Verteilung. X4 ist eine diskrete Verteilung, ähnlich einer Plus-1-Verteilung. Auch nicht wirklich normalverteilt. X9 könnte der Normalverteilung nahekommen. X10 ist eindeutig nicht normalverteilt usw.
Wir haben einen Satz von Parametern für die elektrische Prüfung und die Verteilung. Jetzt geben wir die Spezifikationsgrenzen ein. Beginnen wir mit X1. Zum Beispiel für X1. Wir wissen, dass die Spezifikationsgrenzen 25 und 28 betragen. Hier gebe ich 25 und 28 ein. Wir haben zwei Spezifikationsgrenzen, und hier beträgt das P/T-Verhältnis 39 %. Nicht so gut. Nicht katastrophal, aber auch nicht so gut.
Hier sehen wir das Verhältnis von P zu T, also das Verhältnis der Streuung der Messwertabweichung. Sigma ist hier lediglich die Messabweichung. Diese wird mit den Kundenerwartungen verglichen. Das Toleranzintervall ist hier USL minus LSL. Das Verhältnis von Blau zu Rot beträgt 39 %. Nicht optimal. Ein Verbesserungsplan ist erforderlich, um das Messsystem zu optimieren. Dies ist jedoch ein anderes Thema.
Schauen wir uns nun eine nicht-normalverteilte, rechtsschiefe X2-Verteilung an. Wir geben ein α nur für X2 ein. Die Gefahr liegt auf der rechten Seite, und es gibt dort nur eine Spezifikationsgrenze. Geben wir die rechte Spezifikationsgrenze ein, also Punkt 2. Punkt 2 befindet sich hier. Vergleichen Sie hier das Intervall zwischen dem Mittelwert und der blauen Linie sowie zwischen dem Mittelwert und der roten Linie. Hier beträgt es 34 %. Das ist nicht optimal. Entschuldigung, ich habe mich hier vertan. Die Spezifikationsgrenze liegt bei 0,5.
Hier haben wir eine bessere Veranschaulichung. Dies ist die Breite der Messsystemabweichung im Vergleich zur Spezifikation. Wir haben einen korrekten Wert, sagen wir, für p/t von 12 %. Sie können in jedem Fall einfach einen Spezifikationsgrenzwert eingeben. Ich gebe einen weiteren ein. Mal sehen. Ja, dieser hier ist x10. Wir geben den Spezifikationsgrenzwert ein, der, soweit ich mich erinnere, x10 ist. Wir haben einen Spezifikationsgrenzwert von 30. Ich suche x10. Der niedrigere Spezifikationsgrenzwert liegt bei 10. Entschuldigung. Ich habe mich hier vertan. Wir haben einen sehr guten Wert. Ich glaube, es war 10. Entschuldigung. Egal, es spielt keine Rolle. Mit dem Spezifikationsgrenzwert von 10 haben wir ein sehr gutes P/T-Verhältnis.
Jedenfalls ist diese Berechnung ganz einfach. Wir haben ein GSL-Skript erstellt, da GSL sehr benutzerfreundlich ist und Interaktivität sowie eine grafische Oberfläche bietet. Die Berechnungen selbst sind aber wirklich simpel. Das Ergebnis wird in einer PowerPoint-Präsentation gezeigt.
Zurück zur Präsentation. Hier ist sie. Ich schalte wieder auf Vollbild. Entschuldigung. Wir beenden die Präsentation hier. Der erste Teil war wirklich interessant, denn die Beinayme-Tschebyscheff-Ungleichung ist eine Art Versicherung für jede Art von Verteilung. Man kann sicher sein, dass ein guter Prozentsatz der Verteilung zwischen min ± K σ liegt. François zeigte das Beispiel mit vier σ; damit hat man bereits eine Abdeckung von nahezu 95 % der Verteilung. Für etwas präzisere Ergebnisse kann man die Standardabweichung verwenden.
Ich habe das vor Kurzem entdeckt. Es ist sehr vielversprechend, da es die Asymmetrie jeder Verteilung berücksichtigt, und die ersten Ergebnisse an einer Reihe von Testdaten sind ebenfalls sehr vielversprechend. Eine Möglichkeit wäre die Anwendung zur Ausreißererkennung. Vielleicht wird das aber Thema einer zukünftigen Präsentation. Ich möchte Nikolaus Kourentzesa für die Idee des Halbmoments danken. Er ist Statistikprofessor in Schweden und arbeitet an diesen Themen sowie an ippon. Vielen Dank an Charly Marty für die sehr hilfreichen GSL-Skripte. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
Vielen Dank.
