L'analyse des systèmes de mesure (ASM) est essentielle dans l'industrie des semi-conducteurs pour évaluer la qualité des mesures. La plupart des indicateurs d'ASM, notamment le rapport précision/tolérance (P/T), supposent implicitement une distribution normale, avec un intervalle de +/- kσ couvrant un pourcentage donné de la distribution. Les documents de référence (Manuel ASM de l'AIAG) ne proposent pas de calculs alternatifs pour les données non normales, et il est difficile de trouver une méthode simple adaptable à des paramètres présentant des distributions très différentes.
Nous présentons deux méthodes, aux calculs simples et indépendantes de la distribution, qui couvrent le pourcentage de la distribution définie pour notre niveau de confiance. La première méthode utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir correctement le nombre d'écarts-types dans une formule de type k-sigma. La seconde méthode utilise le calcul du demi-écart-type à droite et à gauche pour une meilleure couverture en cas de distribution asymétrique.
Ces deux méthodes sont appliquées à de nombreux tests électriques avec les formules JMP et peuvent être généralisées à la détection et à la suppression des valeurs aberrantes.
Bonjour à tous. Je m'appelle François Berland et je travaille pour NXP Semiconductors à Toulouse, en France.
François Bergeret, formation Ippon en France. Nous sommes une société de conseil en statistiques.
Aujourd'hui, nous allons aborder l'analyse des systèmes de mesure dans le cas de données non normales. Voici le programme de cette présentation : nous commencerons par le contexte métier. Je parlerai du radar automobile et de l'importance de la validation dans le secteur des semi-conducteurs. Ensuite, je rappellerai les notions d'analyse des systèmes de mesure. Enfin, je présenterai quelques cas de distributions non normales pour lesquels nous disposons de deux solutions.
La première solution repose sur l'inégalité de Bienayme-Tchebychev. Je vais formuler des recommandations pour sa validation dans ce contexte. La seconde solution est basée sur la demi-écart-type. Nous allons présenter les calculs, les applications, les formules JMP et proposer une généralisation de cette méthode pour la détection des valeurs aberrantes.
Parlons du radar dans les applications automobiles. Radar signifie « détection et télémétrie par ondes radio ». C'est une technologie clé pour les véhicules autonomes et pour une sécurité accrue. Le radar embarqué fournit la position, la vitesse et l'angle du véhicule par rapport à plusieurs cibles et aux autres véhicules sur la route. Il présente plusieurs avantages : il est peu coûteux, robuste, capable de détecter la présence d'objets masqués et, contrairement aux caméras, insensible aux conditions météorologiques et d'éclairage.
Comme vous pouvez le voir sur l'image, voici quelques applications des radars à courte et moyenne portée. Ils peuvent notamment faciliter le stationnement et l'alerte de circulation transversale. Les radars à moyenne portée contribuent à la détection des angles morts, tandis que les radars à longue portée participent au fonctionnement du régulateur de vitesse adaptatif et du freinage d'urgence automatique.
Passons maintenant à la validation dans le développement des semi-conducteurs. Dans le secteur automobile, nous utilisons le modèle en V. Le modèle en V signifie vérification et validation. C'est une méthode de développement de nouveaux produits. La branche gauche du V consiste à définir et analyser les exigences. Il s'agit essentiellement de spécifier le produit à venir. Vient ensuite l'implémentation. La branche droite du V permet d'évaluer si le produit répond aux exigences du cahier des charges. En d'autres termes, nous effectuons des tests sur les produits.
Dans le secteur automobile, la validation désigne les tests effectués sur silicium. Quel est le rôle de la validation ? Elle permet de vérifier la conformité du produit aux exigences spécifiées. La validation comprend généralement des tests et des mesures sur silicium. Abordons maintenant l'analyse du système de mesure MSA. Pourquoi cette analyse est-elle importante ?
Prenons l'exemple d'un paramètre avec une limite inférieure et une limite supérieure de spécification. L'ingénieur de validation mesure une valeur (par exemple, lors du test d'une pièce) et obtient un résultat où la croix se situe dans les limites de spécification. On en conclut que le résultat du test est conforme aux spécifications. Supposons maintenant que cette distance représente la précision du système de mesure utilisé.
Si vous avez mesuré une valeur, en raison de l'incertitude de mesure, la valeur réelle du produit pourrait être hors spécifications. Même si le résultat du test indique une conformité aux spécifications grâce à la précision de la mesure, la valeur réelle pourrait en réalité être hors spécifications. C'est pourquoi l'analyse de la sécurité des mesures (MSA) et l'évaluation de la précision ou de l'erreur du système de mesure sont si importantes.
Deux cas de figure se présentent. Une pièce peut être totalement hors spécifications, mais une erreur de mesure peut entraîner une mesure conforme aux spécifications. Inversement, la valeur réelle de la pièce peut être conforme aux spécifications, mais la mesure peut indiquer une valeur hors spécifications en raison de la précision de la mesure.
Le premier cas correspond à une pièce défectueuse qualifiée de conforme, ce qui représente un risque pour le client ou un problème de qualité. Le second cas concerne une pièce conforme qualifiée de défectueuse ; il s’agit d’un risque pour le producteur et d’une perte de rendement attendue.
L'analyse de la stabilité du système (MSA) repose en grande partie sur l'analyse R&R des instruments de mesure, qui permet d'estimer la variation d'un système de mesure. L'analyse R&R comprend la répétabilité, qui correspond à la variation des mesures effectuées par un même opérateur, et la reproductibilité, qui correspond à la variation des mesures effectuées par différents opérateurs.
Le principal indicateur d'analyse du système de mesure est le pourcentage de précision par rapport à la tolérance (P/T), qui doit être inférieur à 10 %. On peut visualiser la précision du système de mesure, notamment par la variance totale de la mesure, qui est la somme de la variance de la reproductibilité et de la variance de la répétabilité.
La formule de la métrique P/T est définie comme six sigmas de la mesure obtenue par l'étude expérimentale de répétabilité et de reproductibilité de l'instrument (Gage R&R), divisés par la largeur de la spécification en pourcentage. Six sigmas est utilisé car il s'agit en réalité de plus ou moins trois sigmas, ce qui, pour une distribution normale, correspond à un niveau de confiance de 99,73 %. Cependant, ce résultat repose sur l'hypothèse de normalité.
Voici quelques exemples concrets de mesures de validation réalisées en phase de validation. La validation ne correspond pas à la production. Nous n'avons accès qu'à quelques pièces, et non à des milliers de pièces de produits. Nous n'effectuons pas d'étude complète de répétabilité et de reproductibilité (R&R) telle que définie dans les spécifications de l'industrie automobile. Nous ne disposons généralement que d'une seule pièce. Nous effectuons une trentaine de répétitions et observons des cas de distributions non normales, comme illustré dans les deux exemples où j'ai tracé le graphique quantile-quantile. Vous pouvez constater que le test d'adéquation, tant pour Shapiro-Wilk que pour Anderson-Darling, est très significatif pour les deux paramètres.
Nous sommes ici confrontés à deux cas de paramètres qui ne suivent pas une distribution normale. Nous souhaitons néanmoins estimer la répétabilité et la reproductibilité de l'instrument de mesure (R&R) ainsi que la précision (P/T). La question est de savoir si la formule standard, qui consiste à calculer six fois l'écart-type de la mesure divisé par la tolérance de spécification, reste valable pour des données non normales. Nous proposons donc deux solutions alternatives. La première repose sur l'inégalité de Bienayme-Tchebychev.
Soit X une variable aléatoire de variance finie non nulle. Alors, pour tout nombre réel k supérieur à zéro, la probabilité que la variable soit éloignée de la moyenne de plus de K fois l'écart-type est inférieure ou égale à 1/K².
Ce qui est remarquable avec cette inégalité, c'est qu'elle est indépendante de la distribution. Nous n'avons pas à nous en préoccuper, nous n'avons pas à nous soucier de la normalité de la distribution.
Voyons ce que cela donne dans nos cas. K sigma pour 3σ. Le pourcentage maximal au-delà de K écarts-types de la moyenne. Trois écarts-types de la moyenne. Selon l'inégalité de Bienayme-Tchebychev, ce pourcentage est de 11 % au-delà de, disons, quatre sigmas de la moyenne. Il ne peut jamais dépasser 6,25 %. Pour cinq sigmas, il est de 4 %, et ainsi de suite. Jusqu'à ce que, dans le cas de dix sigmas, on atteigne au maximum 1 % de la population au-delà de dix sigmas.
Rappelons toutefois que la formule standard P/T, basée sur six sigmas plus ou moins trois sigmas et s'appuyant sur une distribution normale, garantit un niveau de confiance de 90 %, quel que soit le type de distribution. En appliquant l'inégalité de Beinayme-Tchebychev avec trois sigmas, nous pouvons effectivement atteindre un niveau de confiance de 90 %, indépendamment du type de distribution. C'est un avantage, car un niveau de confiance aussi élevé n'est pas nécessaire pour les systèmes de mesure de production. Nous sommes encore en phase de validation.
Oui, nous avons une validation. Nous sommes en phase de développement, pas en production. Je recommande d'utiliser K = 4 dans notre formule afin d'atteindre un niveau de confiance proche de 95 % grâce à l'inégalité de Beinayme-Tchebychev. Ceci est valable quel que soit le type de distribution. Cela dispense de vérifier la normalité des données et, même en cas de données non normales, nous pouvons évaluer la précision du système de mesure avec un niveau de confiance de 95 %, grâce à cette inégalité.
Cependant, cette inégalité fournit généralement une borne imprécise puisque la distribution est inconnue. Rappelons que dans le cas d'une distribution normale, plus ou moins trois sigmas équivaut à 99,73 %, ce qui est bien supérieur à notre objectif. Si un niveau de confiance plus élevé est requis, il existe une autre solution. Je laisse François vous l'expliquer.
Merci Berland. Merci, François.
Nous allons tenter d'obtenir une méthode plus précise que l'inégalité de Beinayme-Tchebychev, bien que cette dernière soit universelle. Il s'agit d'un résultat très intéressant, applicable aux données d'essais électriques. L'idée est celle du demi-moment. Le demi-moment mesure la dispersion standard des données, mais seulement d'un côté : à droite ou à gauche de la distribution. Par définition, le demi-moment permet de traiter des distributions non symétriques. Bien sûr, des données non normales sont souvent non symétriques. Il existe un demi-moment à droite et un demi-moment à gauche.
Concernant la théorie, je l'ai examinée. Elle est assez complexe car elle utilise le nombre complexe i. Je n'entrerai donc pas dans les détails ici. Cependant, il existe une alternative au demi-moment, appelée demi-écart-type. Le demi-écart-type est très utile pour les objectifs de NXP et de François. Quel est notre moment ? Voici la formule très simple du demi-moment pour le sigma gauche.
D'accord, vous pouvez constater que c'est très similaire à la formule de l'écart type. Mais à gauche, vous avez un nombre donné de points. « À gauche » signifie inférieur à la moyenne. On calcule la somme des carrés des écarts entre ces points et la moyenne. Notez que ȳ est la moyenne globale. Ce n'est ni une moyenne à gauche ni une moyenne à droite, c'est la moyenne globale de toutes les données. C'est tout à fait logique. Les écarts-types à gauche et à droite sont évidemment identiques.
Une fois ce calcul effectué, vous pouvez modéliser et calculer un intervalle de confiance pour toute distribution non symétrique. L'utilisation de cette formule de prédiction repose sur une hypothèse supplémentaire : le Z représente le quantile de la distribution normale. Cela peut paraître surprenant, mais nous supposons ici une distribution non symétrique. Cependant, à gauche et à droite, nous observons une asymétrie, comme pour une distribution normale. C'est pourquoi nous pouvons appliquer cette formule, qui est une formule standard avec le Z de la distribution normale. Bien entendu, l'intervalle de prédiction ne sera pas symétrique car, par définition, pour des données non normales, σgauche et σdroite sont différents. Voilà le principe.
Passons à la diapositive suivante. Voici un exemple de distribution non normale. Il s'agit de données de test électrique. Le graphique quantile révèle une non-normalité. On le constate également sur l'histogramme. Le calcul se situe à plus ou moins trois sigma. Or, nous avons sigma gauche et sigma droite. Voici ce que l'on observe dans cette distribution.
La moyenne est proche de cette valeur. L'asymétrie de la distribution est principalement à droite. Dans ce cas, l'écart-type à droite est supérieur à l'écart-type à gauche. On constate que la prédiction… Il s'agit d'un intervalle de prédiction équivalent à 99,7 %, plus large à droite qu'à gauche.
Il est également intéressant de noter que cette valeur est très proche de la limite de prédiction, car l'écart-type à gauche est faible. On observe une très faible asymétrie de la distribution à gauche, et ce point est relativement éloigné. Par rapport à cela, nous sommes capables de modéliser ce point dans une certaine mesure.
Je vais maintenant vous montrer avec un JMP, afin de poursuivre et de généraliser le rapport P/T défini par François. On définit un rapport P/T non normal qui est simplement égal à (3σ gauche + 3σ droite) divisé par la tolérance. Il s'agit clairement de la même formule. Mais au lieu d'avoir six σ au numérateur, on a trois σ gauche et trois σ droite.
Dans cette illustration, l'asymétrie de la distribution à gauche est cruciale. Ainsi, σ gauche est nettement supérieur à σ droite. On constate que la limite de prédiction, que nous appelons ici LPL, est nettement à gauche par rapport à la limite supérieure. Grâce à cette méthode, nous couvrons environ 99 % de la distribution, quelle que soit sa normalité ; elle fonctionne pour toute distribution. À l'instar de la méthode de Beinayme-Tchebychev, elle est universelle.
Diapositive suivante. Un exemple. Un petit défi supplémentaire, disons. Très souvent, face à une distribution non symétrique, il n'existe qu'une seule limite de spécification. Prenons l'exemple du courant de fuite. Il n'y a qu'une limite de spécification supérieure, car le danger réside dans les valeurs élevées de fuite. À l'inverse, dans cet exemple, nous n'avons qu'une seule limite de spécification inférieure. Dans ce cas, il est évident que nous n'inventons pas d'autre limite. Nous n'avons qu'une seule limite de spécification, nous travaillons donc avec cette seule limite. On utilise alors une adaptation de la formule P/T, où le numérateur est simplement égal à trois sigmas à gauche. Dans cette présentation, le terme sigma désigne toujours l'écart-type de mesure. Trois sigmas à gauche divisés par la moitié de la tolérance, soit la moyenne moins la limite inférieure. Il s'agit d'une formule standard. La différence ici réside dans le fait que nous appliquons la formule standard avec sigmaf et non sigma.
Cet exemple est très intéressant. Encore une fois, à partir de données réelles fournies par NXP, voici ce que nous constatons : une distribution clairement asymétrique. On observe que l'écart-type (σ) à gauche est plus élevé. La densité de probabilité est asymétrique, avec une valeur nettement plus élevée à gauche. Il n'est pas surprenant que la limite inférieure de prédiction (3σ à gauche) soit plus à gauche que la limite supérieure.
Ici, si l'on considère le P/T non normal, il s'agit simplement du rapport entre la moyenne et la limite inférieure de prédiction. Cette plage est divisée par la différence entre la moyenne et la limite inférieure de spécification. Il s'agit simplement du rapport. Dans cet exemple, nous avons un P/T de 75 %. Cela signifie que la dispersion globale du système de mesure à gauche couvre plus de 50 % de la tolérance de gauche. Bien sûr, c'est un mauvais résultat, car dans l'industrie automobile, ce résultat doit être inférieur à 10 %. C'est un très bon exemple de ce que nous pouvons faire.
À titre d'information, si l'on n'utilise pas la distribution non normale P/T, mais une formule standard, le résultat calculé avec JMP sera de 43 %. Ce résultat est nettement différent des 75 % obtenus.
Je vais maintenant faire une petite démonstration avec JMP. Merci. Voici une petite démonstration avec JMP. Je vais ouvrir deux fichiers. J'ouvre un fichier anonymisé. Les valeurs X1, X2, X3, etc., correspondent aux résultats de tests électriques : fuites de courant, etc. Nous verrons que la plupart de ces données sont anormales. Commençons par examiner certains de ces paramètres. Les voici. Le premier, par exemple, est clairement anormal. Bien sûr, JMP offre de nombreuses possibilités.
Par exemple, essayons de modéliser. Nous disposons d'un ensemble de données très varié. On constate qu'il ne s'agit pas d'une distribution normale. Pourquoi ne pas essayer la distribution de Cauchy ? Mais celle-ci ne convient pas vraiment dans ce cas. Essayons autre chose. Qu'en pensez-vous ? Essayons la distribution exponentielle. Distribution exponentielle. D'accord. La distribution bleue ne donne clairement aucun bon résultat. C'est un véritable casse-tête que d'essayer d'ajuster une distribution théorique à ces données empiriques.
Vous savez quoi ? De plus, même si je trouvais une distribution qui corresponde bien au paramètre X1, il est clair qu'elle ne conviendra pas à X3 et X4. Prenons par exemple X4. Essayons avec une distribution de Cauchy. Ça ne fonctionne pas du tout. Même si ce n'est pas si mal, on peut essayer autre chose. On peut essayer la distribution bêta, par exemple. La distribution bêta ne fonctionnera pas bien non plus. Bon. De toute façon, c'est un travail très fastidieux. Une autre option pour modéliser la distribution et calculer des quantiles équivalents à six sigmas dans une formule P/T consiste à utiliser ce qu'on appelle une courbe lissée.
La courbe lissée est une modélisation non paramétrique des données qui peut donner d'excellents résultats dans certains cas. Cependant, dans le cadre de la validation, nous rencontrons deux problèmes. Premièrement, la taille de nos échantillons est très réduite. Par exemple, seulement 15 répétitions ont été effectuées. Or, nous savons que l'estimation non paramétrique, notamment pour l'estimation de distribution, nécessite de grands échantillons. De toute évidence, dans le contexte de la validation, cela est insuffisant. La courbe lissée ne sera donc pas performante. De plus, avec un échantillon aussi petit, le lissage est très sensible aux valeurs aberrantes. Nous ne souhaitons pas les éliminer, car elles font partie de l'erreur d'analyse des mesures. Nous ne pouvons donc pas les supprimer.
En conclusion, l'ajustement d'une distribution non paramétrique par la méthode standard s'avère très difficile et son utilisation est peu adaptée. Une autre solution est donc nécessaire. R Sigma constitue une solution simple, car NXP recherchait une solution simple ne nécessitant pas de calculs statistiques complexes.
Voyons voir. Je vais ouvrir un petit script GSL développé ici, chez ippon. Je dois trouver une fonction GSL. J'exécute le script ; il me demande d'ouvrir un fichier. Je souhaite ici effectuer une analyse du système de mesure pour tous ces paramètres, tous ces tests électriques. Par défaut, je prends la valeur trois ? Trois plus trois font six, bien sûr. C'est la valeur par défaut.
Que constatons-nous ? La première distribution est assez proche de la normalité. On le voit sur le graphique quantile. Voici la distribution complète : X15. Si je reviens à X1, on constate clairement qu'elle n'est pas normale. X2 n'est pas normale non plus. Il s'agit clairement d'une distribution asymétrique positive. X4 est une distribution discrète, comme une distribution « +1 ». Elle n'est pas vraiment normale non plus ; X9 pourrait peut-être s'en approcher. X10 n'est pas clairement normale. Elle ne l'est manifestement pas, et ainsi de suite.
Nous disposons d'un ensemble de paramètres pour les tests électriques et la distribution. Nous allons maintenant saisir les limites de spécification. Commençons par X1. Par exemple, pour X1, nous savons que les limites de spécification sont de 25 et 28. Je saisis donc 25 et 28. Nous avons deux limites de spécification et le rapport P/T est ici de 39 %. Ce n'est pas bon. Ce n'est pas catastrophique, mais ce n'est pas bon non plus.
Nous avons ici une illustration du rapport P/T, qui correspond au rapport de la dispersion des variations de mesure. Ici, sigma représente uniquement l'écart-type de la mesure, comparé à la valeur attendue par le client. L'intervalle de tolérance est ici USL moins LSL. La valeur bleue par rapport à la valeur rouge est de 39 %, ce qui n'est pas satisfaisant. Un plan d'amélioration sera nécessaire pour optimiser le système de mesure. Mais ceci est un autre sujet.
Examinons maintenant le cas d'une variable aléatoire χ² non normale avec une asymétrie positive. Nous allons saisir uniquement la valeur de χ². Le risque est à droite et il n'y a qu'une seule limite de spécification à droite. Saisissons cette limite, qui est le point 2. Le point 2 se trouve ici. Comparez ici l'intervalle entre la moyenne et la ligne bleue, et entre la moyenne et la ligne rouge. Ici, il est de 34 %. Ce n'est pas bon. Mais je m'excuse, j'ai fait une erreur. La spécification est de 0,5. Toutes mes excuses.
Voici une meilleure illustration. Il s'agit de la variation du système de mesure par rapport aux spécifications. Nous avons un rapport P/T correct, disons correct, de 12 %. Dans tous les cas, vous pouvez simplement saisir une limite de spécification. J'en saisis une autre. Cherchons. Oui, celle-ci est à X10. Nous allons saisir la limite de spécification qui est, si je me souviens bien, X10. Nous avons une limite de spécification à 30. Laissez-moi trouver X10. Limite de spécification inférieure à dix. Désolé. J'ai fait une erreur. Nous avons un très bon rapport P/T. Je crois que c'était dix. Toutes mes excuses. De toute façon, ce n'est pas grave. Avec la limite de spécification à dix, nous avons un très bon rapport P/T.
Bref, ce calcul est très simple. Nous avons utilisé un script GSL car GSL offre une excellente interactivité et une interface graphique conviviale, mais les calculs sont en réalité très simples. Voici le résultat présenté dans une présentation PowerPoint.
Revenons à la présentation. La voici. Je repasse en plein écran. Toutes mes excuses. Nous allons conclure ici. La première partie était très intéressante car l'inégalité de Beinayme-Tchebychev est une véritable garantie pour tout type de distribution. On est sûr qu'un bon pourcentage de la distribution se situera entre min ± K sigma. François a montré l'exemple de quatre sigmas, ce qui représente déjà une couverture proche de 95 % de la distribution. Pour des résultats plus précis, on peut utiliser l'écart type.
J'ai récemment fait cette découverte. C'est très prometteur car cela tient compte de l'asymétrie de toute distribution, et les premiers résultats obtenus sur un certain nombre de données de test sont également très encourageants. Une perspective serait d'appliquer cette méthode à la détection de valeurs aberrantes. Mais ce sera peut-être le sujet d'une future présentation. Je tiens à remercier Nikolaus Kourentzesa pour l'idée du demi-moment. Il est professeur de statistiques en Suède et travaille sur ces sujets ainsi que sur l'IPPON. Merci à Charly Marty pour ses excellents scripts GSL. C'est tout pour aujourd'hui. Merci de votre attention.
Merci beaucoup.
