基本问题 - 中心复合设计您好，我想知道我是否可以问一个关于具有两个因子 A 和 B 的中心复合设计 (CCD) 中平方项列的正交性的问题。模型矩阵中任何一对列的点积始终为零 - 我一直认为这意味着 A 与 B 或 B 与 AB 或 B 与 B^2 的列（向量）彼此正交（成直角），因此它们的 beta 值可以独立计算。唯一的例外是 A^2 与 B^2 的列 - 它们的点积永远不能为零，因为您在 4 行中有 -1 和/或 +1，当您对它们求平方时它们都变为 +1，这让我认为它们的效应（beta 值）会出现混叠（因此无法独立确定 A^2 和 B^2 项的系数）。我怀疑我误解了正交性的含义，您可以独立于彼此和模型中的其他项来估计这些参数，否则 CCD 设计的意义何在。有人能帮我解决我理解不足的问题吗？谢谢
基础数据分析与建模实验设计回复：基本问题 - 中心复合设计阅读此文：
https://www.jmp.com/support/help/en/18.1/?os=mac&source=application#page/jmp/choose-a-design.shtml%23
回复：基本问题 - 中心复合设计嗨，Statman，谢谢你的链接。这篇文章读起来很有趣，但我找不到问题的答案。我想画一个 2 因子 CCD 来解释。如您所见，任何一对列都是相互正交的（点积为零，我一直认为这是正交性的标准，但可能不是 - 见下文）。唯一的例外是，对于 A^2 和 B^2 列，点积永远不能为零，所以我将其解释为（可能不正确）这些因子不正交。但是，如果我将 A^2 和 B^2 绘制为一对点，它们都位于正方形的 4 个角，如果您尝试拟合趋势线，则会得到 R 值为零。也许我已经回答了我的问题 - 是不是 R=0 意味着 A^2 和 B^2 彼此正交，因此可以独立估计它们的 beta 值。因此，两个列向量的非零点积并不意味着非正交性
回复：基本问题 - 中心复合设计正交编码不使用点积来确定设计点的符号和值。 这是蒙大拿州立大学的一份 PDF 文件，其中详细介绍了这一点。
回复：基本问题 - 中心复合设计读了我的回复后，我意识到我没有回答你的问题。与其通过编辑使事情变得更加混乱，不如让我再添加一条评论。正交性是整个设计的函数，而不仅仅是任何列的子集。如果 X 是设计矩阵，那么如果 Inverse(Transpose(X)*X) 的所有非对角线元素（与截距相关的元素除外）均为零，则设计是正交的。在这种情况下 * 对应于矩阵乘法。
回复：基本问题 - 中心复合设计嗨，Don，
感谢您的回复。这真的很有帮助。我决定在周末再看几个关于 CCD 的视频，并通读我在网上和 DoE 书籍中找到的内容。我想看看 CCD 的情况（针对 2 个因素），其中设计既可旋转又正交。这是一个特殊情况，我相信有两个条件：1. alpha = sqrt(2) = 1.414，原因很明显（所有不是圆上的中心点/与中心等距）和 2. 需要有一定数量的中心点，我计算为 nc=8。但是，当我在 Excel 中执行矩阵运算时（见下文），有两个元素不为零。可能是因为 nc 计算错误，nc 不是 8，也许 Excel 不擅长矩阵算术（但没有理由怀疑这一点），也许我搞错了上面的条件 1 和 2，即那些给出具有正交性和可旋转性的设计？知道为什么我不能让所有非对角线元素（与截距相关的第一行除外）都为零吗？非常感谢
回复：基本问题 - 中心复合设计我应该补充一点，我想弄清楚是否有可能在单个块的情况下有一个可旋转和正交的（（XTX）^-1），所有非对角线元素均为零（就好像我一次进行了所有运行但顺序是随机的，而不是更可能的情况，即你会用起点和中心点来扩充阶乘点（较大筛选设计的子集）（这样你就有两个块）。这个讨论更多的是关于设计矩阵中项之间的正交性/混叠/点积，而不是关于 CCD。谢谢
回复：基本问题 - 中心复合设计第一列/行是截距，在考虑正交性时被忽略。我相当肯定，对于常见的设计，它总是与模型中的一个或多个效应相关。
回复：基本问题 - 中心复合设计谢谢 Don。您说得对，条件 alpha = sqrt(2) 和 nc=8（nc = sqrt(nf) + 4 - k，其中 nf = 阶乘（角）点数 = 4，k = 因子数 = 2）确实在 2 个因子中产生了可旋转且正交的 CCD。
我尝试了 nc = 7、8 和 9，只有 nc=8 使所有非对角线元素都为零（不包括与截距相关的第一行和第一列）。到目前为止，我只在 2 个级别的全因子设计和部分因子设计上花费了时间，我认为如果所有列对的点积为零，则设计是正交的，这意味着它是正交设计，因为这些列向量彼此成直角。我认为这可能与混叠有关，而不是正交性。
