Domanda di base - Progettazione composita centraleSalve, mi chiedevo se potevo fare una domanda sull'ortogonalità delle colonne di termini quadratici in un Central Composite Design (CCD) con due fattori A e B. Il prodotto scalare di qualsiasi coppia di colonne nella matrice modello è sempre zero: ho sempre pensato che ciò significasse che le colonne (vettori) di, diciamo, A con B o B con AB o B con B^2 sono ortogonali (ad angolo retto) tra loro, quindi i loro beta possono essere calcolati indipendentemente. L'unica eccezione è la colonna A^2 con B^2: il loro prodotto scalare non può mai essere zero poiché hai -1 e/o +1 in 4 righe e diventano tutti +1 quando li elevi al quadrato, il che mi fa pensare che i loro effetti (i beta) sarebbero alias (quindi non sarebbero in grado di determinare i coefficienti per i termini A^2 e B^2 indipendentemente l'uno dall'altro). Sospetto di non aver capito bene il significato di ortogonalità e che puoi stimare questi parametri indipendentemente l'uno dall'altro e dagli altri termini nel modello, altrimenti a cosa servirebbe il design CCD? Qualcuno può aiutarmi con la mia mancanza di comprensione per favore? Grazie
Analisi e modellazione dei dati di baseProgettazione degli esperimentiRe: Domanda di base - Progettazione composita centraleLeggi questo:
https://www.jmp.com/support/help/en/18.1/?os=mac&source=application#page/jmp/choose-a-design.shtml%23
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleCiao Statman, grazie per il link. È stata una lettura interessante ma non sono riuscito a trovare una risposta alla mia domanda. Ho pensato di disegnare un CCD a 2 fattori per spiegare. Come puoi vedere, qualsiasi coppia di colonne è ortogonale tra loro (il prodotto scalare è zero, ho sempre pensato che fosse il criterio per l'ortogonalità ma forse non lo è - vedi sotto). L'unica eccezione è che per le colonne A^2 e B^2 il prodotto scalare non può mai essere zero e quindi sto interpretando questo (probabilmente in modo errato) che quei fattori non sono ortogonali. Tuttavia, se grafico A^2 e B^2 come una coppia di punti, si trovano tutti ai 4 angoli di un quadrato e se provi a adattare una linea di tendenza ottieni un valore R pari a zero. Forse ho risposto alla mia domanda: è vero che R=0 significa che A^2 e B^2 sono ortogonali tra loro e quindi i loro beta possono essere stimati indipendentemente. Quindi un prodotto scalare diverso da zero di due vettori colonna non significa non ortogonalità
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleLa codifica ortogonale non utilizza prodotti scalari per determinare i segni e i valori dei punti di progettazione. Ecco un pdf della Montana State che entra più nel dettaglio.
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleLeggendo la mia risposta mi rendo conto di non aver risposto alla tua domanda. Invece di complicare ulteriormente le cose modificandola, vorrei aggiungere un altro commento. L'ortogonalità è una funzione dell'intero design e non di un qualsiasi sottoinsieme di colonne. Se X è la matrice di design, allora il design è ortogonale se tutti gli elementi fuori diagonale di Inverse(Transpose(X)*X) sono zero, eccetto quelli associati alle intercette. In questo caso * corrisponde alla moltiplicazione di matrici.
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleCiao Don,
Grazie per la risposta. È davvero utile. Ho deciso di guardare altri video sui CCD e di leggere quello che ho trovato online e nei miei libri DoE nel weekend. Ho pensato di dare un'occhiata al caso CCD (per 2 fattori) in cui il design è sia ruotabile che ortogonale. Credo che questo sia un caso speciale in cui ci sono due condizioni: 1. alpha = sqrt(2) = 1,414 per ovvie ragioni (tutti non punti centrali sul cerchio / equidistanti dal centro) e 2. Deve esserci un certo numero di punti centrali che ho calcolato essere nc=8. Tuttavia, quando eseguo le operazioni di matrice in Excel (vedi sotto) ci sono due elementi che non sono zero. Forse il calcolo di nc è sbagliato e nc non è 8, forse Excel non è così bravo nell'aritmetica delle matrici (ma non ho motivo di sospettarlo), forse ho sbagliato sulle condizioni 1 e 2 di cui sopra che sono quelle che danno un design con sia ortogonalità che ruotabilità? Qualche idea sul perché non riesco a far sì che tutti gli elementi fuori diagonale (tranne la prima riga associata all'intercetta) siano zero? Grazie mille 
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleAggiungerei che vorrei capire se è possibile avere un ((XTX)^-1) ruotabile e ortogonale con tutti gli elementi fuori diagonale zero) per un singolo caso di blocco (come se avessi eseguito tutte le esecuzioni in una volta ma in ordine casuale, piuttosto che il caso più probabile in cui aumenteresti i punti fattoriali (sottoinsieme di un progetto di screening più ampio) con punti di partenza e centro (quindi avresti due blocchi). Questa discussione riguarda più l'ortogonalità/aliasing/prodotto scalare tra i termini nella matrice di progettazione che i CCD. Grazie
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleLa prima colonna/riga è l'intercetta e viene ignorata quando si considera l'ortogonalità. Sono abbastanza certo che per i progetti comuni sarà sempre correlata a uno o più effetti nel modello.
Re: Domanda di base - Progettazione composita centraleGrazie Don. Hai ragione e le condizioni alpha = sqrt(2) e nc=8 (nc = sqrt(nf) + 4 - k dove nf = numero di punti fattoriali (d'angolo) = 4 e k = numero di fattori = 2) danno un CCD ruotabile e ortogonale in 2 fattori.
Ho provato nc = 7, 8 e 9 e nc=8 è stato l'unico che ha dato tutti gli elementi fuori diagonale pari a zero (senza contare la prima riga e colonna associata all'intercetta). Avendo dedicato tempo solo a progetti fattoriali completi e frazionari a 2 livelli fino a questo punto, pensavo che un progetto fosse ortogonale se il prodotto scalare di tutte le coppie di colonne era zero, quindi significava che si trattava di progetti ortogonali poiché quei vettori colonna erano ad angolo retto tra loro. Penso che abbia a che fare con l'aliasing e non forse con l'ortogonalità.
