Grundsatzfrage - Zentrales VerbunddesignHallo, ich habe mich gefragt, ob ich eine Frage zur Orthogonalität der quadrierten Termspalten in einem Central Composite Design (CCD) mit zwei Faktoren A und B stellen könnte. Das Skalarprodukt eines beliebigen Spaltenpaars in der Modellmatrix ist immer Null – ich habe das immer so verstanden, dass die Spalten (Vektoren) von beispielsweise A mit B oder B mit AB oder B mit B^2 orthogonal (im rechten Winkel zueinander) sind, sodass ihre Betas unabhängig voneinander berechnet werden können. Die einzige Ausnahme ist Spalte A^2 mit B^2 – ihr Skalarprodukt kann nie Null sein, da Sie -1 und/oder +1 in 4 Zeilen haben und sie alle +1 werden, wenn Sie sie quadrieren, was mich glauben lässt, dass ihre Effekte (die Betas) Aliasing wären (so dass die Koeffizienten für die Terme A^2 und B^2 nicht unabhängig voneinander bestimmt werden könnten). Ich vermute, ich verstehe die Bedeutung von Orthogonalität falsch und dass Sie diese Parameter unabhängig voneinander und von den anderen Termen im Modell schätzen können, sonst wäre das CCD-Design ja sinnlos. Kann mir bitte jemand bei meinem Unverständnis helfen? Danke
Grundlegende Datenanalyse und ModellierungVersuchsplanungBetreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionLesen Sie dies:
https://www.jmp.com/support/help/en/18.1/?os=mac&source=application#page/jmp/choose-a-design.shtml%23
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionHallo Statman, danke für den Link. Es war eine interessante Lektüre, aber ich konnte keine Antwort auf meine Frage finden. Ich dachte, ich zeichne zur Erklärung ein 2-Faktor-CCD. Wie Sie sehen, sind alle Spaltenpaare orthogonal zueinander (Skalarprodukt ist Null, ich dachte immer, das wäre das Kriterium für Orthogonalität, aber vielleicht ist es das nicht – siehe unten). Die einzige Ausnahme ist, dass für die Spalten A^2 und B^2 das Skalarprodukt niemals Null sein kann, und daher interpretiere ich dies (wahrscheinlich falsch), dass diese Faktoren nicht orthogonal sind. Wenn ich jedoch A^2 und B^2 als Punktepaar aufzeichne, befinden sie sich alle an den 4 Ecken eines Quadrats, und wenn Sie versuchen, eine Trendlinie anzupassen, erhalten Sie einen R-Wert von Null. Vielleicht habe ich meine Frage beantwortet – ist es so, dass R=0 ist, was bedeutet, dass A^2 und B^2 orthogonal zueinander sind und ihre Betas daher unabhängig voneinander geschätzt werden können? Ein von Null verschiedenes Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren bedeutet also nicht, dass es nicht orthogonal ist.
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionBei der orthogonalen Kodierung werden keine Skalarprodukte verwendet, um die Vorzeichen und Werte der Entwurfspunkte zu bestimmen. Hier ist ein PDF von Montana State, das ausführlicher darauf eingeht.
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionBeim Lesen meiner Antwort ist mir aufgefallen, dass ich Ihre Frage nicht beantwortet habe. Anstatt die Dinge durch Bearbeiten noch mehr durcheinander zu bringen, möchte ich einen weiteren Kommentar hinzufügen. Orthogonalität ist eine Funktion des gesamten Designs und nicht nur einer Teilmenge von Spalten. Wenn X die Designmatrix ist, dann ist das Design orthogonal, wenn alle nichtdiagonalen Elemente von Inverse(Transpose(X)*X) mit Ausnahme der mit den Achsenabschnitten verbundenen Elemente Null sind. In diesem Fall entspricht * der Matrixmultiplikation.
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionHallo Don,
Danke für Ihre Antwort. Das ist wirklich hilfreich. Ich habe beschlossen, mir noch ein paar Videos zu CCDs anzusehen und übers Wochenende durchzulesen, was ich online und in meinen DoE-Büchern finden konnte. Ich dachte, ich schaue mir den CCD-Fall (für 2 Faktoren) an, bei dem das Design sowohl drehbar als auch orthogonal ist. Ich glaube, das ist ein Sonderfall, bei dem zwei Bedingungen gelten: 1. Alpha = sqrt(2) = 1,414 aus offensichtlichen Gründen (alles sind keine Mittelpunkte auf dem Kreis / gleich weit vom Mittelpunkt entfernt) und 2. Es muss eine bestimmte Anzahl von Mittelpunkten geben, die ich mit nc=8 berechnet habe. Wenn ich jedoch die Matrixoperationen in Excel durchführe (siehe unten), gibt es zwei Elemente, die nicht Null sind. Vielleicht ist meine nc-Berechnung falsch und nc ist nicht 8, vielleicht ist Excel nicht so gut in Matrixarithmetik (aber ich habe keinen Grund, das zu vermuten), vielleicht habe ich mich geirrt, dass die Bedingungen 1 und 2 oben diejenigen sind, die ein Design mit sowohl Orthogonalität als auch Drehbarkeit ergeben? Irgendeine Idee, warum ich nicht alle Elemente außerhalb der Diagonale (außer der ersten Zeile, die mit dem Achsenabschnitt verknüpft ist) auf Null bringen kann? Vielen Dank 
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionIch sollte hinzufügen, dass ich gerne herausfinden würde, ob es möglich ist, ein drehbares und orthogonales ((XTX)^-1) mit allen außerdiagonalen Elementen Null) für einen einzelnen Blockfall zu haben (als ob ich alle Läufe auf einmal, aber in zufälliger Reihenfolge durchgeführt hätte, anstatt des wahrscheinlicheren Falls, in dem Sie die Fakultätspunkte (Teilmenge eines größeren Screening-Designs) mit Start- und Mittelpunkten erweitern würden (so dass Sie zwei Blöcke hätten). In dieser Diskussion geht es mehr um Orthogonalität / Aliasing / Skalarprodukt zwischen Termen in der Designmatrix als um CCDs. Danke
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionDie erste Spalte/Zeile ist der Achsenabschnitt und wird bei der Berücksichtigung der Orthogonalität ignoriert. Ich bin ziemlich sicher, dass er bei gängigen Designs immer mit einem oder mehreren Effekten im Modell korreliert.
Betreff: Grundsatzfrage - ZentralverbundkonstruktionDanke, Don. Du hast recht und die Bedingungen alpha = sqrt(2) und nc=8 (nc = sqrt(nf) + 4 - k, wobei nf = Anzahl der Fakultätspunkte (Eckpunkte) = 4 und k = Anzahl der Faktoren = 2) ergeben einen drehbaren und orthogonalen CCD in 2 Faktoren.
Ich habe nc = 7, 8 und 9 ausprobiert und nc = 8 war die einzige Methode, die alle außerdiagonalen Elemente Null ergab (ohne die erste Zeile und Spalte, die mit dem Achsenabschnitt verknüpft ist). Da ich mich bis zu diesem Zeitpunkt nur mit voll- und teilfaktoriellen Designs auf zwei Ebenen beschäftigt hatte, dachte ich, dass ein Design orthogonal sei, wenn das Skalarprodukt aller Spaltenpaare Null ergibt, was bedeutet, dass es sich um ein orthogonales Design handelt, da diese Spaltenvektoren im rechten Winkel zueinander stehen. Ich denke, das hat vielleicht mit Aliasing und nicht mit Orthogonalität zu tun.
