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Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola a todos,

Tuve que transformar una variable a una distribución t de Student, algo muy fácil en JMP, usando Analizar << Distribución << Seleccionar la variable, luego hacer clic en la flecha roja y usar la selección de ajuste continuo. ¿La transformación inversa es igual de fácil? ¿Alguien puede explicar las selecciones de menú correctas para que esto suceda?

Gracias

Análisis y modelado de datos básicosRe: Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola @Mickyboy : No se está llevando a cabo ninguna transformación; las opciones que has identificado ("Analizar << Distribución << Seleccionar tu variable y luego hacer clic en la flecha roja y usar la selección de ajuste continuo") no están transformando tus datos de ninguna manera, sino que solo están verificando si la distribución seleccionada (distribución t en tu caso) es plausible como la población original de tus datos. ¿O estoy malinterpretando tu pregunta?

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola MRB3855,

Gracias por responder, no has entendido bien, pero podría ser por la forma en que lo estoy explicando, estoy transformando, a partir de lo anterior. La selección de ajuste continuo que obtengo compara distribuciones, la distribución de mejor ajuste, y digamos que en este caso es la t de Student, puedo marcar normal, ir a las distribuciones normales ajustadas y hacer clic en la flecha roja y seleccionar guardar columnas y obtener una transformación t de Student fácil de mi variable, agradable y fácil. Me pregunto si hay una manera fácil de volver a transformar desde la transformación t de Student. Espero que esto tenga más sentido, si estás familiarizado con r, tienen un procedimiento llamado emmeans que identifica la transformación y puede volver a transformar fácilmente.

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola @Mickyboy : Leí sobre emmeans y la documentación que encontré ( https://aosmith.rbind.io/2019/03/25/getting-started-with-emmeans/#back-transforming-results ) dice

"Como utilicé una transformación logarítmica, puedo expresar los resultados como diferencias multiplicativas en medianas en la escala (de datos) original.

We can always back-transform estimates and CI limits by hand, but in emmeans() we can use the type argument for this. Using type = "response" will return results on the original scale. This works when the transformation is explicit in the model (e.g., log(resp)) and works similarly for link functions in generalized linear models."

Más información aquí: https://cran.r-project.org/web/packages/emmeans/emmeans.pdf

Entonces... ¿estás usando la función de distribución t (¿pdf o cdf?) como una transformación de "Y" en algún modelo lineal? ¿Y luego quieres transformar de nuevo los intervalos de confianza para volver a la escala nativa? Si eso es correcto, ¿qué te llevó a usar esa transformación? Lo pregunto porque no me queda claro que en realidad estés haciendo lo que crees que estás haciendo. Las transformaciones se usan generalmente para que se cumpla el supuesto de normalidad de los modelos lineales tradicionales. Lo siento si sigo entendiendo mal...

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola @MRB3855 ,

Nuevamente, gracias por tu respuesta, no te obsesiones con qué es la transformación o por qué, quiero saber si hay un método fácil para transformar hacia atrás, tan fácil como el procedimiento de transformación descrito anteriormente, mira a continuación, usé la t de Student por lo siguiente, pero podría ser cualquiera de las transformaciones que puedes ver a continuación. Para transformar esta variable es agradable y fácil según los pasos anteriores, por lo que puedo transformar la variable y hacer lo que necesito hacer, y digamos que quiero la mediana, GMT, error estándar, intervalos de confianza alrededor de la media e intervalos de predicción, en teoría podría agregarlos al final de la lista de valores transformados y transformar hacia atrás todo si hay una manera fácil de hacerlo. Nuevamente, esta es una pregunta general SI hay un procedimiento tan simple y fácil como transformar (nuevamente no específico para ninguna transformación) para transformar hacia atrás.

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola @Mickyboy : Vale. Todavía me preocupa que no entiendas bien lo que estás haciendo, pero lo dejaré así porque no quieres "obsesionarte con lo que es la transformación o por qué".

Si desea realizar una transformación inversa, en general, deberá realizar las manipulaciones algebraicas para obtener lo que desea. Y en su caso de la distribución t, eso dependerá de qué función haya utilizado, la CDF o la PDF (la PDF es la fórmula de densidad, la CDF es la fórmula de distribución):

Si es PDF, tendrás que resolver manualmente la densidad (enlace a continuación) para x.

https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution#Location-scale_transformation

https://www.jmp.com/support/help/en/18.0/#page/jmp/statistical-details-for-continuous-fit-distributions.shtml#ww1161929

El problema con el que te encontrarás es que la función PDF no es una función uno a uno ( https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function ) ya que es simétrica alrededor del parámetro de ubicación; eso significa que para un valor dado de la función PDF, habrá dos soluciones para x. Por ejemplo, supongamos que ubicación = 100. Entonces [110-ubicación]^2 = [90-ubicación]^2 = 100. Entonces, la función PDF tendrá el mismo valor para 90 que para 110; entonces, ¿cómo elegirías entre los dos al transformar de la función PDF a x?

Si se utiliza la función de distribución de coeficientes, se deberá resolver la integral (de -infinito a t) de la función de densidad de probabilidad para t. Si este es el caso, se puede utilizar la función "cuantil t".

t Quantile( p, df ) * scale + location

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

He calculado transformaciones inversas en el pasado utilizando aproximaciones sucesivas utilizando la fórmula de transformación original. Aquí hay un ejemplo de transformación inversa de la media de la nueva distribución a los valores de datos originales.

Names Default To Here( 1 );
dt = 
// Open Data Table: Semiconductor Capability.jmp
// → Data Table( "Semiconductor Capability" )
Open( "$SAMPLE_DATA/Semiconductor Capability.jmp" );

theColumn = "NPN1";

Distribution(
	Continuous Distribution(
		Column( as column(theColumn) ),
		Process Capability( Use Column Property Specs ),
		Fit Student's t(save distribution formula)
	),
	SendToReport(
		Dispatch( {"NPN1"}, "Process Capability", OutlineBox, {Close( 1 )} )
	)
);

// Find the back transform of the calculated mean of the transformed distribution
theTargetCol = Column( dt, N Cols( dt ) ) << get name;
theFormula = Char( As Column( dt, theTargetCol ) << get formula );
theTarget = Col Mean( Column( dt, theTargetCol ) );

// Change the reference to the original column used in the transformation to _X_
// so it can be used in the back transform
Substitute Into( theFormula, ":"|| theColumn, "_X_" );
// The formula needs to create a memory variable to allow for comparison.
// Add the resulting variable name to be the resulting variable when the
// formula is executed
theFormula = "theResult = " || theFormula || ";";

// Successive Approximation will be used to get the back transform
// Use the min and max of the original column to start the approximations
theMax = Col Max(as column(theColumn) );
theMin = Col Min( as column(theColumn)  );

// Loop through the approximations for up to 100 loops to find the value
For( i = 1, i <= 100, i++,
	_X_ = Mean( theMax, theMin );
	Eval( Parse( theFormula ) );
	If(
		theResult > theTarget, theMax = _X_,
		theResult < theTarget, theMin = _X_,
		Break()
	);
);

// Display the findings in the log
Show( theTarget, theResult, _X_, i );

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

Gracias a ambos @txnelson y @MRB3855 ,

@txnelson muchas gracias por ese script, fue increíble y lo usaré mucho en el futuro.

@MRB3855 , la razón por la que hice esa pregunta fue debido a la salida de JMP para comparar distribuciones en mi publicación anterior, no he oído hablar de muchas de estas distribuciones, Johnson Su, SHASH, Cauchy, Gamma, Weibull y pensé que una cosa es transformar su variable a algo que se acerque a una distribución normal, y es muy fácil de hacer en JMP como se destacó anteriormente, pero ¿cómo se transforma hacia atrás? Pensé que podría haber una manera agradable y fácil de transformar hacia atrás que no conocía, eso es todo.

Gracias a ambos por tomarse el tiempo para responder.

Re: Transformación inversa de la distribución t de Student

Hola @Mickyboy : entiendo... y disculpas si no me expreso con claridad y/o parezco un poco argumentativo; mi única intención aquí es ofrecer alguna orientación cuando pueda resultar útil. Dicho esto, responderé a tu comentario anterior "... pensé que una cosa es transformar tu variable a algo que se aproxime a una distribución normal, y es muy fácil hacerlo en JMP como se destacó anteriormente, pero ¿cómo se hace la transformación inversa?".

Sí, hay buenas razones para transformar tu variable en algo que sea aproximadamente normal. De hecho, pero, por definición , el uso de cualquiera de estas funciones de distribución no lo hará.

En su caso, aplicó la función PDF o CDF (vea mi publicación anterior) a su variable (llamémosla X).

1. Si utilizó PDF: todo lo que hace esto es crear la curva de distribución t (la línea azul en la imagen siguiente). Por lo tanto, para cada X (eje x) obtendrá un punto (eje y) en la curva azul si aplica esta función.

2. Si utilizó CDF: todo lo que hace esto es calcular el área bajo la curva (probabilidad) de la PDF. En el ejemplo siguiente, el área bajo la línea azul hasta X=65,104 es 0,439265. Por lo tanto, Prob(X<65,104) = 0,439265 si X tiene una distribución t (dados sus valores de Ubicación, Escala y DF). Por lo tanto, para cada X obtendrá una probabilidad si aplica esta función.

Por lo tanto, cualquiera que sea la función que elijas, PDF o CDF, no puede dar como resultado una distribución normal (o distribución t); todo lo que hace es suponer que tus datos son de una distribución t y luego generar una curva y/o calcular probabilidades. De hecho, la CDF (sin importar cuál sea la distribución de X) tiene una distribución uniforme (caso especial, a = b = 1, de la distribución beta), pero ese es otro tema para otro día.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling

https://math.stackexchange.com/questions/1564584/prove-uniform-distribution#:~:text=Proof%3A%20In%20the%20case%20that,X%20for%20x%E2%88%88R.