요 전날 일본 고객을 대상으로 「JMP를 이용한 통계적 가설 검정 입문」이라는 제목으로 Web 세미나를 실시했습니다. 세미나의 특성상, 의료나 의약관계에 종사하고 있는 분이 많이 참가한다고 생각했습니다만, 실제로는 반도체, 전기·전자 부품, 소재 등을 개발하고 있는 제조업의 분들도 많이 참가되었습니다 했다.
이 세미나에서는 JMP의 동등성 검정에 대해 설명했습니다. 세미나 후의 참가자에게의 앙케이트에 의하면, 동등성 검정을 이용하는 케이스로서, 공정 변경 전후의 품질, 신규 도입한 장치, 조립 공장이 다른 제품, 원재료 변경, 제품 로트간에서의 동등성을 조사하는 것 를 들었습니다.
同等性検定の結果を視覚的に表す「フォレストプロット」동등성 검정의 결과를 시각적으로 나타내는 "포리스트 플롯"
또, 앙케이트에서는 업무로 동등성을 조사하는 케이스가 많다고 하는 코멘트나, 업무로 동등성 검정을 이용하는 용도가 있어, 도움이 되었다고 하는 코멘트도 받았습니다.
따라서 본 블로그에서는 세미나 내용의 복습 및 후속 조치로서 제조업에서 2그룹의 계량값에 대한 동등성 검정의 예에 대해 다시 설명합니다. 또, 수명의 분으로부터 동등성 검정에 필요한 샘플수의 산출 방법에 대해 알고 싶다고 하는 요망이 있어, 그 점에 대해서도 해설합니다.
두 그룹의 계량값 차이에 대한 동등성 검정
공정 전후의 제품을 비교하는 경우, 전과 후의 2 그룹의 값을 비교합니다. 2그룹의 계량값에 대해 JMP에서 동등성 검정을 실시하려면, 분석 > 이변량 관계의 「일원 배치 분석」의 리포트의 옵션으로서, 동등성 검정 > 평균 을 선택합니다. 합니다.
JMP 17까지는 t 검정에 근거한 동등성 검정만 대응하고 있었지만, 최신판의 「JMP 18」에서는, t 검정에 가세해, 비파라메트릭 수법인 Wilcoxon 검정에 근거하는 동등성 검정도 서포트되고 있습니다 .
여기에서는 t 검정, Wilcoxon 검정을 기반으로 한 동등성 검정의 예를 소개합니다. 예에서 사용하는 샘플 데이터도 본 블로그에 첨부되어 있으므로 참고하시기 바랍니다.
2 표본 t 검정에 대한 동등성 검정의 예(파라메트릭)
예 1: 구 공정과 현 공정에서의 금속 부품의 표면 경도의 동등성
- 금속 부품의 제조시, 제조 공정(열처리의 방법)을 변경했기 때문에, 제조 공정을 변경하기 전(구 공정)과 후(현 공정)에서 부품의 표면 경도(HRC*)가 동등을 볼 수 있다 여부를 확인하고 싶습니다.
- 납품처의 제품 사양을 고려하여 동등으로 간주하는 허용폭은 1.5(HRC)로 한다.
- 구 공정, 현 공정에서 각각 50개의 부품 샘플을 추출하고, 표면 경도를 측정하였다.
*HRC: 로크웰 경도
(첨부 샘플 데이터 「금속 부품의 표면 경도 데이터 (구 공정, 현 공정).jmp」를 참조)
동등성 검정을 실시하기 전에, 구 공정, 현 공정 각각의 표면 경도의 분포, 정규성이나 등분산성을 확인한 리포트를 나타냅니다.
그래프 우측의 정규분위점 플롯을 보면, 각 그룹 모두 플롯점이 참조선에 거의 따르고, 기준선의 기울기(그룹의 표준편차에 비례)가 거의 같기 때문에, t 검정의 전제인 정규성 과 등분산성을 충족하는 것으로 생각됩니다.
또 「평균과 표준편차」의 리포트로부터 현 공정의 평균은 구공정의 평균보다 약 0.5 정도 큰 것을 알 수 있습니다. 이러한 평균의 편차도 고려하여 허용 폭의 범위 내에서 동등한 것으로 간주할 수 있는지를 검정합니다.
[동등성 검정] > [평균] 설정에서 검정 종류로 [t 검정] 을 선택하고 마진(차)을 1.5로 설정했을 때의 보고서입니다.
「포레스트 플롯」 에는, 「구 공정의 평균」과 「현 공정의 평균」의 차이와, 차에 대한 양측 90% 신뢰 구간이 표시되어 있어, 이 구간은 허용폭이다 (-1.5, 1.5) 안에 들어갑니다. 따라서 구 공정의 부품 경도와 신공정의 부품 경도는 실질적으로 동등한 것으로 간주할 수 있습니다.
2-표본 Wilcoxon 검정에 대한 동등성 검정의 예(논파라메트릭)
예 2 : 재료의 차이로 인한 반도체 웨이퍼의 막 두께 동등성
- 다른 재료 (A,
로 제조 된 반도체 웨이퍼의 막 두께 (nm)가 동등한 것으로 간주 될 수 있는지 조사하고자한다.
- 과거의 지견으로부터, 동등으로 간주하는 허용폭은 5(nm)로 한다.
- 재료 A, 재료 B로 제조된 각각의 30개의 웨이퍼를 샘플로서 추출하였다.
(첨부의 샘플 데이터 「웨이퍼의 막 두께 데이터(재료 A, .jmp」를 참조)
예 1과 마찬가지로 분포와 정규성을 확인해 보겠습니다.
이 데이터는 각 그룹 모두 막 두께가 매우 큰 샘플이 몇 개 있고, 정규 분위점 플롯을 참조하면 플롯 점이 기준선을 따르지 않는 것을 알 수 있습니다.
이러한 경우에는 데이터를 변수 변환하여 정규 분포에 가깝게 할 수 있지만, 이번과 같은 큰 이상치가 있는 데이터에서는 로그 변환 등의 간단한 변환으로는 정규 분포에 가까워지지 않는 것도 있습니다. 그래서 여기에서는 분포를 가정하지 않는 비파라메트릭법에 의해 동등성의 검정을 실시합니다.
[동등성 검정] > [평균] 설정에서 검정 유형으로 Wilcoxon 검정을 선택하고 마진(차)을 5로 설정했을 때의 보고서입니다.
포리스트 플롯 에는 재료 A와 재료 B의 차이를 나타내는 Hodges-Lehmann 추정치(위치 파라미터의 추정치)와 그 양측 90% 신뢰 구간이 표시되고, 이 구간은 허용폭이다(- 5,5)에 맞지 않습니다. 따라서 이 경우 재료 A의 막 두께와 재료 B의 막 두께는 동등한 것으로 간주할 수 없습니다.
동등성 검정에 필요한 시료(샘플) 크기
JMP에서는 "표본 크기 탐색기" 의 기능을 사용하여 2 표본 t 검정의 동등성 검정에 대한 검출력과 표본 크기를 구할 수 있습니다.
예: 다음과 같은 경우에 2표본 t 검정의 동등성 검정에 필요한 표본 크기를 구한다.
- 금속 부품의 제조시, 제조 공정(열처리의 방법)을 변경했으므로, 제조 공정을 변경하기 전(구 공정)과 후(현 공정)에서 부품의 표면 경도(HRC)의 동등성 검정을 실시한다. 검정에 사용되는 허용폭은 1.5(HRC)로 한다.
- 과거의 지견으로부터, 구공정과 현공정에 있어서의 표준편차를 2(HRC)로 상정한다.
- 유의 수준 5%, 검출력 80% 이상, 각 공정에서 추출하는 샘플은 동수로 한다.
절차
1. 표본 크기 탐색기 > 탐지력 > 독립 2표본 동등성 탐지력을 선택합니다.
2. 탐색기 설정에서 상단 마진, 하단 마진에 허용 너비(1.5, -1.5)를 입력합니다. 오른쪽의 '알파' 입력란에 유의 수준의 값을 입력합니다. 이 예에서 유의 수준은 0.05이므로 기본 설정으로 유지할 수 있습니다.
3. 프로필에서 그룹 1과 그룹 2의 표준 편차를 모두 2로 입력합니다.
4. 왼쪽의 "검출력"에 0.8을 입력합니다.
이 때, 검출력 80% 이상이 되는 가장 작은 표본 사이즈가 「전체의 표본 사이즈」에 표시됩니다. 단, 이번 가정에서는 그룹 1과 그룹 2의 표본 크기를 동일하게하고 싶기 때문에, 그룹 1의 표본 크기를32로 편집합니다. 이 때의 검출력은 조금 커져 81.39%가 됩니다.
이것보다, 구공정, 신공정 각각 32개의 부품을 샘플링하면 됩니다.
상기의 순서에서는 「검출하고 싶은 차이」를 0으로 둡니다만, 본래는, 상정하는 구공정의 평균과 신공정의 평균의 차이를 입력합니다. 예를 들어 이전 공정의 부품 평균은 44.5이고 새 공정의 평균이 45.0이라고 가정할 수 있다면 0.5(또는 -0.5)를 검출할 차이로 입력합니다.
그러나 현실적으로는 사전에 새로운 공정에 관한 충분한 지견을 가지고 있는 경우는 적다고 생각됩니다. 그 때문에, 그 경우는 우선 「검출하고 싶은 차이」를 0 그대로 해 생각해도 좋을 것입니다. 그러나, 검출하고자 하는 차의 그래프의 형상으로부터 알 수 있듯이, 값이 0으로부터 멀어질수록 검출력은 저하합니다. 따라서 안전을 고려한다면 검출하고자 하는 차이를 0보다 조금 큰(또는 작은) 값으로 입력하거나 검출력을 90%로 설정하여 표본 크기를 구하는 것도 한 방안입니다.
또, 이 방법으로 구한 표본 사이즈는, 어디까지나 통계 이론에 근거해 계산된 것이므로, 실무에 있어서의 실현 가능성(표본을 추출하는 비용이나 시간 등)을 고려하여, 최종적인 표본 숫자를 결정해야 합니다.
JMP에서는 최근 버전 업그레이드(JMP 17, JMP 18)에서 동등성 검정 기능이 크게 확장되었습니다. 여기에서는 소개하지 않았습니다만, JMP 18에서는 대응이 있는 검정(t 검정, Wilcoxon 검정)에 대한 동등성 검정의 기능도 추가되고 있습니다. 꼭 최신판의 JMP로 동등성 검정의 기능을 시험해 주셔, 업무에 도움을 주세요.
※상기의 예제로 사용한 데이터는 가상 데이터입니다.
※관련 블로그 시리즈
제조업에서의 「동등성 검정」의 활용 Part1. 평균의 동등성 검정 - JMP User Community
제조업에서의 「동등성 검정」의 활용 Part2. 비율의 동등성 검정 - JMP User Community
마스카와 나오유(JMP Japan)
마스카와 나오히로 - JMP 사용자 커뮤니티
