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缺陷亞群模型 (2021-US-30MP-885)

David Trindade，STAT-TECH 創辦人兼首席顧問

假設一組組件中，一小部分組件極易受到某種故障機制的影響。從可靠性角度來看，這些組件屬於製造缺陷：它們最初能夠正常工作，且在標準的生產線末端測試和檢查中無法檢測到損壞，但經過短暫的使用後就失效了。其餘組件要不是不易受到這種故障機制的影響，就是在之後很久才因為其他原因而失效。

有時，現場或壽命試驗數據會顯示這種雙峰行為，即故障的早期發生率似乎在相當一部分故障發生之前就逐漸降低到幾乎為零。缺陷子群體模型 (DS) 是描述此類行為的一個很好的模型。

組件總體實際上是由兩個總體組成的：一個是可靠性缺陷較多、早期失效的小群體，另一個是可能由於磨損機製而較晚失效的組件（稱為“不朽組件”），這些磨損機制只有在更久遠的時期才會顯現。該模型具有廣泛的適用性，其中一小部分組件（希望數量很小！）遵循早期失效模型。

本次演講首先介紹如何使用 JMP 中的「壽命分佈」平台透過 DS 選項擬合數據來分析此類數據，然後示範如何根據「壽命分佈」平台的輸出應用簡單的假設檢驗，即可能存在有缺陷的子群體。

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揚聲器	抄本
大衛特林達德	你好，我是 Dave Trindade。
	我從事私人諮詢和培訓工作，尤其擅長JMP的使用，我的公司是STAT-TECH。今天我們來聊聊可靠度缺陷模型。
	在分析可靠性數據時，我們通常會假設，對於特定的過濾機制，所有承受壓力的單元最終都會失效。但是，如果可靠性數據似乎不符合該假設，我們該如何處理呢？
	我來舉個例子。假設我們進行一次可靠性壓力測試，我們取100台設備，運行1000小時。在500小時內，我們發現出現了30次故障，但在接下來的500小時內，直到測試結束，沒有再故障。
	那麼這裡有一個問題。假設我們把剩下的 70 台設備繼續進行超過 1000 小時的壓力測試。
	我們會看到更多類似的故障嗎？或者根本不會故障？所以我們要問的問題是，我們處理的是兩個不同的混合群體，還是數據只是隨機變化的？
	這是第二個例子，這是來自大型電腦製造商的進貨檢驗測試的實際數據。
	這是讀出型數據，該公司正在調查柵極氧化層類型的故障。讀出型數據是指對裝置進行定期測試的數據，例如0小時、24小時、48小時、168小時、500小時和1000小時。
	測試的樣本量顯示在這裡；初始樣本量為 58,133。
	這種情況持續了 48 小時，在 48 小時後，一大批被稱為審查單位的單位被從測試中移除，數量接近 48,000。
	現在，被審查的單元是經過讀數後從測試中移除的倖存設備，因此 10,000 個單元繼續運行了 168 小時，並且又發生了一次故障。
	然後，在那個時候，另外 8,000 人被移除，進行審查，以允許 2,000 人繼續工作到 1,000 小時，並從 500 開始，在 0 到 168 的間隔內工作 1,000 小時，
	500小時。發生了額外的故障，然後在500到1000小時之間，又發生了一次故障。所以我們最後在1000小時、1998台設備上進行了刪失。本公司假設故障分佈服從對數常態分佈。
	好的，假設我們想在JMP中分析一下，假設資料服從對數常態分佈。我們稱之為多重刪失，因為有很多刪失點，也就是區間型資料。
	JMP 資料表的建立如右圖所示，整理起來需要一點時間，但我先從這裡開始。我們有兩列，一列是起始列，另一列是結束列，用來表示區間的結束。
	所以從0到24小時，我們有201個單元被拒收，失敗了。但現在到了24小時，
	我們沒有進行任何審查，好吧，然後我們進入了第二個時間段，從24小時到48小時，期間又有23個單元出現故障。但在48小時後，我們移除了大部分承受壓力的單元，幾乎有48,000個。
	然後，又有 10,000 輛汽車被允許繼續行駛。在 48 到 168 小時內，這 10,000 輛汽車中有一輛車被拒收，而到了 168 小時內，我們又下架了 7,999 輛，差不多又有 8,000 輛了。
	該資料表中的審查點由空白單元格反映，這就是我們在這裡所擁有的，所以它們代表了審查點。
	然後在169到500小時之間，剩下的2000台機器中又出現了一次故障。最後，在1000小時之後，我們又出現了一次故障。
	測試結束時，剩下 1,998 個單元被審查。
	因此，在這種多刪失區間類型資料的表中輸入資料的重要一點是，您必須設定一個單獨的行來處理刪失的觀測值，並且端點將由空白單元格表示。
	現在讓我們將其導入 JMP。我們將選擇“分析”、“可靠性和生存”、“壽命分佈”，並提供顯示的輸入。我們將同時輸入起始列和結束列，然後輸入頻率列。
	對於已審查的觀測值，我們使用的審查代碼為零，然後我們將把它從 Wald 方法改為似然法。我比較喜歡使用似然法。
	我現在要做的是進入 JMP。
	好的。
	進行分析後再回到幻燈片。我先把投影片縮小一下。
	好的，這是主要製造商的可靠性數據。數據是這樣輸入的；我之前也提到過。接下來我們將分析可靠性、存活率和壽命分佈。
	好的，我們將在這裡輸入起始和結束列，並輸入頻率。審查程式碼為零，我再次將其更改為似然法。點選“確定”。
	好的，現在假設分佈服從對數常態分佈。 JMP 在這裡給出了一個非參數估計。
	點選對數常態分佈，我們得到了非參數尺度，也就是線性尺度。我們觀察數據，發現雖然數據點很少，但模型擬合效果似乎不太好，線上的點很少。
	如果我們在這裡使用機率圖，我們仍然會遇到同樣的情況，這就是模型，但數據點沒有落在直線上。這裡我要注意的另一件事是，當我們查看這裡的參數估計值時，T50
	是 4.8 乘以 e 的 30 次方。
	對於對數常態分佈來說，尺度大約是 25，這是一個非常非常大的數字。 JMP 也提供了分位數刻畫器，比如說
	我們試著估算達到0.5%故障率所需的時間。 JMP可以，基於這個模型，它告訴我們大約需要535個小時。那麼，1%的故障率呢？我們輸入0.01
	現在我們已經運行了將近273,000小時，但故障數量卻翻了一番。這種情況很奇怪，所以現在讓我回到幻燈片演示。
	好的。
	回到這裡。
	好的。
	現在回顧一下我們剛才討論的內容。這裡有參數估計值，這是我們的線性尺度。
	好的，這是我們的機率尺度，我希望您仔細看這些估計值。
	這是 T50，中位數，以及比例。好吧，我們來稍微解釋一下。 T50 是 E 的 30 次方小時的 4.8 倍。
	西格瑪是 25。好的，4.82 乘以 E 的 30 次方等於 5.2E 的 26 次方。
	相比之下，宇宙的年齡估計為1.48E的10次方年。
	因此，要達到 T50，就必須超越宇宙的盡頭，對我來說，這是一個病態問題。
	對數常態分佈器估計需要 535 小時才能達到 0.5% 的故障率，但需要將近 30 萬個小時才能達到 1% 的故障率。
	這不是一個令人滿意的分佈。好吧，那我們…我們的替代方案是什麼？我們的替代方案是從缺陷模型的角度來思考。
	缺陷模型基本上是將凡人與不朽者對立起來。與通常所有承受壓力的單元最終都會失效的假設相反
	如果缺陷存在於子群體中，則只有包含該缺陷的那部分單元可能容易發生故障。
	這些被稱為“凡人”，因為它們可能會失敗，它們有缺陷。如果這些單位沒有致命缺陷，
	它們不會因為故障機製而失效，也不會因為觀察到的原因而失效。這些被稱為「永生」系統，它們最終可能會失效，但失效的時間非常非常長，而且很可能是其他原因。
	所以現在讓我們考慮一下這裡的數據的缺陷模型，我們將做出一些我認為合理的假設。
	查看這些傳入的檢查數據，我們發現，拒收發生在 201、23 處，然後，在此之後，即使樣本量減少，失敗的次數也很少。
	因此，我們要做的是假設幾乎 99% 的故障發生在 48 小時內。
	好的，這意味著我們開始使用的樣本量是拒絕的...
	原始 58,000 個缺陷中約有 227 個，只需將其除以 0.99 即可拒絕我們看到的計數。
	因此，實際上 100% 的致命故障都是在 168 小時內發生的，我們假設此後的任何故障都不太可能與有缺陷的亞群有關，而可能是由處理引起的。
	現在讓我們在 JMP 表中設定一個單獨的列
	這包含了存在缺陷亞群的想法。因此，一個可能的模型暗示著一個死亡率較低的亞群，而缺陷，正如我之前提到的，在227
	在 58,000 個或約 0.39% 中，因此原始樣本中約少於 0.4% 的單元有缺陷。
	現在我要在資料表中新增一個 Mortals 列，如圖所示，所以我只需輸入我們觀察到的拒絕項。
	我在這裡稍微假設一下，在被審查的單位中，有相當大一部分
	48,000，其中大約有兩個……大約有兩個不合格品……被剔除的「凡人」。然後我們把另一個發生在168的不合格品也算進去，我們把它當作不合格品，但從那以後，就沒有再發生過不合格品了。現在讓我們在JMP中分析一下。
	好的，我在這裡單獨列了一個列，記錄了凡人的頻率，也就是我剛才展示的那個。現在我們要來分析一下，
	可靠性和生存率，壽命分佈。好的，我們將引入起始和終止拒絕列，但現在我們將使用凡人頻率作為其中的頻率。審查代碼仍然為零，我再次喜歡可能性。
	我們點擊“確定”，瞧，我們就得到了這個。
	這只有兩個數據點，但是沒關係，我將單擊對數正態尺度。
	但現在，當我們看看我們的 T50
	根據我們的規模參數，我們看到 T50 現在約為 10.6 小時。
	好的，比例大約是0.6。看看我們的四分位刻畫器，它告訴我們…觀察大約0.5%的失敗率大約需要兩個小時，而觀察大約1%的失敗率，
	好的，這需要兩個多小時。這些是更合理的類型值，也是建立缺陷模型和做出假設的基礎之一，這樣你就能得到更合理的結果。現在讓我們回到我們的
	PowerPoint 簡報。
	好的，這只是我們對壽命分佈所做的工作，如果你想自己花時間了解一下，可以看看這個。我會提供 JMP 資料文件
	在 JMP 社群論壇上。好的，我們現在的 T50 是 10 個西格瑪點，而之前的價格可以相當高昂。
	Sigma 為 0.68，在我們的估算中，這是非常合理的類型值。所以這個例子基本上表明，如果你在分析中不考慮凡人與不朽者，你可以得到，
	你知道，結果有很大的偏差，一個錯誤的假設會嚴重影響結果，如果你預測現場可靠性
	除非認識到並考慮到有限數量的缺陷單元的存在，否則結果可能會再次出現嚴重偏差。
	如何辨識有缺陷的亞群？嗯，有一件事很容易做到，那就是圖形分析。
	假設指定的故障模式服從對數常態分佈。我們使用對數常態機率圖繪製資料。如果不是直線，
	該點似乎偏離累積百分比軸，這表明可能存在有缺陷的亞群。
	如果測試運行的時間足夠長，我們預計該圖將漸近地彎曲到代表
	樣本中缺陷的比例。我的意思是，這是一個機率圖，假設所有東西都可能失效。
	在某個時刻，你會達到一個......基本上是一個停止點，無論你在壓力下增加多少時間，你都不會再出現額外的故障，而這個點代表了模型中累積的缺陷百分比。
	好的，現在如果我們只看死亡亞群並繪製數據，我們就會得到一條直線擬合，我們預計這將支持擬合分佈模型。
	好的，那我們討論的模型到底是什麼呢？我們觀察到的，本質上是模型的累積分佈函數 (CDF) 乘以 P，P 是該總體中模型的比例。
	例如，如果人口中有 25% 的人是死亡，而當時的死亡 CDF 是 40% 的失敗率，
	那麼您預期在總樣本中觀察到的內容將是時間 T 時總樣本中的 10% (.25 x .4)。
	好的，現在我再舉一個例子，更詳細地說明這一點，它實際上展示了JMP分析缺陷子群體的強大功能。對於半導體…對於一種半導體模組，已知一小部分…
	密封模組的外殼內可能會滯留濕氣，這會增加導致這些單元過早故障的可能性。
	我們想要做的就是針對這些故障建立一個合適的壽命分佈模型。
	現在，測試零件是專門製造的，大大增加了封閉水分的機會，這是正常製造過程中的典型缺陷，然後我們選擇了 100
	我們從這些單元中隨機抽取零件，並進行了 2000 小時的壓力測試。我們觀察到 15 次故障，以下是故障發生的時間。測試結束時，仍有 85 個單元運作正常。好的，這些是經過審查的觀察。
	現在，由於我們有精確的失效時間和刪失時間，因此這些時間將以以下方式輸入到 JMP 資料表中。好的，我們將這些時間輸入到一列中
	然後我們輸入刪失觀測值，1 表示非刪失，0 表示刪失，在本例中，然後是頻率，即在給定時間點發生的故障數量。但在 2000 小時時
	我們有零個刪失程式碼，還有85個單元仍然存活。好的，現在我們得到了這個JMP資料表。
	我們現在要使用一種傳統平台，因為它呈現了我喜歡展示的圖表。
	我們將選擇分析、可靠性和生存，這次我們將使用生存，而不是壽命分佈。
	所以，我們將像圖中這樣對列進行轉換，類似我們對壽命分佈所做的操作。我們將輸入失效時間，這些是精確的失效時間。
	我們要把頻率列放入刪失觀察列。我們要繪製失敗率而不是生存率，而且，非常重要的一點是，我們把刪失率程式碼改成了零。現在就開始吧。好了，到這兒了。我要把這個關掉。
	我們不再需要這個人了，所以我要來這裡
	把這個傢伙也關掉。
	好的，我們來看看這個缺陷模型。這裡是我們的故障時間、審查和頻率。所以我要來這裡分析，然後我會繼續討論可靠性和生存率，不過這裡不是討論壽命分佈，而是討論生存率。
	好的，我輸入了失敗次數。
	我把頻率輸入到審查次數、審查列。在這裡，我把審查程式碼改成零了。
	我要繪製失敗而不是生存。點選“確定”。
	現在我有了這個情節，讓我們...稍微改進一下它。
	讓我們在這裡討論一下...
	就在那裡。很好，我打算在這裡添加一些網格線，讓它更容易理解，我也會在這裡對網格線做同樣的事情。
	好的。那麼，我們從這些數據中註意到了什麼？這顯示可能存在永生種群？我們注意到，這些單位遵循著累積分佈函數（CDF）的相當線性的曲線。
	最後一次故障發生在大約 2,000 小時，對不起，最後一次故障發生在大約 1700 小時，我認為這是實際數據點，讓我回溯到大約 1664。
	我們注意到，在上次故障發生前的 300 小時內，發生了 5 次故障，但從 500 小時開始…實際上從 1664 小時開始，
	300小時……336小時，沒有任何故障。所以我想說的是，我們看到了某種
	故障的飽和點，在這 300 小時內，與這 300 小時內相同，
	這 300 小時內發生了 5 次故障，而接下來的 336 小時或更長時間內沒有發生任何故障，所以我們現在懷疑
	我們可能有缺陷亞群，因為我們沒有看到如果這條曲線繼續下去我們預期的更多故障。好的，我們現在要做的是，進入這裡
	我們將使用壽命分佈程式來示範 JMP。好的，我們來看看可靠性和生存率，壽命分佈，現在我們要做的就是輸入故障時間。
	好的，確實有時。我們要在審查欄裡輸入頻率。
	則審查代碼為零。同樣是可能性。
	我們點選確定。
	現在，我們這裡有一個非參數資料圖。 JMP 提供了一大堆可以擬合這些資料的分佈。我們選擇這裡，可以說是擬合所有非負類型的分佈，因為可靠性分佈不是負的。
	JMP 出來了，它給了我們一個廣義伽馬函數。我不會用廣義伽瑪函數，因為我會用對數常態函數，因為那是最初規劃的。
	用於數據分析。我們可以看到，它和廣義伽馬曲線並沒有太大區別，如果你看一下
	就 AICc 類型的標準而言，對數常態分佈的擬合效果並不好。我們有很多數據點，你知道，它們位於直線的一側上方。如果我們使用對數常態分佈，那麼，在這裡，
	我們再次看到，數據點沒有落在線上。好的，我們也可以看看資料的參數估計值，如下所示。尺度參數為1，T50為6000。
	好的，我們現在有一個分析，但它並沒有給我們一個非常令人滿意的數據擬合，所以我現在要回到我的 PowerPoint 簡報
	這邊。
	好的。
	這只是使用生存平台再次重複，我們在過去的 336 小時內沒有看到新的故障，而在此之前的 336 小時內發生了 5 次故障。
	所以我們懷疑一個子群體可能有缺陷。如何在 JMP 中分析這個問題？事實證明
	我們實際上可以用最大似然法來求解我之前展示的模型中的參數。這只是對刪失資料最大似然理論的一個簡單擴展。
	最大似然方程式的基本組成部分是 PDF f(t) 和 CDF F(t)，然而，只有一小部分 p
	整體容易受到 F(t) 模型故障機制的影響，那麼 pF(t) 就是隨機選取的組件在時間 t 前發生故障的機率。
	我之前舉了 25% 和 40% 的死亡率的例子，給你 10% 的觀察值。同樣，
	隨機選擇的組件在精確時刻 t 發生故障的機率密度函數由 PDF 乘以 p 給出。
	因此，我們要做的就是使用為缺陷模型編寫似然方程式的規則，即在似然方程中 f 和 F 出現的位置用 pf（小 f）和 pF 代替。
	現在似然方程，即第一類刪失資料的標準方程，意味著我們有 n 個單位的壓力。
	我們有 r 個故障發生在 T1、T2 時刻，一直到 T 子 r 時刻，剩餘的 N 減 r 個單元被刪失，並且倖存下來。這是此情形的似然方程，即第一類感測器資料。現在我們要
	只需用 fft 和 Kappa fft p 乘以 fft 即可處理缺陷模型，其中只有一小部分人口容易失敗。
	n P 乘以 Kappa fft，顯然，當您進行多次乘法時，您會將 r 的 p 取到外面。
	因此，ML 估計是 P 和總體參數的值，它們最大化
	似然方程，或等效地最小化似然函數的對數，這是一個更容易處理的方程。事實證明，JMP 就是這樣做的。 JMP 的最大似然估計值
	壽命分佈平台。我們再次使用這個原始表格，也就是我之前展示的9.5數據表，輸入數據，如圖所示，包括故障次數、審查員、頻率，然後在這裡進行修改。
	現在我們得到了這個輸出，正如我所提到的，這是一個非參數類型的輸出。
	然後，當我們告訴 JMP 擬合所有非負類型分佈時，即假設所有單元都可能失敗，我們決定只使用對數常態類型分佈，然後按一下它。
	我們的輸出以這種方式出現，這表示對數常態擬合較差。
	當我們查看機率和對數機率圖時，對數常態擬合度再次很差，因此與數據的擬合度非常值得懷疑。
	好的，現在我們要使用 JMP 中一個強大的程序，叫做缺陷子群體擬合。我們不是擬合所有非負分佈，而是擬合所有 DS 分佈。
	DS 分佈是使用最大似然方程式來估計的缺陷子群體分佈，而不僅僅是 CDF，
	模型，以及該模型中的p值。我們要做這個。讓我們回到這裡，好，進入JMP。
	回到這裡我們的例子。
	好的，我們現在要從頂部開始，現在我們要做的就是
	將會對 JMP 做出反應，使其適合所有有缺陷的子群體分佈。
	現在，哇，看看這個。
	我們現在有 JMP 為我們擬合有缺陷的亞群體對數常態類型模型。
	擬合效果非常好，我的意思是，它擬合得非常好。當我們進行非參數化…非參數化尺度時，我們發現我們有一個有效的模型。
	並讓我們對現場預測充滿信心…我們對預測的可靠性充滿信心。如果我們繼續下去。
	我們之前展示過對數常態參數估計，但如果我們在這裡討論 DS 對數常態，
	該模型現在顯示，該群體的估計缺陷率約為15.8%。記得我們之前說過，當缺陷率達到15%左右時，就達到飽和狀態了。
	尺度參數是 0.35，現在我們可以估算，使用分位數刻畫器或分佈刻畫器，我們可以估算
	在給定時間點發生故障的機率，或者我們可以使用分位數分析器估計達到特定機率的時間點。
	但是，這個模型與其他模型之間的驚人差異確實非常顯著，在後者中，我們沒有假設有缺陷的亞群。
	所以，當你查看可靠性數據時，務必確定是否有缺陷子群體，這一點非常重要。讓我回到我的 JMP…
	我的 PowerPoint 簡報在這裡。
	好的，當你選擇擬合所有DS分佈時，JMP會自動選擇DS對數常態分佈。我們檢查了一下擬合效果，這個擬合效果非常非常好。
	參數估計如下所示，請注意，我們對該模型中的缺陷率、死亡率和死亡率的 T50 的參數估計有此估計，而死亡率的 Sigma 也顯示在這裡。
	現在好了。
	我希望 JMP 能夠融入壽命分佈中，讓我們能夠測試並查看缺陷模型是否更好
	比假設所有單元都可能失效的模型更準確。如果某個可疑缺陷模型的 ML 估計值尚未計算出來，我們可以檢驗假設 P 等於 1。
	也就是說，相對於替代缺陷模型，不存在缺陷亞群。
	因此，這裡是測試，讓 L1 成為標準（無缺陷）模型的最小對數似然，讓 L2 成為缺陷模型的最小對數似然。
	似然比檢定統計量為 Lambda =2(L1-L2)。如果假設成立，也就是說，模型顯示所有單元都可能失效，
	Lambda 近似於具有 1 個自由度的卡方分佈。如果 Lambda 較大，那麼我們選擇一個卡方百分位數
	95%，那麼我們得到的是 3.84，具有一個自由度，那麼我們將拒絕標準模型並以 95% 的置信水準接受缺陷模型。
	因此，讓我們回到 JMP 中的輸出，JMP 實際上提供了此處對數似然的估計。
	好的，我想向您展示這裡的 JMP 範例，您可以看到，對於對數正態，這是對數似然，307，對於缺陷子群體是 301，因此 JMP 會自動為您提供這些值。
	好的，回到這裡。
	好的，當我們把這個檢定統計量代入進去後，我們說 3.07 減 3.01 等於 6.1。現在 6.1 更大了
	大於卡方值 3.84，因此在這種情況下對於該範例 9.5，我們將拒絕表示一切都可能失敗的標準模型，並且我們將以 95% 的置信度接受缺陷模型。
	現在，如果您想了解有關缺陷模型的更多信息，您可以穀歌搜尋缺陷亞群和可靠性數據以獲取更多資訊。
	我實際上有一個案例研究，是我在一家公司工作時，最終解決了一個問題，它涉及產品後續生產過程中的缺陷子群體，這個案例也被引用了。在可靠性文獻中，
	這種模型也稱為有限故障族群（LFP）模型。
	因此，在可靠性數據分析中，識別並考慮缺陷子群體（DS 模型）的存在對於獲得無偏結果非常重要，而 JMP 的壽命分佈平台能夠使用視覺和 MLE 方法分析 DS 數據。
	參考文獻在這裡。我們在我的書中討論了缺陷亞群；這本書是第三版，由Paul Tobias和我共同編寫。
	這就是我之前提到的例子，我們使用缺陷子群體和加速測試來解決現場問題。 Meeker 和 Escobar 也寫了《可靠性資料的統計方法》，其中討論了有限故障群體模型。
	謝謝大家，我也樂意回答任何問題。保重。

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