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缺陷亚群模型 (2021-US-30MP-885)

David Trindade，STAT-TECH 创始人兼首席顾问

假设一组组件中，一小部分组件极易受到某种故障机制的影响。从可靠性角度来看，这些组件属于制造缺陷：它们最初能够正常工作，且在标准的生产线末端测试和检查中无法检测到损坏，但经过短暂的使用后就失效了。其余组件要么不易受到这种故障机制的影响，要么在之后很久才由于其他原因而失效。

有时，现场或寿命试验数据会表明这种双峰行为，即故障的早期发生率似乎在相当一部分故障发生之前就逐渐降低到几乎为零。缺陷子群体模型 (DS) 是描述此类行为的一个很好的模型。

组件总体实际上是由两个总体组成的：一个是可靠性缺陷较多、早期失效的小群体，另一个是可能由于磨损机制而较晚失效的组件（称为“不朽组件”），这些磨损机制只有在更久远的时期才会显现。该模型具有广泛的适用性，其中一小部分组件（希望数量很小！）遵循早期失效模型。

本次演讲首先介绍了如何使用 JMP 中的“寿命分布”平台通过 DS 选项拟合数据来分析此类数据，然后演示了如何根据“寿命分布”平台的输出应用简单的假设检验，即可能存在有缺陷的子群体。

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扬声器	抄本
大卫·特林达德	你好，我是 Dave Trindade。
	我从事私人咨询和培训工作，尤其擅长JMP的使用，我的公司是STAT-TECH。今天我们来聊聊可靠性缺陷模型。
	在分析可靠性数据时，我们通常会假设，对于特定的过滤机制，所有承受压力的单元最终都会失效。但是，如果可靠性数据似乎不符合该假设，我们该如何处理呢？
	我来举个例子。假设我们进行一次可靠性压力测试，我们取100台设备，运行1000小时。在500小时内，我们发现出现了30次故障，但在接下来的500小时内，直到测试结束，没有再出现故障。
	那么这里有一个问题。假设我们把剩下的 70 台设备继续进行超过 1000 小时的压力测试。
	我们会看到更多类似的故障吗？或者根本不会发生故障？所以我们要问的问题是，我们处理的是两个不同的混合群体，还是数据只是随机变化的？
	这是第二个例子，这是来自一家大型计算机制造商的进货检验测试的实际数据。
	这是读出型数据，该公司正在调查栅极氧化层类型的故障。读出型数据是指对器件进行定期测试的数据，例如0小时、24小时、48小时、168小时、500小时和1000小时。
	测试的样本量显示在这里；初始样本量为 58,133。
	这种情况持续了 48 小时，在 48 小时后，一大批被称为审查单位的单位被从测试中移除，数量接近 48,000。
	现在，被审查的单元是经过读数后从测试中移除的幸存设备，因此 10,000 个单元继续运行了 168 小时，并且又发生了一次故障。
	然后，在那个时候，另外 8,000 人被移除，进行审查，以允许 2,000 人继续工作到 1,000 小时，并从 500 开始，在 0 到 168 的间隔内工作 1,000 小时，
	500小时。发生了一次额外的故障，然后在500到1000小时之间，又发生了一次故障。所以我们最终在1000小时、1998台设备上进行了删失。公司假设故障分布服从对数正态分布。
	好的，假设我们想在JMP中分析一下，假设数据服从对数正态分布。我们称之为多重删失，因为有很多删失点，也就是区间型数据。
	JMP 数据表的创建如右图所示，整理起来需要一点时间，但我先从这里开始。我们有两列，一列是起始列，另一列是结束列，用于表示区间的结束。
	所以从0到24小时，我们有201个单元被拒收，失败了。但现在到了24小时，
	我们没有进行任何审查，好吧，然后我们进入了第二个时间段，从24小时到48小时，期间又有23个单元出现故障。但在48小时后，我们移除了大部分承受压力的单元，几乎有48,000个。
	然后，又有 10,000 辆汽车被允许继续行驶。在 48 到 168 小时内，这 10,000 辆汽车中有一辆车被拒收，而到了 168 小时内，我们又下架了 7,999 辆，差不多又有 8,000 辆了。
	该数据表中的审查点由空白单元格反映，这就是我们在这里所拥有的，所以它们代表了审查点。
	然后在169到500小时之间，剩下的2000台机器中又出现了一次故障。最后，在1000小时之后，我们又出现了一次故障。
	测试结束时，剩下 1,998 个单元被审查。
	因此，在这种多删失区间类型数据的表中输入数据的重要一点是，您必须设置一个单独的行来处理删失的观测值，并且端点将由空白单元格表示。
	现在让我们将其导入 JMP。我们将选择“分析”、“可靠性和生存”、“寿命分布”，并提供显示的输入。我们将同时输入起始列和结束列，然后输入频率列。
	对于已审查的观测值，我们使用的审查代码为零，然后我们将把它从 Wald 方法改为似然法。我更喜欢使用似然法。
	我现在要做的是进入 JMP。
	好的。
	进行分析后再回到幻灯片。我先把幻灯片缩小一下。
	好的，这是主要制造商的可靠性数据。数据是这样输入的；我之前也提到过。接下来我们将分析可靠性、生存率和寿命分布。
	好的，我们将在这里输入起始和结束列，并输入频率。审查代码为零，我再次将其更改为似然法。点击“确定”。
	好的，现在假设分布服从对数正态分布。JMP 在这里给出了一个非参数估计。
	点击对数正态分布，我们得到了非参数尺度，也就是线性尺度。我们观察数据，发现虽然数据点很少，但模型拟合效果似乎不太好，线上的点很少。
	如果我们在这里使用概率图，我们仍然会遇到同样的情况，这就是模型，但数据点没有落在线上。这里我要注意的另一件事是，当我们查看这里的参数估计值时，T50
	是 4.8 乘以 e 的 30 次方。
	对于对数正态分布来说，尺度大约是 25，这是一个非常非常大的数字。JMP 也提供了分位数刻画器，比如说
	我们试图估算达到0.5%故障率所需的时间。JMP可以，基于这个模型，它告诉我们大约需要535个小时。那么，1%的故障率呢？我们输入0.01
	现在我们已经运行了将近273,000小时，故障数量却翻了一番。这种情况很奇怪，所以现在让我回到幻灯片演示中。
	好的。
	回到这里。
	好的。
	现在回顾一下我们刚才讨论的内容。这里有参数估计值，这是我们的线性尺度。
	好的，这是我们的概率尺度，我希望您仔细看一下这些估计值。
	这是 T50，中位数，以及比例。好吧，我们来稍微解释一下。T50 是 E 的 30 次方小时的 4.8 倍。
	西格玛是 25。好的，4.82 乘以 E 的 30 次方等于 5.2E 的 26 次方。
	相比之下，宇宙的年龄估计为1.48E的10次方年。
	因此，要达到 T50，就必须超越宇宙的尽头，对我来说，这是一个病态问题。
	对数正态分布器估计需要 535 个小时才能达到 0.5% 的故障率，但需要将近 300,000 个小时才能达到 1% 的故障率。
	这不是一个令人满意的分布。好吧，那么我们……我们的替代方案是什么？我们的替代方案是从缺陷模型的角度来思考。
	缺陷模型基本上是将凡人与不朽者对立起来。与通常所有承受压力的单元最终都会失效的假设相反
	如果缺陷存在于子群体中，则只有包含该缺陷的那部分单元可能容易发生故障。
	这些被称为“凡人”，因为它们可能会失败，它们有缺陷。如果这些单位没有致命缺陷，
	它们不会因为故障机制而失效，也不会因为观察到的原因而失效。这些被称为“永生”系统，它们最终可能会失效，但失效的时间非常非常长，而且很可能是其他原因。
	所以现在让我们考虑一下这里的数据的缺陷模型，我们将做出一些我认为合理的假设。
	查看这些传入的检查数据，我们发现，拒收发生在 201、23 处，然后，在此之后，即使样本量减少，失败的次数也非常少。
	因此，我们要做的是假设几乎 99% 的故障发生在 48 小时内。
	好的，这意味着我们开始使用的样本量是拒绝的......
	原始 58,000 个缺陷中约有 227 个，只需将其除以 0.99 即可拒绝我们看到的计数。
	因此，实际上 100% 的致命故障都是在 168 小时内发生的，我们假设此后的任何故障都不太可能与有缺陷的亚群有关，而可能是由处理引起的。
	现在让我们在 JMP 表中设置一个单独的列
	这包含了存在缺陷亚群的想法。因此，一个可能的模型暗示着一个死亡率较低的亚群，而缺陷，正如我之前提到的，在227
	在 58,000 个或约 0.39% 中，因此原始样本中约少于 0.4% 的单元存在缺陷。
	现在我要向数据表中添加一个 Mortals 列，如图所示，所以我只需输入我们观察到的拒绝项。
	我在这里稍微假设一下，被审查的单位中，有相当大一部分
	48,000，其中大约有两个……大约有两个不合格品……被剔除的“凡人”。然后我们把发生在168的另一个不合格品也算进去，我们把它当作不合格品，但从那以后，就没有再发生过不合格品了。现在让我们在JMP中分析一下。
	好的，我在这里单独列了一个列，记录了凡人的频率，也就是我刚才展示的那个。现在我们要来分析一下，
	可靠性和生存率，寿命分布。好的，我们将引入起始和终止拒绝列，但现在我们将使用凡人频率作为其中的频率。审查代码仍然为零，我再次喜欢可能性。
	我们单击“确定”，瞧，我们就得到了这个。
	这只有两个数据点，但是没关系，我将单击对数正态尺度。
	但是现在，当我们看看我们的 T50
	根据我们的规模参数，我们看到 T50 现在约为 10.6 小时。
	好的，比例大约是0.6。看看我们的四分位刻画器，它告诉我们……观察大约0.5%的失败率大约需要两个小时，而观察大约1%的失败率，
	好的，这需要两个多小时。这些是更合理的类型值，也是建立缺陷模型和做出假设的基础之一，这样你就能得到更合理的结果。现在让我们回到我们的
	PowerPoint 演示文稿。
	好的，这只是我们对寿命分布所做的工作，如果你想自己花时间了解一下，可以看看这个。我会提供 JMP 数据文件
	在 JMP 社区论坛上。好的，我们现在的 T50 是 10 个西格玛点，而之前的价格可是相当高昂。
	Sigma 为 0.68，在我们的估算中，这是非常合理的类型值。所以这个例子基本上表明，如果你在分析中不考虑凡人与不朽者，你可以得到，
	你知道，结果存在很大的偏差，一个错误的假设会严重影响结果，如果你预测现场可靠性
	除非认识到并考虑到有缺陷单元的有限数量的可能存在，否则结果可能再次出现严重偏差。
	如何识别有缺陷的亚群？嗯，有一件事很容易做到，那就是图形分析。
	假设指定的故障模式服从对数正态分布。我们使用对数正态概率图绘制数据。如果不是直线，
	该点似乎偏离累积百分比轴，这表明可能存在有缺陷的亚群。
	如果测试运行的时间足够长，我们预计该图将渐近地弯曲到代表
	样本中缺陷的比例。我的意思是，这是一个概率图，假设所有东西都可能失效。
	在某个时刻，你会达到一个......基本上是一个停止点，无论你在压力下增加多少时间，你都不会再出现额外的故障，而这个点代表了模型中累积的缺陷百分比。
	好的，现在如果我们只看死亡亚群并绘制数据，我们就会得到一条直线拟合，我们预计这将支持拟合分布模型。
	好的，那么我们讨论的模型到底是什么呢？我们观察到的，本质上是模型的累积分布函数 (CDF) 乘以 P，P 是该总体中模型的比例。
	例如，如果人口中有 25% 的人是死亡，而当时的死亡 CDF 是 40% 的失败率，
	那么您期望在总样本中观察到的内容将是时间 T 时总样本中的 10% (.25 x .4)。
	好的，现在我再举一个例子，更详细地说明这一点，它实际上展示了JMP分析缺陷子群体的强大功能。对于半导体……对于一种半导体模块，已知一小部分……
	密封模块的外壳内可能会滞留湿气，这会增加导致这些单元过早发生故障的可能性。
	我们想要做的就是针对这些故障建立一个合适的寿命分布模型。
	现在，测试部件是专门制造的，大大增加了封闭水分的机会，这是正常制造过程中的典型缺陷，然后我们选择了 100
	我们从这些单元中随机抽取零件，进行了 2000 小时的压力测试。我们观察到 15 次故障，以下是故障发生的时间。测试结束时，仍有 85 个单元运行正常。好的，这些是经过审查的观察结果。
	现在，由于我们有精确的失效时间和一个删失时间，因此这些时间将按以下方式输入到 JMP 数据表中。好的，我们将这些时间输入到一列中
	然后我们输入删失观测值，1 表示非删失，0 表示删失，在本例中，然后是频率，即在给定时间点发生的故障数量。但在 2000 小时时
	我们有零个删失代码，还有85个单元仍然存活。好的，现在我们得到了这个JMP数据表。
	我们现在要使用一种传统平台，因为它呈现了我喜欢展示的图表。
	我们将选择分析、可靠性和生存，这次我们将使用生存，而不是寿命分布。
	所以，我们将像图中这样对列进行转换，类似于我们对寿命分布所做的操作。我们将输入失效时间，这些是精确的失效时间。
	我们要把频率列放入删失观察列。我们要绘制失败率而不是生存率，而且，非常重要的一点是，我们把删失率代码改成了零。现在就开始吧。好了，到这儿了。我要把这个关掉。
	我们不再需要这个人了，所以我要来这里
	把这个家伙也关掉。
	好的，我们来看看这个缺陷模型。这里是我们的故障时间、审查和频率。所以我要来这里分析，然后我会继续讨论可靠性和生存率，不过这里不是讨论寿命分布，而是讨论生存率。
	好的，我输入了失败次数。
	我把频率输入到审查次数、审查列中。在这里，我把审查代码改成了零。
	我要绘制失败而不是生存。点击“确定”。
	现在我有了这个情节，让我们...稍微改进一下它。
	让我们在这里讨论一下...
	就在那里。很好，我打算在这里添加一些网格线，让它更容易理解，我也会在这里对网格线做同样的事情。
	好的。那么，我们从这些数据中注意到了什么？这表明可能存在永生种群？我们注意到，这些单位遵循着累积分布函数（CDF）的相当线性的曲线。
	最后一次故障发生在大约 2,000 小时，对不起，最后一次故障发生在大约 1700 小时，我认为这是实际数据点，让我回溯到大约 1664。
	我们注意到，在上次故障发生前的 300 小时内，发生了 5 次故障，但从 500 小时开始……实际上从 1664 小时开始，
	300小时……336小时，没有出现任何故障。所以我想说的是，我们看到了某种
	故障的饱和点，在这 300 小时内，与这 300 小时内相同，
	这 300 个小时内发生了 5 次故障，而接下来的 336 个小时或更长时间里没有发生任何故障，所以我们现在怀疑
	我们可能存在缺陷亚群，因为我们没有看到如果这条曲线继续下去我们预期的更多故障。好的，我们现在要做的是，进入这里
	我们将使用寿命分布程序来演示 JMP。好的，我们来看看可靠性和生存率，寿命分布，现在我们要做的就是输入故障时间。
	好的，确实有时。我们要在审查栏里输入频率。
	则审查代码为零。同样是可能性。
	我们点击确定。
	现在，我们这里有一个非参数数据图。JMP 提供了一大堆可以拟合这些数据的分布。我们选择这里，可以说拟合所有非负类型的分布，因为可靠性分布不是负的。
	JMP 出来了，它给了我们一个广义伽马函数。我不会用广义伽马函数，因为我会用对数正态函数，因为那是最初计划的。
	用于数据分析。我们可以看到，它和广义伽马曲线并没有太大区别，如果你看一下
	就 AICc 类型的标准而言，对数正态分布的拟合效果并不好。我们有很多数据点，你知道，它们位于直线的一侧上方。如果我们使用对数正态分布，那么，在这里，
	我们再次看到，数据点没有落在线上。好的，我们还可以看看数据的参数估计值，如下所示。尺度参数为1，T50为6000。
	好的，我们现在有一个分析，但它并没有给我们一个非常令人满意的数据拟合，所以我现在要回到我的 PowerPoint 演示文稿
	这边。
	好的。
	这只是使用生存平台再次重复，我们在过去的 336 小时内没有看到新的故障，而在此之前的 336 小时内发生了 5 次故障。
	所以我们怀疑一个子群体可能有缺陷。如何在 JMP 中分析这个问题？事实证明
	我们实际上可以用最大似然法来求解我之前展示的模型中的参数。这只是对删失数据最大似然理论的一个简单扩展。
	最大似然方程的基本组成部分是 PDF f(t) 和 CDF F(t)，然而，只有一小部分 p
	总体容易受到 F(t) 模型故障机制的影响，那么 pF(t) 就是随机选择的组件在时间 t 前发生故障的概率。
	我之前举了 25% 和 40% 的死亡率的例子，给你 10% 的观察值。同样，
	随机选择的组件在精确时刻 t 发生故障的概率密度函数由 PDF 乘以 p 给出。
	因此，我们要做的就是使用为缺陷模型编写似然方程的规则，即在似然方程中 f 和 F 出现的位置用 pf（小 f）和 pF 代替。
	现在似然方程，第一类删失数据的标准方程，意味着我们有 n 个单位的压力。
	我们有 r 个故障发生在 T1、T2 时刻，一直到 T 子 r 时刻，剩余的 N 减 r 个单元被删失，并且幸存下来。这是该情形的似然方程，即第一类传感器数据。现在我们要
	只需用 fft 和 Kappa fft p 乘以 fft 即可处理缺陷模型，其中只有一小部分人口容易失败。
	n P 乘以 Kappa fft，显然，当您进行多次乘法时，您会将 r 的 p 取到外面。
	因此，ML 估计是 P 和总体参数的值，它们最大化
	似然方程，或者等效地最小化似然函数的对数，这是一个更容易处理的方程。事实证明，JMP 就是这样做的。JMP 的最大似然估计值
	寿命分布平台。我们再次使用这个原始表格，也就是我之前展示的9.5数据表，输入数据，如图所示，包括故障次数、审查员、频率，然后在这里进行修改。
	现在我们得到了这个输出，正如我提到的，这是一个非参数类型的输出。
	然后，当我们告诉 JMP 拟合所有非负类型分布时，即假设所有单元都可能失败，我们决定只使用对数正态类型分布，然后单击它。
	我们的输出以这种方式出现，这表明对数正态拟合较差。
	当我们查看概率和对数概率图时，对数正态拟合度再次很差，因此与数据的拟合度非常值得怀疑。
	好的，现在我们要使用 JMP 中一个强大的程序，叫做缺陷子群体拟合。我们不是拟合所有非负分布，而是拟合所有 DS 分布。
	DS 分布是使用最大似然方程来估计的缺陷子群体分布，而不仅仅是 CDF，
	模型，以及该模型中的p值。我们要做这个。让我们回到这里，好，进入JMP。
	回到这里我们的例子。
	好的，我们现在要从顶部开始，现在我们要做的就是
	将会对 JMP 做出反应，使其适合所有有缺陷的子群体分布。
	现在，哇，看看这个。
	我们现在有 JMP 为我们拟合有缺陷的亚群体对数正态类型模型。
	拟合效果非常好，我的意思是，它拟合得非常好。当我们进行非参数化……非参数化尺度时，我们发现我们有一个有效的模型。
	并让我们对现场预测充满信心……我们对预测的可靠性充满信心。如果我们继续下去。
	我们之前展示过对数正态参数估计，但如果我们在这里讨论 DS 对数正态，
	该模型现在显示，该群体的估计缺陷率约为15.8%。记得我们之前说过，当缺陷率达到15%左右时，就达到了饱和状态。
	尺度参数是 0.35，现在我们可以估算，使用分位数刻画器或分布刻画器，我们可以估算
	在给定时间点发生故障的概率，或者我们可以使用分位数分析器估计达到特定概率的时间点。
	但是，这个模型与其他模型之间的惊人差异确实非常显著，在后者中，我们没有假设存在有缺陷的亚群。
	所以，当你查看可靠性数据时，务必确定是否存在缺陷子群体，这一点非常重要。让我回到我的 JMP……
	我的 PowerPoint 演示文稿在这里。
	好的，当你选择拟合所有DS分布时，JMP会自动选择DS对数正态分布。我们检查了一下拟合效果，这个拟合效果非常非常好。
	参数估计如下所示，请注意，我们对该模型中的缺陷率、死亡率和死亡率的 T50 的参数估计有此估计，而死亡率的 Sigma 也显示在这里。
	现在好了。
	我希望 JMP 能够融入到寿命分布中，让我们能够测试并查看缺陷模型是否更好
	比假设所有单元都可能失效的模型更准确。如果某个可疑缺陷模型的 ML 估计值尚未计算出来，我们可以检验假设 P 等于 1。
	也就是说，相对于替代缺陷模型，不存在缺陷亚群。
	因此，这里是测试，让 L1 成为标准（无缺陷）模型的最小对数似然，让 L2 成为缺陷模型的最小对数似然。
	似然比检验统计量为 Lambda =2(L1-L2)。如果假设成立，也就是说，模型表明所有单元都可能失效，
	Lambda 近似于具有 1 个自由度的卡方分布。如果 Lambda 较大，那么我们选择一个卡方百分位数
	95%，那么我们得到的是 3.84，具有一个自由度，那么我们将拒绝标准模型并以 95% 的置信水平接受缺陷模型。
	因此，让我们回到 JMP 中的输出，JMP 实际上提供了此处对数似然的估计。
	好的，我想向您展示这里的 JMP 示例，您可以看到，对于对数正态，这是对数似然，307，对于缺陷子群体是 301，因此 JMP 会自动为您提供这些值。
	好的，回到这里。
	好的，当我们把这个检验统计量代入进去后，我们说 3.07 减 3.01 等于 6.1。现在 6.1 更大了
	大于卡方值 3.84，因此在这种情况下对于该示例 9.5，我们将拒绝表明一切都可能失败的标准模型，并且我们将以 95% 的置信度接受缺陷模型。
	现在，如果您想了解有关缺陷模型的更多信息，您可以谷歌搜索缺陷亚群和可靠性数据以获取更多信息。
	我实际上有一个案例研究，是我在一家公司工作时，最终解决了一个问题，它涉及到产品后续生产过程中的缺陷子群体，这个案例也被引用了。在可靠性文献中，
	这种模型也称为有限故障种群（LFP）模型。
	因此，在可靠性数据分析中，识别并考虑缺陷子群体（DS 模型）的存在对于获得无偏结果非常重要，而 JMP 的寿命分布平台能够使用视觉和 MLE 方法分析 DS 数据。
	参考文献在这里。我们在我的书中讨论了缺陷亚群；这本书是第三版，由Paul Tobias和我共同编写。
	这就是我之前提到的例子，我们使用缺陷子群体和加速测试来解决现场问题。Meeker 和 Escobar 也写了《可靠性数据的统计方法》，其中讨论了有限故障群体模型。
	谢谢大家，我也乐意回答任何问题。保重。

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