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결함 하위 집단 모델(2021-US-30MP-885)

David Trindade, STAT-TECH 설립자 겸 수석 컨설턴트

구성 요소 중 소수가 특정 고장 메커니즘에 매우 취약하다고 가정해 보겠습니다. 이러한 구성 요소는 신뢰성 측면에서 제조 결함으로 간주됩니다. 즉, 원래는 정상 작동했고 표준 최종 생산 라인 테스트 및 검사에서 손상으로 감지되지 않았지만, 단기간 사용 후 고장이 발생하는 것입니다. 나머지 구성 요소는 이 고장 메커니즘에 취약하지 않거나, 아마도 다른 원인으로 인해 훨씬 나중에 고장이 발생합니다.

때때로 현장 또는 수명 시험 데이터는 초기 고장 발생률을 보여 이러한 이중 모드 거동을 나타내며, 이는 개체군의 상당 부분이 고장 나기 훨씬 전에 거의 0으로 느려지는 것처럼 보입니다. 이러한 거동을 나타내는 좋은 모델이 결함 부분 개체군 모델(DS)입니다.

구성 요소의 모집단은 실제로 두 모집단이 혼합된 형태입니다. 하나는 신뢰성이 부족하여 초기에 고장이 발생하는 소규모 부분 모집단이고, 다른 하나는 마모 메커니즘으로 인해 나중에 고장이 발생할 가능성이 있는 나머지 구성 요소입니다. 마모 메커니즘은 시간이 훨씬 더 흐른 후에야 발견되는데, 이를 "불멸자"라고 합니다. 모집단의 일부(바람직하게는 작은!)가 초기 수명 고장 모델을 따르는 이 모델은 폭넓은 적용 가능성을 가지고 있습니다.

이 강연에서는 먼저 JMP의 Life Distribution 플랫폼을 사용하여 DS 옵션을 통해 데이터를 분석하는 방법을 설명하고, Life Distribution 플랫폼의 출력을 기반으로 결함이 있는 하위 집단이 있을 수 있다는 가설에 대한 간단한 검정을 적용하는 방법을 보여줍니다.

자동 생성된 대본...

스피커	성적 증명서
데이비드 트린다드	안녕하세요, 저는 데이브 트린다드입니다.
	저는 특히 JMP 활용에 대한 개인 컨설팅 및 교육을 담당하고 있으며, 제 회사는 STAT-TECH입니다. 오늘은 신뢰성 결함 모델에 대해 이야기해 보겠습니다.
	신뢰도 데이터를 분석할 때, 응력을 받는 모든 단위가 결국 특정 필터링 메커니즘에 의해 고장날 것이라는 일반적인 가정이 있습니다. 하지만 이러한 가정을 따르지 않는 것으로 보이는 신뢰도 데이터는 어떻게 처리해야 할까요?
	여기 예를 하나 들어보겠습니다. 신뢰성 스트레스 테스트를 한다고 가정해 보겠습니다. 100개의 장치를 1,000시간 동안 테스트합니다. 500시간 동안 30개의 고장이 발생했지만, 그 다음 500시간 동안은 테스트가 끝날 때까지 추가 고장이 발생하지 않았습니다.
	그럼 여기서 질문이 생깁니다. 남아 있는 70개 유닛을 가지고 1,000시간 이상 스트레스 테스트를 계속 진행한다고 가정해 보겠습니다.
	비슷한 실패 사례가 더 있었을까요, 아니면 전혀 없었을까요? 따라서 우리가 던지는 질문은, 우리가 두 개의 서로 다른 혼합된 모집단을 다루고 있는 것일까요, 아니면 데이터가 무작위로 움직이는 것일까요?
	두 번째 예는 대형 컴퓨터 제조업체의 수입 검사 테스트에서 나온 실제 데이터입니다.
	판독 데이터이고, 회사는 게이트 산화막 유형 고장을 조사하고 있었습니다. 판독 데이터는 장치를 주기적으로 테스트하는 데이터입니다. 0시간, 24시간, 48시간, 168시간, 500시간, 1000시간 단위로 테스트합니다.
	테스트에서 수행된 샘플 크기는 여기에 표시되어 있습니다. 58,133으로 시작했습니다.
	이런 일이 48시간 동안 계속되었고, 48시간 만에 검열된 유닛이라 불리는 많은 유닛이 테스트에서 제외되었습니다. 약 48,000개에 달합니다.
	검열된 장치는 판독 후 테스트에서 제거된 남은 장치이므로 10,000개의 장치가 168시간 동안 계속 작동했고 추가로 한 번의 고장이 발생했습니다.
	그리고 그 시점에서 8,000개가 더 제거되어 검열되었으며, 2,000개가 1,000시간까지 계속되고 500에서 0~168까지의 간격을 따라 1,000시간을 할 수 있었습니다.
	500시간이었습니다. 한 번 더 고장이 발생했고, 500시간에서 1,000시간 사이에 또 다른 고장이 발생했습니다. 그래서 1,000시간, 1,998대를 중도절단했습니다. 회사는 고장 분포가 로그 정규분포를 따른다고 가정했습니다.
	좋아요, JMP에서 로그 정규 분포를 가정하고 분석해 보겠습니다. 다중 중도절단(multi-censored)이라고 불리는 구간형 데이터가 있는데, 중도절단 지점이 많기 때문입니다.
	JMP 데이터 테이블은 오른쪽 그림과 같이 생성되며, 구성에 약간의 고민이 필요하지만, 여기서부터 시작해 보겠습니다. 두 개의 열이 있는데, 하나는 시작 열이고, 다른 하나는 구간의 끝을 나타내는 종료 열입니다.
	0에서 24시간까지 201개의 유닛, 불합격, 실패가 있었습니다. 하지만 이제 24시간에서는
	검열은 전혀 없었고, 24시간에서 48시간 사이에 두 번째 구간이 있었는데, 그때 23개의 유닛이 추가로 고장났습니다. 하지만 48시간 만에 우리는 스트레스에 시달리는 유닛의 상당 부분, 거의 48,000개를 제거했습니다.
	그리고 1만 대가 계속 작업할 수 있도록 했습니다. 48시간에서 168시간 사이에 그 1만 대 중 한 대가 불합격 판정을 받았고, 168시간 만에 7,999대를 제거했습니다. 다시 거의 8,000대가 된 셈입니다.
	이 데이터 표의 중도절단 지점은 빈 셀에 반영되어 있으며, 이것이 바로 여기 있는 것입니다. 즉, 이것이 중도절단 지점을 나타냅니다.
	그리고 169시간에서 500시간 사이에 남은 2,000대 중에 한 대의 추가 고장이 발생했습니다. 그리고 마지막으로 1,000시간까지 500시간 후에 한 대의 추가 고장이 발생했습니다.
	테스트가 끝난 후 검열된 단위는 1,998개였습니다.
	따라서 다중 검열 간격 유형 데이터의 이런 종류의 표에 데이터를 입력할 때 중요한 점은 검열된 관찰치를 처리하는 별도의 행을 설정해야 하고, 종료 지점은 빈 셀로 표시되어야 한다는 것입니다.
	이제 JMP에서 실행해 보겠습니다. 분석, 신뢰도 및 생존, 수명 분포를 선택하고 표시된 입력값을 입력하겠습니다. 시작 열과 종료 열을 함께 입력하고, 빈도 열도 입력합니다.
	우리가 사용하는 검열 코드는 검열된 관측치에 대해 0이었고, 이제 Wald 방법에서 우도법으로 변경할 예정입니다. 저는 우도법을 선호합니다.
	그리고 지금 제가 할 일은 JMP로 들어가는 것입니다.
	좋아요.
	그리고 분석을 한 후 슬라이드로 돌아오세요. 슬라이드를 여기로 축소해 보겠습니다.
	좋아요, 이게 주요 제조업체의 신뢰성 데이터입니다. 이렇게 데이터가 입력되었고, 제가 그 부분에 대해 말씀드렸습니다. 이제 신뢰성과 생존율, 그리고 수명 분포를 분석해 보겠습니다.
	좋아요, 여기 시작 열과 끝 열에 값을 넣고 빈도도 입력하겠습니다. 검열 기준은 0이고, 다시 우도법으로 변경하겠습니다. '확인'을 클릭합니다.
	좋아요, 이제 가정은 분포가 로그 정규 분포라는 것이었습니다. JMP는 여기서 비모수적 추정값을 제공합니다.
	로그 정규 분포를 클릭하면 비모수 척도, 즉 선형 척도가 여기 있습니다. 데이터를 살펴보면, 데이터 포인트가 적음에도 불구하고 모델에 잘 맞지 않는 것 같습니다. 선 위에 있는 포인트가 매우 적습니다.
	확률 플롯 스케일을 여기로 가져가면, 다시 같은 상황이 발생합니다. 이 모델은 모델이지만 데이터 포인트가 직선 위에 있지 않습니다. 여기서 또 하나 주목해야 할 점은 여기 매개변수 추정치를 볼 때 T50이
	는 e의 30승에 4.8을 곱한 값입니다.
	그리고 척도는 로그 정규 분포의 경우 약 25인데, 아주 아주 큰 숫자입니다. JMP는 또한 여기에 분위수 프로파일러를 제공합니다.
	0.5% 실패율에 도달하는 데 걸리는 시간을 추정하려고 합니다. JMP는 이 모델을 기반으로 약 535시간이 걸릴 것으로 예상합니다. 그렇다면 1% 실패율은 어떨까요? 0.01을 입력합니다.
	그리고 이제 거의 27만 3천 시간까지 늘어서 실패 횟수가 두 배로 늘어났습니다. 좀 이상한 상황이네요. 이제 슬라이드 프레젠테이션으로 돌아가 보겠습니다.
	좋아요.
	여기로 돌아와요.
	좋아요.
	이제 방금 살펴본 내용을 다시 살펴보겠습니다. 매개변수 추정치는 여기에 있고, 이건 선형 척도입니다.
	좋습니다. 이것이 우리의 확률 척도이고, 이러한 추정치를 매우 주의 깊게 살펴보시기 바랍니다.
	이 T50, 중간값, 그리고 척도. 음, 이것들을 조금 해석해 봅시다. T50은 E의 30승을 4.8배한 값입니다.
	시그마는 25입니다. 4.82 곱하기 E의 30승은 5.2E의 26승입니다.
	비교해 보면, 우주의 나이는 1.48E의 10승으로 추정됩니다.
	따라서 T50에 도달하려면 우주의 끝을 넘어야 하는데, 제 생각에는 이는 여기서 병적인 문제입니다.
	그리고 로그노멀 프로파일러는 0.5%의 고장에 도달하는 데 535시간이 걸리지만, 1%의 고장에 도달하는 데는 거의 300,000시간이 걸린다고 추정합니다.
	이건 다루기에 그다지 만족스러운 분포가 아닙니다. 좋아요, 그럼... 우리의 대안은 무엇일까요? 음, 우리의 대안은 결함 모델 관점에서 생각해 보는 겁니다.
	그리고 결함 모델은 기본적으로 필멸자와 불멸자를 대립시킵니다. 스트레스를 받는 모든 유닛이 결국 고장날 수 있다는 일반적인 가정과는 대조적입니다.
	결함이 부분 집단에 존재하는 경우, 결함을 포함하는 단위의 일부만이 실패에 취약할 수 있습니다.
	그리고 이들은 필멸자라고 불리는데, 실패할 수 있고 결함이 있기 때문입니다. 이제 유닛에 치명적인 결함이 없다면,
	그들은 그 실패 메커니즘 때문에 실패할 수 없고, 관찰된 원인 때문에 실패할 가능성도 없습니다. 그리고 이들은 불멸자라고 불리며, 불멸자도 결국에는 실패할 수 있지만, 아주 먼 미래에, 그리고 아마도 다른 이유로 실패할 가능성이 높습니다.
	그러면 여기 있는 데이터에 대한 결함 모델을 고려해 보겠습니다. 그리고, 제 생각에는 합리적인 가정을 해보겠습니다.
	이렇게 들어오는 검사 데이터를 살펴보면, 201, 23에서 불합격이 발생하고 그 이후로는 표본 크기가 줄어들었음에도 불구하고 불합격이 매우 적었습니다.
	그래서 우리는 실패의 거의 99%가 48시간 이내에 발생한다고 가정할 것입니다.
	알겠습니다. 그러면 우리가 처음에 기각한 표본 크기가...
	원래 58,000개 중 결함이 약 227개인데, 우리가 확인한 개수를 제외하려면 이 숫자를 0.99로 나누면 됩니다.
	따라서 실제로 치명적인 실패의 100%는 168시간 이내에 발생했으며, 그 이후의 실패는 결함이 있는 하위 집단과 관련이 없을 가능성이 높고, 예를 들어 유도된 취급으로 인한 것일 수 있다고 가정합니다.
	이제 JMP 테이블에 별도의 열을 설정하는 방법을 알아보겠습니다.
	결함이 있는 하위 집단을 갖는다는 개념을 포함합니다. 따라서 가능한 모델은 일부 필멸자 하위 집단을 의미하며, 결함은 제가 227페이지에서 말했듯이
	58,000개 중 약 0.39%, 즉 원래 샘플의 약 0.4% 미만에 결함이 있었습니다.
	그리고 이제 데이터 테이블에 Mortals 열을 추가하겠습니다. 보이는 것처럼요. 우리가 관찰한 거부 항목만 입력했습니다.
	그리고 저는 검열된 단위의 일부, 즉 이 매우 큰 인구가 여기에서 약간 가정합니다.
	48,000개 중 약 두 개에... 두 개 정도의 불합격 항목이 있었는데... 제거된 필멸자 항목이었습니다. 그리고 168에서 발생한 다른 실패 항목을 입력하면 불합격으로 처리하지만, 그 이후로는 실패가 전혀 발생하지 않습니다. 이제 JMP에서 이 부분을 분석해 보겠습니다.
	좋아요, 그리고 방금 보여드린 것처럼 필멸자의 빈도에 대한 별도의 열을 여기에 설정했습니다. 이제 여기로 와서 분석해 보겠습니다.
	신뢰성과 생존, 생명 분포. 좋아요, 시작-종료 거부 열을 가져오겠지만, 이제 그 안의 빈도에 필멸자 빈도를 사용할 겁니다. 검열 코드는 여전히 0이고, 다시 한번 가능성이 마음에 듭니다.
	확인을 클릭하면, 이렇게 나옵니다.
	데이터 포인트가 두 개뿐이지만, 좋습니다. 여기서는 로그 정규 분포 척도를 클릭하겠습니다.
	하지만 지금 우리의 T50을 살펴보면
	그리고 우리의 척도 매개변수에 따르면 T50은 현재 약 10.6시간입니다.
	알겠습니다. 규모는 약 0.6입니다. 사분위수 프로파일러를 보면, 약 0.5%의 고장을 확인하는 데 약 2시간이 걸리고, 약 1%의 고장을 확인하는 데는 약 2시간이 걸린다는 것을 알 수 있습니다.
	좋아요, 두 시간 조금 넘게 걸리네요. 이 값들은 훨씬 더 합리적인 유형 값들이고, 결함 모델을 구축하고 가정하는 데 있어 중요한 요소 중 하나입니다. 그러면 더 합리적인 결과를 얻을 수 있을 겁니다. 자, 이제 다시 돌아가 볼까요?
	파워포인트 프레젠테이션.
	좋아요, 이게 우리가 생명 분포에 대해 한 일을 요약한 겁니다. 직접 시간을 내어 살펴보고 싶으시다면, 이 부분을 살펴보실 수 있습니다. JMP 데이터 파일을 제공해 드리겠습니다.
	JMP 커뮤니티 게시판에. 좋아요, 그래서 결국 T50은 시그마 10포인트로 줄었어요. 전에는 엄청났었죠.
	시그마 0.68은 저희 추정치에서 매우 합리적인 유형 값입니다. 이 예시가 보여주는 것은 기본적으로 분석에서 필멸자와 불멸자를 고려하지 않으면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다는 것입니다.
	아시다시피, 결과가 매우 편향되어 있고 잘못된 가정은 결과에 큰 영향을 미칠 수 있으며 현장 신뢰성을 예상하는 경우
	결함이 있는 부품이 한정된 수로 존재할 가능성을 인식하고 고려하지 않는 한, 결과는 매우 편향될 수 있습니다.
	결함이 있는 부분 집단을 어떻게 발견할 수 있을까요? 아주 쉬운 방법 중 하나는 그래픽 분석입니다.
	특정 고장 모드가 로그 정규 분포를 따른다고 가정해 보겠습니다. 로그 정규 확률 그래프를 사용하여 데이터를 표시합니다. 직선을 따르는 대신,
	점이 누적 백분율 축에서 멀어지는 것처럼 보이는 경우 결함이 있는 하위 집단이 존재할 수 있다는 신호입니다.
	그리고 테스트가 충분히 오랫동안 실행되면 플롯이 누적 백분율 선에 점근적으로 구부러질 것으로 예상합니다.
	샘플 내 결함 비율입니다. 그러니까 제가 말하고자 하는 건, 여기 확률 도표가 있다는 겁니다. 모든 것이 고장날 수 있다는 가정 하에 말이죠.
	그리고 어느 시점에서는... 기본적으로 정지점에 도달하게 되는데, 스트레스를 받는 단위에서 아무리 시간을 늘려도 더 이상 추가 오류가 발생하지 않습니다. 이 지점은 모델에서 누적된 결함 백분율을 나타냅니다.
	좋습니다. 이제 사망 인구의 하위 집단을 살펴보고 해당 데이터를 표시하면 적합 분포 모델을 뒷받침하는 직선 적합을 얻을 수 있습니다.
	좋아요, 그럼 우리가 말하는 모델은 정확히 무엇일까요? 우리가 관찰하는 것은 기본적으로 모델의 누적 분포 함수(CDF)에 해당 모집단 내 모델의 비율인 P를 곱한 것입니다.
	예를 들어, 인구 중 25%가 필사자이고 그 당시 필사자 CDF가 40%가 실패자라면,
	그러면 시간 T에서 전체 샘플에서 관찰될 것으로 예상되는 것은 전체 샘플의 약 10%(.25 x .4)입니다.
	좋아요, 이제 이 문제를 좀 더 자세히 설명하는 또 다른 예를 들어보겠습니다. 이 예제는 JMP가 불량 하위 집단을 분석하는 데 얼마나 강력한지 실제로 보여줍니다. 반도체... 반도체 모듈의 경우, 소수의
	밀폐형 모듈의 경우 케이스 내부에 습기가 갇힐 수 있으며, 이로 인해 이러한 장치가 조기에 고장날 수 있는 고장 메커니즘이 발생할 가능성이 높아집니다.
	그리고 우리가 하고 싶은 것은 이러한 실패에 적합한 수명 분포 모델을 적용하는 것입니다.
	이제 테스트 부품은 정상적인 제조 공정에서 결함이 발생할 수 있는 습기를 둘러싸는 가능성을 크게 높이기 위해 특별히 제작되었으며 그런 다음 100개를 선택했습니다.
	해당 유닛에서 무작위로 부품을 추출하여 2,000시간 동안 스트레스 테스트를 진행했습니다. 15건의 고장이 관찰되었고, 고장 발생 시점은 다음과 같습니다. 테스트가 끝날 때까지 85개의 유닛이 여전히 작동했습니다. 네, 이 결과는 중간 처리된 관찰 결과입니다.
	이제 정확한 고장 시간과 단일 중도절단 시간이 있으므로, 이 시간들을 다음과 같이 JMP 데이터 테이블에 입력합니다. 열에 시간을 입력했습니다.
	그리고 중도절단 관찰값을 입력했습니다. 중도절단이 없는 경우 1, 중도절단이 있는 경우 0입니다. 그리고 해당 시점에 발생한 고장 횟수인 빈도를 입력했습니다. 하지만 2,000시간에서는
	우리는 중도절단 코드를 하나도 사용하지 않았고, 85개의 유닛이 아직 살아있습니다. 좋아요, 이제 JMP 데이터 테이블이 생겼습니다.
	이제 그래프를 보여주고 싶은데, 기존 플랫폼을 사용할 예정입니다.
	분석, 신뢰성, 생존을 선택하고, 이번에는 생명 분포 대신 생존을 사용할 것입니다.
	따라서 수명 분포에서 했던 것과 비슷하게 그림과 같이 기둥을 그려 보겠습니다. 고장 시간을 입력하겠습니다. 이 값은 정확한 고장 시간입니다.
	검열된 관찰 열과 빈도 열에 값을 넣을 겁니다. 생존 대신 실패를 표시할 겁니다. 그리고 아주 중요한 건, 검열 코드를 0으로 변경했다는 겁니다. 자, 이제 시작해 볼까요? 좋아요, 여기 위쪽에 있습니다. 이 녀석을 닫겠습니다.
	그리고 우리는 더 이상 이 사람이 필요하지 않으므로 내가 여기로 올라와서
	이 사람도 막아내세요.
	좋아요, 여기 결함 모델을 살펴보겠습니다. 여기가 고장 시간, 검열, 그리고 빈도입니다. 위쪽으로는 분석을 하고, 아래쪽으로는 신뢰성과 생존을 다루겠습니다. 하지만 수명 분포 대신 생존을 다루겠습니다.
	좋아요, 실패 시간도 입력했어요.
	검열 횟수, 검열 열, 빈도에 값을 입력했습니다. 여기서는 검열 코드를 0으로 변경했습니다.
	생존 대신 실패를 계획하겠습니다. 확인을 클릭하세요.
	이제 줄거리가 있으니... 이걸 조금 개선해 보도록 하겠습니다.
	여기서 좀 더 자세히 살펴보죠...
	바로 거기입니다. 좋습니다. 여기에 재미 삼아 격자선을 몇 개 추가해서 해석하기 쉽게 만들겠습니다. 그리고 여기 격자선에도 같은 작업을 하겠습니다.
	좋아요. 그렇다면 이 데이터에서 무엇을 알 수 있을까요? 불멸 인구가 존재할 수 있다는 신호죠. 유닛들이 CDF에 대해 상당히 선형적인 형태의 플롯을 따르는 것을 확인했습니다.
	그리고 마지막 장애는 약 2,000시간 전에 발생했는데, 실례합니다. 마지막 장애는 약 1,700시간 전에 발생했는데, 실제 데이터 포인트는 1,664시간 전이었던 것 같습니다.
	그 마지막 실패 이전 300시간 동안 5개의 실패가 있었지만 500개부터... 실제로는 1664시간부터는
	300시간... 336시간 동안 아무런 실패도 없었습니다. 그러니까 제가 여기서 말하고자 하는 요점은, 우리는 어떤 종류의
	여기 실패의 포화점은 이 300시간 기간과 동일하며,
	이 300시간 동안 5번의 실패가 있었고 그 다음 336시간 동안은 실패가 없었으므로 지금은 실패가 없을 것으로 추측합니다.
	이 곡선이 계속되었다면 예상했을 추가 고장이 발생하지 않았기 때문에 결함 하위 집단이 있을 가능성이 있습니다. 좋습니다. 이제 여기서 시작해 보겠습니다.
	JMP에서 수명 분포 프로그램을 사용하는 방법을 살펴보겠습니다. 좋아요, 여기 신뢰성과 생존, 수명 분포로 가서, 이제 실패 시간을 입력해 보겠습니다.
	좋아요, 정확히 그 시간에요. 검열란에 빈도를 적어볼게요.
	그러면 검열 코드는 0이 됩니다. 다시 가능성입니다.
	확인을 클릭합니다.
	자, 여기 있는 것은 데이터의 비모수적 그림입니다. JMP는 이 데이터에 적용할 수 있는 다양한 분포를 제공합니다. 여기서 더 나아가서, 신뢰도 분포는 음수가 아니므로 모든 비음수 분포를 적용하는 것을 고려해 보겠습니다.
	JMP가 나와서 일반화 감마 1을 제공합니다. 하지만 저는 일반화 감마는 사용하지 않을 겁니다. 원래 계획했던 로그 정규분포를 사용할 테니까요.
	데이터 분석을 위해서요. 그리고 여기서 볼 수 있듯이, 일반화된 감마와 크게 다르지 않습니다.
	AICc 유형 기준에 대한 로그 정규 분포를 보면 데이터가 잘 맞지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 데이터 포인트가 선의 한쪽 위에 많이 있습니다. 로그 정규 분포 척도를 사용하면, 네, 여기,
	데이터 포인트가 일직선상에 있지 않다는 것을 다시 한 번 확인할 수 있습니다. 네, 여기 보시는 것처럼 데이터의 모수 추정치도 살펴볼 수 있습니다. 척도 모수는 1이고 T50은 6,000입니다.
	좋습니다. 지금 당장은 데이터에 대한 만족스러운 적합성을 제공하지 않는 분석이 있으므로 이제 PowerPoint 유형 프레젠테이션으로 돌아가겠습니다.
	여기로요.
	좋아요.
	이는 생존 플랫폼을 사용하여 다시 반복하는 것일 뿐입니다. 지난 336시간 동안 새로운 실패가 발생하지 않은 반면, 그 이전 336시간 동안에는 5번의 실패가 발생했습니다.
	그래서 우리는 결함이 있는 부분 집단이 있을 가능성이 있다고 의심합니다. JMP에서 이를 어떻게 분석할까요? 음, 다음과 같습니다.
	실제로 제가 보여드린 모델의 매개변수를 최대우도법을 사용하여 구할 수 있습니다. 이는 중도절단된 데이터에 대한 최대우도 이론을 간단히 확장한 것입니다.
	최대 가능도 방정식의 기본 구성 요소는 PDF f(t)와 CDF F(t)이지만 p의 일부만 있습니다.
	인구의 퍼센트가 F(t)로 모델링된 실패 메커니즘에 취약한 경우, pF(t)는 무작위로 선택된 구성 요소가 시간 t까지 실패할 확률입니다.
	25%와 40%의 사망률을 예로 들어 10%의 관찰 결과를 보여드렸습니다. 마찬가지로,
	무작위로 선택된 구성 요소가 정확한 순간 t에서 실패하는 경우 PDF에 p를 곱한 값으로 주어집니다.
	따라서 결함 모델의 우도 방정식을 작성하는 규칙을 사용하여 우도 방정식에 f와 F가 나타나는 모든 곳에 pf(소문자 f)와 pF를 대입합니다.
	이제 1형 검열 데이터에 대한 표준 방정식인 우도 방정식은 스트레스에 대한 단위가 n개라는 것을 의미합니다.
	정확한 시간 T1, T2에서 T sub r까지 r개의 고장이 발생하고, 나머지 N에서 r개는 검열되어 생존합니다. 이것이 해당 상황에 대한 우도 방정식이며, 1형 센서 데이터입니다. 이제 다음을 구현해 보겠습니다.
	단지 fft와 카파 fft를 p 곱하기 fft로 대체하여 전체 인구의 일부만이 실패할 수 있는 결함 모델을 처리할 수 있는 방정식입니다.
	n P 곱하기 카파 fft, 그리고 당연히 여러 번 곱할 때는 p의 r을 밖으로 빼야 합니다.
	따라서 ML 추정치는 P 값과 모집단 매개변수이며 이를 최대화합니다.
	우도 방정식, 또는 동등하게 우도의 로그를 뺀 값을 최소화하는 방정식을 사용하면 더 쉽게 계산할 수 있습니다. 그리고 JMP가 바로 그렇게 합니다. JMP는 최대 우도 추정값을
	생명 유통 플랫폼입니다. 다시 한번 말씀드리지만, 원래 테이블인 9.5 데이터 테이블을 사용해서, 앞서 보여드린 대로 데이터를 입력하고, 실패 시간, 검열관, 빈도를 입력한 후, 여기에 변경 사항을 적용합니다.
	그리고 이제 우리는 앞서 언급했듯이 비모수적 유형의 출력을 얻었습니다.
	그리고 JMP에 모든 비음수 유형 분포를 맞추라고 지시했을 때(모든 단위가 실패할 수 있다는 가정 하에) 우리는 로그 정규형 분포만 사용하기로 결정하고 그것을 클릭했습니다.
	우리의 출력은 이런 식으로 나타났는데, 이는 로그 정규 적합성이 낮음을 보여줍니다.
	확률과 로그 숫자의 확률 분포를 살펴보면, 로그 정규 적합도는 다시 낮아서 데이터에 대한 적합성이 매우 의심스럽습니다.
	좋습니다. 이제 JMP에서 Defective Subpopulations Fit이라는 강력한 프로그램을 사용해 보겠습니다. 모든 비음수 분포를 적합하는 대신, 모든 DS 분포를 적합해 보겠습니다.
	DS 분포는 CDF뿐만 아니라 최대 가능도 방정식을 사용하여 추정하는 결함이 있는 하위 모집단 분포입니다.
	모델 자체뿐만 아니라 해당 모델의 p 값도요. 그럼 그걸 해 볼게요. 자, JMP로 돌아가 볼까요?
	여기의 예로 돌아가 보겠습니다.
	좋습니다. 그러면 우리는 여기 맨 위로 올라가겠습니다. 이제 우리가 할 일은 다음과 같습니다.
	JMP가 모든 결함 있는 부분 모집단 분포에 적합하다고 말할 겁니다.
	그리고 이제, 와우, 저걸 보세요.
	이제 JMP를 사용하여 결함이 있는 부분 모집단 로그 정규형 모델에 맞게 조정할 수 있습니다.
	그리고 그 적합성은 놀랍습니다. 정말 훌륭하게 적합하죠. 그리고 비모수적 척도로 가보면, 이제 제대로 작동하는 모델이 있다는 것을 알 수 있습니다.
	현장 예측에 자신감을 주고... 신뢰성에 대한 예측도 할 수 있게 해줍니다. 그리고 여기로 내려가면...
	우리는 이전에 로그 정규 매개변수 추정치를 보여드렸지만, 여기 DS 로그 정규로 내려가면,
	이 모델은 현재 해당 모집단의 추정 불량률이 약 15.8%라고 말하고 있습니다. 15% 정도에서 포화 상태가 발생했다는 점을 기억하세요.
	척도 매개변수는 .35이고 이제 우리는 분위수 프로파일러나 분포 프로파일러를 사용하여 추정할 수 있는 능력을 갖게 되었습니다.
	특정 시점에서 실패할 확률을 알 수 있고, 분위수 프로파일러를 사용하여 특정 확률에 도달한 시점을 추정할 수도 있습니다.
	하지만 이 모델과 다른 모델 사이에는 놀라운 차이가 있습니다. 다른 모델에서는 결함이 있는 하위 집단이 있다고 가정하지 않았는데, 정말 극적입니다.
	따라서 신뢰도 데이터를 살펴볼 때, 결함이 있는 부분 모집단이 있는지 확인하는 것이 중요한 고려 사항입니다. JMP로 돌아가서...
	제 파워포인트 프레젠테이션은 여기 있습니다.
	좋아요, 모든 DS 분포를 적합하도록 선택했을 때 JMP는 자동으로 DS 로그 정규 분포를 선택했습니다. 적합도를 살펴봤는데, 매우 훌륭했습니다.
	아래에 표시된 것과 같이 매개변수 추정치가 있으며, 해당 모델의 불량률에 대한 매개변수 추정치, 사망률 및 사망률의 T50이 여기에 표시되어 있고, 사망률에 대한 시그마도 여기에 표시되어 있습니다.
	좋아요.
	JMP가 수명 분포에 통합되기를 바라는 추가 기능은 결함 모델이 더 나은지 테스트하고 확인할 수 있는 기능입니다.
	모든 단위가 고장날 수 있다고 가정하는 모델보다 더 정확합니다. ML 추정치가 의심스러운 결함 모델에 대해 계산되지 않았다면 가설 P가 1이라는 것을 검정할 수 있습니다.
	즉, 대체 결함 모델과 비교했을 때 결함 하위 집단은 존재하지 않습니다.
	그럼 테스트를 해볼까요. L1을 표준(결함이 없는) 모델에 대한 최소 로그 가능도라 하고, L2를 결함 모델에 대한 최소 로그 가능도라 합시다.
	우도비 검정 통계량은 람다 = 2(L1-L2)입니다. 가설이 참이라면, 즉 모형은 모든 단위가 실패할 수 있다고 말합니다.
	람다는 대략 자유도가 1인 카이 제곱 분포를 가질 것입니다. 람다가 더 크다면, 카이 제곱 백분위수를 선택해 보겠습니다.
	95%의 신뢰수준에서 자유도 1인 3.84가 나오면 표준모형을 기각하고 결함모형을 95% 신뢰수준에서 수용하게 됩니다.
	그러면 JMP의 출력으로 돌아가 보겠습니다. JMP는 실제로 여기의 로그 가능도에 대한 추정치를 제공합니다.
	알겠습니다. 여기 JMP 예제에서 로그 정규 분포의 로그 우도비는 307이고, 불량 부분 모집단의 로그 우도비는 301입니다. 따라서 JMP에서는 이러한 값을 자동으로 제공합니다.
	좋아요, 다시 여기로 돌아오세요.
	좋아요, 그리고 그 검정 통계량을 대입하면 3.07에서 3.01을 빼면 6.1이 됩니다. 이제 6.1이 더 큽니다.
	카이제곱 값이 3.84보다 크므로 이 예시의 경우 9.5에 대해 모든 것이 실패할 수 있다고 말하는 표준 모델을 기각하고 95% 신뢰도에서 결함 모델을 수용하게 됩니다.
	결함 모델에 대한 추가 정보가 필요하다면 결함 있는 하위 집단과 신뢰도 데이터를 구글에서 검색하면 더 많은 정보를 얻을 수 있습니다.
	그리고 실제로 제가 한 사례 연구가 있는데요, 제가 한 회사에서 일할 때 해결했던 문제인데, 현장에 있는 불량 하위 집단의 생산과 관련된 문제였는데, 그것도 참고 자료로 나와 있습니다. 신뢰성 관련 문헌에는
	이러한 모델을 제한된 실패 인구(LFP) 모델이라고도 합니다.
	따라서 신뢰성 데이터 분석에서 편향되지 않은 결과를 얻으려면 결함이 있는 하위 집단(DS 모델)의 존재를 인식하고 고려하는 것이 중요하며, JMP의 수명 분포 플랫폼은 시각적 방법과 MLE 방법을 모두 사용하여 DS 데이터를 분석할 수 있는 기능을 갖추고 있습니다.
	참고 문헌은 여기에 있습니다. 제 책에서 결함 있는 하위 집단에 대해 다루었는데, 폴 토비아스와 제가 함께 집필한 『응용 신뢰성(Applied Reliability)』 3판에 실려 있습니다.
	제가 말씀드린 예시가 바로 이것입니다. 결함 있는 부분 모집단과 가속 검정을 사용하여 현장 문제를 해결하는 방식입니다. 그리고 Meeker와 Escobar는 "신뢰도 데이터를 위한 통계적 방법"이라는 책에서 제한된 실패 모집단 모델에 대해 설명합니다.
	그러니 감사드리고, 궁금한 점이 있으면 언제든 질문 주세요. 건강하세요.

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