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欠陥サブポピュレーションモデル（2021-US-30MP-885）

STAT-TECHの創設者兼チーフコンサルタント、David Trindade氏

部品群のうち、ごく一部が特定の故障メカニズムの影響を非常に受けやすいとします。これらの部品は信頼性の観点から製造上の欠陥であると仮定します。つまり、当初は正常に動作し、標準的な最終工程の試験や検査では損傷として検出されないものの、短期間の使用で故障するのです。残りの部品群は、この故障メカニズムの影響を受けないか、あるいは、おそらくは別の原因で、ずっと後になって故障することになります。

時折、フィールドテストや寿命試験のデータから、故障発生の初期段階において、故障が集団のかなりの割合で発生するずっと前に、ほとんど発生しなくなるように見える現象が見られるなど、この二峰性挙動が示されることがあります。この種の挙動をうまくモデル化できるのが、欠陥集団モデル（DS）です。

部品の母集団は、実際には2つの母集団の混合体です。1つは信頼性に欠陥があり、早期に故障する小さな母集団、もう1つは摩耗メカニズムによって後になって故障する可能性のある残りの部品（「不滅部品」と呼ばれます）です。母集団の一部（できれば少数）が早期故障モデルに従うこのモデルは、幅広い適用範囲を持っています。

この講演では、まず、JMP の Life Distribution プラットフォームで DS オプションを使用してデータをフィッティングし、そのようなデータをどのように分析できるかを説明し、次に Life Distribution プラットフォームの出力に基づいて欠陥のあるサブポピュレーションが存在する可能性があるという仮説の簡単なテストを適用する方法を説明します。

自動生成されたトランスクリプト...

スピーカー	トランスクリプト
デビッド・トリンダーデ	こんにちは。デイブ・トリンダーデです。
	私はSTAT-TECHという会社で、特にJMPの活用に関するプライベートコンサルティングとトレーニングを行っています。今日は信頼性欠陥モデルについてお話します。
	信頼性データを分析する際には、特定のフィルタリング機構において、ストレスを受けたすべてのユニットが最終的に故障するという共通の仮定が用いられます。しかし、この仮定に従わない信頼性データはどのように扱えばよいのでしょうか？
	例を挙げましょう。信頼性ストレステストを実施し、100個のユニットを1,000時間稼働させたとします。500時間経過時点で30個の故障が確認されましたが、その後の500時間、つまりテスト終了までの間には故障は発生しませんでした。
	ここで疑問が生じます。生き残った70機を取り出し、1000時間を超えてストレステストを継続したと仮定します。
	同様の失敗は他にもあったでしょうか、それとも失敗はなかったでしょうか？ つまり、私たちが問うているのは、2つの異なる混合集団を扱っているのか、それともデータが単にランダムに動いているだけなのかということです。
	2 番目の例は、大手コンピュータ メーカーの受入検査テストの実際のデータです。
	これは読み出し型のデータで、同社はゲート酸化膜型の故障を調査していました。読み出し型データとは、ユニットを定期的にテストしたデータで、0時間、24時間、48時間、168時間、500時間、1000時間といった時間で測定されます。
	テストで実施されたサンプルのサイズはここに表示されており、最初は 58,133 でした。
	そしてそれは 48 時間まで続き、48 時間で、検閲ユニットと呼ばれる大量のユニットが約 48,000 個テストから削除されました。
	検閲対象ユニットとは、読み出し後にテストから除外された生き残ったデバイスであるため、10,000 個のユニットが 168 時間テストを継続し、さらに 1 つの障害が発生したことになります。
	そして、その時点でさらに8,000人が削除され、検閲され、2,000人が1,000時間まで継続され、500から0から168までの間隔で1,000時間が実施されました。
	500時間後、さらに1件の故障が発生し、500時間から1000時間の間にも別の故障が発生しました。そのため、最終的に1000時間、1998台で打ち切りとなりました。会社は故障分布が対数正規分布であると仮定しました。
	さて、これをJMPで分析するとします。対数正規分布を仮定します。これは、打ち切り点が多数あるため、いわゆる多重打ち切りと呼ばれる区間型データです。
	JMPデータテーブルは右図のように作成されています。作成には少し手間がかかりますが、まずはここから始めましょう。列は2つあり、1つは開始列、もう1つは区間の終了を表す終了列です。
	0から24までの期間では、201個の不良品がありました。しかし、24時間後には
	打ち切りはありませんでした。そして24時間から48時間にかけて、さらに23個のユニットが故障しました。しかし48時間後には、ストレス下にあるユニットの大部分、約48,000個を除去しました。
	その後、1万台はそのまま出荷されました。そして、48時間から168時間の間に1台が不合格となり、168時間後には7,999台が廃棄され、再び約8,000台になりました。
	このデータ テーブル内の打ち切りポイントは空白セルに反映されており、ここに表示されているのが打ち切りポイントを表しています。
	そして169時間から500時間の間に、残った2000台のうち1台が故障しました。そして最終的に1000時間まで、500時間経過後にさらに1台故障しました。
	テストの最後に検閲されたユニットは 1,998 個残りました。
	したがって、このような複数の打ち切り間隔タイプのデータ用のテーブルにデータを入力する際の重要な点は、打ち切り観測を扱う別の行を設定する必要があり、エンドポイントは空白セルで表されるということです。
	では、これをJMPで起動してみましょう。分析、信頼性と生存、寿命分布を選択し、表示されている入力値を入力します。開始列と終了列を両方入力し、さらに度数列を入力します。
	私たちが使用している打ち切りコードは、打ち切り観測値に対してゼロでしたが、これをワルド法から尤度法に変更します。私は尤度法を使うことを好みます。
	これから JMP に入ります。
	わかった。
	分析をしてからスライドに戻ってください。スライドをここで縮小します。
	これは大手メーカーの信頼性データです。データの入力方法も説明しました。ここから信頼性と生存率、寿命分布を分析していきます。
	では、こちらに開始列と終了列を入力し、頻度を入力します。検閲コードは0です。ここでも尤度法に変更します。「OK」をクリックします。
	さて、分布は対数正規分布であると仮定しました。JMPはここでノンパラメトリック推定値を提供します。
	対数正規分布をクリックすると、こちらにノンパラメトリックスケールと線形スケールが表示されます。データを確認すると、データポイントは少ないものの、モデルにあまり適合していないように見えます。直線上にあるポイントが非常に少ないのです。
	こちらで確率プロットスケールに切り替えてみると、やはり同じ状況になります。これはモデルですが、データポイントは直線上にありません。ここでもう一つ注目したいのは、こちらでパラメータ推定値、T50を見てみると、
	eの30乗の4.8倍です。
	対数正規分布のスケールは約25で、これは非常に大きな数値です。JMPには分位点プロファイラーも用意されており、例えば
	0.5%の故障に至るまでの時間を推定しようとしています。JMPはこのモデルに基づいて、約535時間かかると示しています。では、1%の故障はどうでしょうか？0.01と入力します。
	そして今、故障数を倍増させるのに約27万3000時間もかかっています。これはちょっと変な状況なので、スライドのプレゼンテーションに戻りましょう。
	わかった。
	ここに戻って。
	わかった。
	これは先ほど説明したことを復習するものです。ここにパラメータ推定値があり、これが線形スケールです。
	さて、これが私たちの確率スケールです。これらの推定値を注意深く見てください。
	このT50、中央値、そしてスケールです。では、これらを少し解釈してみましょう。T50はEの30時間後の4.8倍です。
	シグマは 25 です。4.82 の E の 30 乗は 5.2E の 26 乗になります。
	比較すると、宇宙の年齢は 1.48E の 10 乗年であると推定されます。
	つまり、T50 に到達するには、宇宙の果てを超える必要があり、私にとっては、これは病的な問題です。
	また、対数正規プロファイラーは、0.5% の障害に達するには 535 時間かかると推定しますが、1% の障害に達するにはほぼ 300,000 時間かかります。
	これは扱いにくい分布です。では、他に何が考えられますか？ 代替案としては、欠陥モデルという観点から考える方法があります。
	そして欠陥モデルは、基本的に死すべき者と不死の者を対立させるものです。ストレスを受けたすべてのユニットが最終的には故障する可能性があるという一般的な仮定とは対照的に
	欠陥のサブポピュレーションが存在する場合、欠陥を含むユニットの一部のみが故障の影響を受ける可能性があります。
	これらは「モータル」と呼ばれます。なぜなら、故障する可能性があり、欠陥を抱えているからです。もしユニットに致命的な欠陥がなければ、
	それらの故障メカニズムでは故障することはなく、観測された原因では故障の影響を受けにくい。これらは不滅体と呼ばれ、最終的には故障することもあるが、それは非常に遠い将来であり、おそらく他の理由による。
	それでは、ここにあるデータの欠陥モデルを検討し、妥当と思われる仮定をいくつか立ててみましょう。
	この入荷検査データを見ると、不合格品は 201、23 で発生しており、その後はサンプル サイズが縮小されたにもかかわらず、不合格品はほとんどなかったことがわかります。
	そこで、ほぼ 99% の障害が 48 時間以内に発生したと仮定します。
	わかりました。つまり、最初に拒否するサンプル サイズが何であるかを暗示していることになります...
	元の 58,000 個の欠陥数は約 227 個です。これを 0.99 で割ると、確認された数が除外されます。
	したがって、致命的な故障のほぼ 100% は 168 時間以内に発生しており、それ以降の故障は欠陥のあるサブポピュレーションとは関係がなく、たとえば取り扱いによって誘発された可能性があると想定します。
	それではJMPテーブルに別の列を設定してみましょう
	欠陥のある集団が存在するという考えを取り入れたモデルです。つまり、考えられるモデルは、死亡率の高い集団と、先ほど言ったように227の欠陥を示唆することになります。
	58,000 個のうち、約 0.39% なので、この元のサンプルのユニットの約 0.4% 未満に欠陥があったことになります。
	次に、図に示すように、データ テーブルに Mortals 列を追加します。ここでは、観察した拒否を入力するだけです。
	ここで私は、検閲されたユニットの一部、つまりこの非常に大きな人口が
	48,000個のうち、約2個には不合格品、つまり除去された致命的な欠陥が含まれています。そして、168番で発生したもう一つの欠陥を不合格品として扱います。しかし、それ以降は欠陥は発生していません。それでは、JMPで分析してみましょう。
	先ほどお見せした「死者の頻度」の列をこちらに用意しました。それでは、ここで分析してみましょう。
	信頼性と生存率、そして寿命分布。さて、開始列と終了列を取り込んで、頻度には死亡頻度を使用します。検閲コードは依然としてゼロで、ここでも尤度を使用します。
	「OK」をクリックすると、こうなります。
	データ ポイントは 2 つだけですが、問題ありません。ここでは、対数正規スケールをクリックします。
	しかし、T50を見てみると
	スケールパラメータでは、T50 は現在約 10.6 時間であることがわかります。
	はい、スケールは約0.6です。四分位プロファイラーを見ると、約0.5%の故障を確認するには約2時間かかり、約1%の故障を確認するには約2時間かかることがわかります。
	2時間ちょっとかかりましたね。これらははるかに妥当な型の値で、これは欠陥モデルと仮定の根拠の一つであり、より納得のいく結果を得ることができます。それでは、先ほどの
	PowerPoint プレゼンテーション。
	これは、私たちが行った生命分布の解析結果です。もしご自身でじっくりと時間をかけてご覧になりたい場合は、ぜひご覧になってみてください。JMPのデータファイルもお渡しします。
	JMPコミュニティボードで。さて、以前は法外な数値だったT50が、今では10ポイントシグマになりました。
	シグマは0.68で、これは私たちの推定値としては非常に妥当な値です。つまり、この例が示しているのは、死すべき者と不死者を分析に考慮しない場合、次のようになるということです。
	ご存知の通り、結果に偏りが見られ、誤った仮定は結果に大きな影響を与える可能性があり、現場の信頼性を予測する場合
	限られた数の欠陥ユニットの存在、あるいはその存在の可能性を認識して考慮に入れなければ、結果は大きく偏る可能性があります。
	欠陥のある集団をどうやって見つけるのでしょうか？ そうですね、非常に簡単にできる方法の一つは、グラフ分析です。
	特定の故障モードが対数正規分布に従うと仮定しましょう。対数正規分布の確率プロットを用いてデータをプロットします。直線ではなく、
	点が累積パーセント軸から離れて曲がっているように見える場合、欠陥のあるサブポピュレーションが存在する可能性があるという信号です。
	そして、テストが十分に長く実行された場合、プロットは漸近的に累積パーセント線に曲がることが予想されます。
	サンプル中の欠陥の割合です。つまり、これは確率プロットです。これは、あらゆるものが故障する可能性があると仮定した場合のものです。
	そして、ある時点で、ストレスがかかっているユニットの時間をどれだけ増やしても、それ以上の故障が発生しない、基本的に停止点に達します。そのポイントは、モデルの累積欠陥率を表します。
	さて、死亡者サブポピュレーションだけを見てそのデータをプロットすると、適合分布モデルをサポートすることが予想される直線近似が得られます。
	さて、ここで実際に話しているモデルとは何でしょうか？私たちが観察しているのは、基本的にモデルのCDF（累積分布関数）に、その母集団内のモデルの割合であるPを乗じたものです。
	例えば、人口の25%が死亡し、その時の死亡CDFが40%の失敗だった場合、
	そうすると、サンプル全体で観測されると予想されるのは、時間 T におけるサンプル全体の約 10% (.25 x .4) になります。
	さて、ここでもう少し詳しく説明する別の例を挙げましょう。これはJMPが不良品のサブポピュレーションを分析する能力を実際に示すものです。半導体モジュールの一種では、ごく一部の不良品が
	密閉されたモジュールの場合、ケース内に湿気が閉じ込められる可能性があり、これにより、これらのユニットが早期に故障する原因となる故障メカニズムの可能性が高まります。
	私たちがやりたいのは、これらの故障に適切な寿命分布モデルを当てはめることです。
	試験部品は、通常の製造工程で欠陥になりやすい水分を封じ込める可能性を大幅に高めるように特別に作られ、100個が選ばれました。
	これらのユニットからランダムに部品を取り出し、2,000時間のストレステストを実施しました。その結果、15件の故障が確認されました。故障発生時刻は以下の通りです。テスト終了時には、85件のユニットがまだ動作していました。これは打ち切り観測です。
	正確な故障時間と単一の打ち切り時間があるので、これらの時間をJMPデータテーブルに次のように入力します。列に時間を入力します。
	次に、打ち切り観測値を入力します。打ち切りなしの場合は1、打ち切りの場合は0です。そして、その時点で発生した故障の数、つまり頻度を入力します。しかし、2,000時間では
	打ち切りコードはゼロで、85ユニットが生き残っています。さて、これでJMPデータテーブルができました。
	ここでは、私が表示したいグラフが表示されるため、ある種のレガシー プラットフォームを使用します。
	分析、信頼性、生存率を選択し、今回は寿命分布ではなく生存率を使用します。
	寿命分布のときと同じように、図のように列を作成します。故障時間を入力します。これは正確な故障時間です。
	打ち切り観測列と頻度列にデータを入力します。生存率ではなく失敗率をプロットし、そして非常に重要な点として、打ち切りコードをゼロに変更しました。それでは、これを実行してみましょう。さて、ここまでです。これで終わりにします。
	もうこの男は必要ないから、ここに来て
	この男も締め出せ。
	では、こちらの欠陥モデルを見てみましょう。ここに故障回数、打ち切り、頻度があります。ここで「分析」を選択し、下の「信頼性と生存率」に進みます。ただし、「寿命分布」ではなく「生存率」を選択します。
	はい、失敗回数を入力しました。
	検閲回数、検閲列に頻度を入力しました。こちらでは検閲コードをゼロに変更しました。
	生存ではなく失敗をプロットします。[OK]をクリックします。
	ここにプロットがありますので、これを少し改善してみましょう。
	ここまで取り上げて...
	ちょうどそこですね。いいですね。ここにグリッド線を追加して、解釈しやすくします。そして、こちらにもグリッド線を追加してみます。
	わかりました。では、このデータから何が分かりますか？これは不死個体群が存在する可能性を示唆しています。ユニットがCDFのかなり直線的なプロットに沿っていることに気づきました。
	そして、最後の障害は約 2,000 時間後に発生しました。すみません、最後の障害は 1700 時間後に発生しました。実際のデータ ポイントは、1664 時間頃だったと思います。
	最後の故障の300時間前に5件の故障があったのに、500時間以降、実際には1664時間以降、
	300時間…336時間、故障はなかった。つまり、私がここで言いたいのは、ある種の
	失敗の飽和点は、この300時間の期間と同じですが、
	この300時間の間に5回の故障が発生し、その後の336時間かそこらの間は故障が発生しなかったため、
	この曲線が継続していた場合に予想される追加の故障が見られないため、欠陥のあるサブポピュレーションが存在する可能性があります。さて、ここでやることは、
	JMPの寿命分布プログラムを見てみましょう。信頼性と生存率、寿命分布の項目に進み、故障時間を入力します。
	はい、まさにその通りです。検閲欄に頻度を入力します。
	そして打ち切りコードはゼロです。これも尤度です。
	「OK」をクリックします。
	こちらがデータのノンパラメトリックプロットです。JMPでは、このデータに当てはめることができる様々な分布が提供されています。信頼性分布は負ではないので、ここにある「非負の分布すべてに当てはめる」を選択しましょう。
	JMPが出てくると、一般化ガンマ分布が得られます。しかし、私は一般化ガンマ分布は使いません。対数正規分布を使うつもりです。なぜなら、元々計画されていたのは対数正規分布だからです。
	データによる分析です。ちなみに、こちらを見れば一般化ガンマとそれほど違いはありません。
	AICcタイプの基準に関して、対数正規分布では、データがあまり当てはまっていないことがわかります。線の上側に多くのデータポイントがあります。対数正規分布の尺度を使うと、ここで
	再び、データポイントが直線上にないことがわかります。さて、推定値を見てみましょう…データのパラメトリック推定値はここに示されています。尺度パラメータは1、T50は6,000です。
	さて、今、私たちはデータにあまり満足のいく適合性を与えていない分析を持っています。それでは、PowerPointタイプのプレゼンテーションに戻ります。
	こちらです。
	わかった。
	これは、サバイバル プラットフォームを使用して再度繰り返したものですが、その時点までの前の 336 時間に 5 件の障害が発生したのに対し、過去 336 時間に新たな障害は発生していません。
	そこで、欠陥のある集団が存在する可能性があると疑っています。JMPでこれをどのように分析すればよいでしょうか？
	先ほどお見せしたモデルのパラメータは、最尤法を用いて実際に解くことができます。これは、打ち切りデータに対する最尤法の単純な拡張にすぎません。
	最大尤度方程式の基本的な構成要素はPDF f(t)とCDF F(t)であるが、p
	母集団の何パーセントが F(t) でモデル化される故障メカニズムの影響を受けやすいかを表す場合、pF(t) はランダムに選択されたコンポーネントが時刻 t までに故障する確率です。
	25%と40%の死亡率の例で、10%の観測値が得られることを示しました。同様に、確率は
	ランダムに選択されたコンポーネントが正確な瞬間 t で故障する確率は、PDF に p を掛けることで求められます。
	そこで、欠陥モデルの尤度方程式を書くための規則を使用して、尤度方程式で f と F が現れる場所に pf (小文字の f) と pF を代入します。
	さて、尤度方程式、つまりタイプ 1 打ち切りデータの標準方程式は、ストレスに n 単位があることを意味します。
	T1、T2、そしてTsubrまでの正確な時刻にr個の故障があり、残りのN-r個の打ち切りユニットのうち生き残っているユニットは、この状況の尤度方程式であり、タイプ1のセンサーデータです。さて、これを
	fft と Kappa fft p 倍の fft を代入するだけで、集団の一部のみが故障の影響を受けやすい欠陥モデルを処理できる方程式。
	n P を Kappa fft で乗算し、当然ですが、複数回乗算する場合は、r の外側の p を取ります。
	ML推定値はPと母数パラメータの値であり、最大化される。
	尤度方程式を最小化する、あるいは尤度の対数を最小化する、というより扱いやすい方程式です。そして、それがJMPの目的なのです。JMPは最尤推定値を持っています。
	寿命分布プラットフォームです。先ほどお見せした9.5データテーブル、つまり元のテーブルを使用します。故障時間、検閲、頻度などのデータを入力し、ここで変更を加えます。
	そして、先ほど述べたように、この出力は非パラメトリック型の出力でした。
	そして、すべてのユニットが故障する可能性があると想定して、JMP にすべての非負タイプの分布を適合するように指示した後、対数正規タイプの分布のみで作業することに決め、それをクリックします。
	出力はこのように表示され、対数正規分布の適合度が低かったことが示されました。
	そして、確率と対数確率のプロットを見ると、対数正規分布の適合度が再び低く、データへの適合度に非常に疑問があることがわかります。
	さて、JMPの強力なプログラム「欠陥集団の当てはめ」を使ってみましょう。すべての非負分布を当てはめるのではなく、すべてのDS分布を当てはめてみましょう。
	DS分布は、CDFだけでなく、最大尤度方程式を使用して推定する欠陥のある部分母集団分布です。
	モデルだけでなく、そのモデルのp値も確認します。それではこれを行います。JMPに戻りましょう。
	こちらの例に戻りましょう。
	さて、ここの一番上に来て、これからやることは
	すべての欠陥のあるサブ母集団の分布を JMP に適合させるとします。
	そして今、すごいですね、見てください。
	現在、JMP を使用して、欠陥のあるサブポピュレーションの対数正規型モデルを適合しています。
	適合度は驚くほど良好です。つまり、非常に良好です。そして、ノンパラメトリックスケールに移ると、モデルがうまく機能していることがわかります。
	そして、現場予測、つまり信頼性予測を行う上で自信を与えてくれます。そして、ここへ降りてみると。
	先ほど対数正規分布のパラメータ推定値を示しましたが、ここでDS対数正規分布を見てみると、
	モデルによれば、この母集団の不良率推定値は約15.8%です。約15%で飽和状態に達したことを思い出してください。
	尺度パラメータは0.35で、分位プロファイラや分布プロファイラを使用して推定できるようになりました。
	特定の時点での故障確率、または、クォンタイル プロファイラーを使用して、特定の確率に達する時点を推定できます。
	しかし、欠陥のある集団があると仮定しなかった他のモデルとこれとの間の驚くべき違いは、実に劇的です。
	ですから、信頼性データを見る際には、欠陥のある集団が存在するかどうかを確認することが重要になります。JMPに戻りましょう。
	私のPowerPointプレゼンテーションはここにあります。
	さて、「すべてのDS分布を当てはめる」を選択すると、JMPは自動的にDS対数正規分布を選択しました。当てはめ結果を確認したところ、非常に良好な結果でした。
	パラメータ推定値は以下に示すように、このモデルの不良率、死亡率、死亡者の T50 のパラメータ推定値がここに表示され、死亡者のシグマもここに表示されていることに注目してください。
	さて。
	JMPに寿命分布に組み込んでほしい追加機能は、欠陥モデルがより良いかどうかをテストして確認する機能です。
	すべてのユニットが故障する可能性があると仮定するモデルよりも優れています。疑わしい欠陥モデルについてML推定値が計算されていない場合、Pが1であるという仮説を検定できます。
	つまり、代替欠陥モデルと比較した場合、欠陥サブポピュレーションは存在しません。
	したがって、テストでは、L1 を標準 (欠陥なし) モデルの最小対数尤度とし、L2 を欠陥モデルの最小対数尤度とします。
	尤度比検定統計量はLambda = 2(L1-L2)です。仮説が真であれば、言い換えれば、モデルはすべてのユニットが故障する可能性があると示します。
	λは自由度1のカイ二乗分布に近似します。もしλが大きい場合、例えばカイ二乗パーセンタイルを選択しましょう。
	95% の場合、自由度が 1 の 3.84 となり、標準モデルを拒否し、95% の信頼度で欠陥モデルを受け入れることになります。
	それでは、JMP の出力に戻りましょう。JMP は実際にここで対数尤度の推定値を提供します。
	さて、こちらの JMP の例では、対数正規分布の対数尤度が 307、欠陥のある集団の対数尤度が 301 であることがおわかりいただけると思います。JMP ではこれらの値が自動的に用意されています。
	さあ、ここに戻ってきてください。
	では、この検定統計量を入れると、3.07から3.01を引くと6.1になります。6.1は大きいです
	カイ二乗値 3.84 よりも大きいので、この場合、例 9.5 では、すべてが故障する可能性があるという標準モデルを拒否し、欠陥モデルを 95% の信頼度で受け入れることになります。
	欠陥モデルに関する詳しい情報をお知りになりたい場合は、「欠陥のあるサブポピュレーション」と「信頼性データ」を Google で検索すると、さらに多くの情報が得られます。
	実は、ある会社で働いていた時に解決したケーススタディがあります。それは、製品の欠陥のあるサブポピュレーションに関するもので、これも参照されています。信頼性に関する文献には、
	このようなモデルは、限定故障母集団 (LFP) モデルとも呼ばれます。
	したがって、信頼性データの分析では、偏りのない結果を得るために欠陥のあるサブポピュレーション (DS モデル) の存在を認識して考慮することが重要であり、JMP の寿命分布プラットフォームには、視覚的手法と MLE 手法の両方を使用して DS データを分析する機能があります。
	参考文献はここに示されています。欠陥のある集団については、私の著書『Applied Reliability』（ポール・トビアスと私が共著）の第3版でも取り上げています。
	これは先ほどお話しした例で、不良品のサブポピュレーションと加速試験を用いて、現場での問題を解決しています。また、MeekerとEscobarは信頼性データのための統計的手法を著しており、その中で限定故障母集団モデルについて論じています。
	ありがとうございます。ご質問もお待ちしております。どうぞお元気で。

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