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21世紀のスクリーニングデザイン（2020-US-45MP-538）

ブラッドリー・ジョーンズ、SAS JMP 特別研究員

JMPは、スクリーニング実験の設計と分析における革新の最前線に立っています。過去10年間の開発には、決定的スクリーニング計画、係数推定値の平均分散を最小化するA最適計画、そしてグループ直交過飽和計画などが含まれます。このチュートリアルでは、多数の因子をスクリーニングするためのこれらのアプローチをそれぞれ例を挙げ、特定の問題の種類に適用する適切な方法を選択するための経験則を提供します。

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スピーカー	トランスクリプト
ブラッドリー・ジョーンズ	ご来場ありがとうございました。
	21世紀のスクリーニングデザインについて講演します。
	スクリーニングデザインの話題は、過去 20 年間で変化してきました。
	私が推奨する 3 種類のスクリーニング設計についてお話ししたいと思います。これらはすべて JMP で利用できます。
	A 最適スクリーニング設計、決定的スクリーニング設計 (DSD)、およびグループ直交超飽和スクリーニング設計 (GO SSD)。
	これは少し驚かれるかもしれません。なぜなら、カスタム デザイナーのデフォルトは約 20 年間、D 最適だったからです。
	しかし、ここ数年で、A最適設計はD最適設計よりも優れているという結論に至りました。この点については、この講演の最初のセクションで詳しく説明します。
	これらが私が比較する3つの設計です。まずはA最適設計から見ていきます。スライドには、A最適設計が多くの場合D最適スクリーニング設計よりも優れていると考える理由を具体的に示すグラフがあります。
	この例は、4つの連続因子のすべての主効果と2因子交互作用をフィッティングするための、4因子12回実験計画です。A最適計画については、ここで確認できます…
	相関セルプロットでは、相関がゼロでないセルは3つだけであることを示しています。A最適設計では、残りのペアワイズ相関はすべてゼロです。
	D 最適設計の場合、あらゆるところに多くの相関関係があり、モデルの選択が難しくなります。
	これで最初の例は終わりです。「A-最適」とは何でしょうか？「A-最適」の「A」は何の略でしょうか？
	「A」は、モデルのパラメータ推定値の平均分散を表します。
	パラメータ推定値は、4つの主効果と6つの2因子交互作用の推定値です。これらの平均を最小化すれば、すべてのパラメータをある程度低減できる傾向があり、少なくとも他の手法よりも良い結果が得られます。
	A 最適の意味を覚える方法は、「A」が平均、つまりパラメータ推定値の平均分散を表すことです。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	これにより、A-最適性基準は理解しやすくなります。平均とは何かは誰もが理解しています。推定値はすべて存在します。これらの推定値の分散は概ね小さくなることを望んでおり、A-最適性基準はまさにそれを直接的に実現します。
	A 最適設計のもう 1 つの利点は、重み付けによってパラメータのグループに異なる重点を置くことができることです。
	現在、D 最適設計に重み付けを行うことができますが、D 最適設計の重み付けでは設計は変更されないため、あまり役に立ちません。
	一方、A最適設計に重み付けをすると、パラメータに異なる重みが与えられます。「主効果は二因子交互作用よりも重要だから、主効果の重みを高くしたい」と思うかもしれません。JMPにはまさにそのための機能があります。
	2つの異なるA最適設計のデモンストレーションがあります。1つは先ほどお見せしたものです
	つまり、4因子、12回の実験で、すべての2因子交互作用と主効果についてD最適とA最適を比較した出力です。2つ目の例は、5因子実験で20回実験を行い、主効果とすべての2因子交互作用を含むモデルです。
	D最適と重み付きA最適を比較すると、主効果においてA最適設計に重点を置きます。JMPに切り替えましょう。
	こちらは4因子、12回実行のD最適設計、こちらは同じ問題に対するA最適設計です。さて、この2つの設計を比較してみたいと思います。
	相対的な推定効率を見ると、A 最適設計の方が、このパラメータを除くすべてのパラメータで推定効率が高くなっています。
	X1 と X3 間の相互作用であるパラメータを除きます。
	A 最適設計の平均相関を見ると、平均相関はわずか 0.02 ですが...
	D最適設計では、平均絶対相関は0.116です。つまり、D最適設計ではA最適設計の約6倍の相関があることになります。
	A最適設計はDほど効率的ではない
	D最適設計として。もちろん、D最適設計は、可能な限り最もD効率の高い設計として選択されています。A最適設計が依然として
	D効率が97%以上というのは実に素晴らしい数字です。しかし、A最適設計はD最適設計よりもG効率が87.5%も高いのです。つまり、A最適設計は予測の最悪の分散を低減しているのです。
	もちろん、A 最適設計の A 効率は、D 最適設計の A 効率よりも 14.5% 高くなります。
	そして、A最適設計のI効率はD最適設計よりも16%高い。これらすべての効率測定と相関関係は
	この場合、A最適設計がD最適設計よりもはるかに優れていることがはっきりと分かります。これが、JMP 16で二因子交互作用を含むスクリーニングにおいて、A最適設計がデフォルトになった理由の一つです。
	2つ目の例を見てみましょう。5因子実験です。5因子20回実験のD最適設計と、5因子
	20回実行の重み付きA最適計画です。では、この計画を作成するJMPスクリプトをお見せしましょう。パラメータの重みについてご説明します。この重み係数は、切片と5つのパラメータに重み付けをしたいという意味です。
	主な効果
	100倍高い
	2因子交互作用が10個あります。これがデザインにどのような影響を与えるか見てみましょう。それでは、デザインを比較してみましょう。
	そして、これが重み付きAに対するD最適設計の効率です。重み付きAは5つの主効果をすべてD最適設計よりも良く推定しています。なぜなら、D最適設計は
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	この97％から99％
	主効果を推定するための重み付きA最適値に対するD最適値の相対的な効率です。主効果に重み付けをすると、推定精度が少し低下します。
	二因子交互作用の分散です。ここでは、主効果の推定値を向上させる代わりに、二因子交互作用の推定値を少し悪化させています。しかし、これは主効果に高い重み付けをすることで得られた結果です。
	ここでも、平均絶対相関係数は
	重み付きAの相関係数は、Dの最適設計の相関係数よりも約50%優れています。また、Aの最適相関セルのプロットとDの最適相関セルのプロットを比較すると、はるかに多くの相関係数があることがわかります。
	A最適プロットには白のセルが多数あります。つまり、
	これらの対相関はゼロです。ゼロがたくさんあります。つまり、真の有効効果と無効効果を区別するのがはるかに容易になるということです。
	D最適設計は、それ自体の基準でもA最適設計よりわずか0.5%優れているが、A効率は
	は公称値通りで、A最適設計はD最適設計よりもG効率が高く、I効率も高くなります。ここで、どちらを選ぶかは少し難しいかもしれません。私としては、
	私は主効果をより正確に推定できるようになりたいと言いましたが、それは可能です。
	以上がA最適設計の2つのデモンストレーションです。スライドに戻りましょう。
	さて、これら 3 種類のデザインのそれぞれについて、どのような場合に他のデザインよりもどのデザインを優先して使用するかについてのアイデアを提供したいと思います。
	A最適スクリーニング設計では、A最適設計とカスタムデザイナーでサポートされている他の設計は、他の設計よりも柔軟性が高く、より多様な問題を解くことができます。特に、
	カテゴリ因子が多数ある場合、特にレベルが 2 つ以上ある場合は、A 最適スクリーニング設計を使用します。
	実現不可能な因子レベルの組み合わせがある場合、例えば、すべての因子を高く設定できない場合など、
	そうすると、他の 2 つのスクリーニング設計ではそれができないので、A 最適設計が欲しいと言うことになります。
	そして、主効果や主効果と2因子の相互作用だけではない特定のモデルを当てはめたい場合、
	決定的スクリーニング設計やグループ直交過飽和設計ではなく、A 最適スクリーニング設計を使用します。
	さらに、ある効果のグループに他の効果のグループよりも重点を置きたい場合は、A最適設計を使用します。主な効果に重点を置きたい場合の例を示しました。
	二因子相互作用ではなく。
	では、決定的スクリーニング設計について見ていきましょう。決定的スクリーニング設計は、最初に出版された
	2011年にJMPに掲載されたジャーナル記事
	ほぼ同じ頃です。
	非常に興味深い設計です。相関セルのプロットを見ると、
	決定的スクリーニング計画では、主効果はすべて互いに直交しています。つまり、どの主効果のペアにも相関関係はありませんが、主効果は
	全ての二因子交互作用および全ての二次効果と相関がありません。そのため、どの主効果が重要であるかが非常に簡単にわかります。
	決定的スクリーン設計では応答曲面設計よりも実行回数がはるかに少ないため、2因子相互作用の間には相関関係がある。
	2因子相互作用と2次効果の間、そして2次効果同士の間でも相関が見られます。ただし、各2次効果は、2因子相互作用のすべてと無相関であることに注意してください。
	これは、X1 の 2 乗の二次効果です。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	この効果は、二因子交互作用におけるX1を含む全ての効果と完全に直交しています。そして、これは全ての因子において同じです。X2の2乗項は、X2を含む全ての効果と直交しており、以下同様です。
	これは非常に興味深い特性で、非常に便利です。DSDとはどのようなものでしょうか？
	3つの主な特性についてお話ししたいと思います。まず1つ目の特性は、Run 1とRun 2を比較した場合です。
	ラン1で+1が出たらラン2で-1が出ます。逆も同様です。ラン1で-1が出たらラン2で+1が出ます。
	実行 1 と実行 2 は、お互いの鏡像のようなものです。
	同じことが、ラン3とラン4、ラン5とラン6、ラン7とラン8、ラン9とラン10、そして11と12にも当てはまります。このデザインは折り返しデザインと呼ばれ、折り返し部分が
	主効果が二因子交互作用と相関しないのはそのためです。もちろん、私はこのデザインを持っています
	見やすいように並べられています
	この構造ですが、この設計を実行するときは、実行の順序を実際にランダム化する必要があります。
	2つ目に指摘したいのは、各要因ごとに2つの中心実行があるということです。
	いくつかの実行ペアにおいて。例えば、最初の実行ペアではAが中心レベルにあり、2番目の実行ペアではBが中心レベルにあります。
	そして、3 番目の実行セットでは、C が中心レベルにあり、4 番目の実行セットでは、D が中心レベルにあります。
	最後に注目すべき点は、全体的な中心となるランが1つあることです。因子AからFまで、6つの因子があります。
	実験回数は2x6+1です。この計画に適合できるモデルは、切片、6つの主効果、そして6つの効果すべてを含むモデルです。
	二次効果です。つまり、13回の試行で13種類の異なる効果が存在することになります。これは、試行を効果に割り当てるという点で、驚くほど効率的です。
	さて、決定的なスクリーニング設計を採用することによるプラスの結果は何でしょうか？まず、2因子間の相互作用は相関がないため、主効果の推定値に影響を与えません。
	これにより、アクティブな 2 要素の相互作用を 1 つずつ一意に識別できるようになります。
	ノイズに関して、その二次効果が大きい限り、単一の二次効果についても同じことが当てはまります。
	そして、本当に興味深い結果が一つあります。もし、3つの因子、例えばA、C、E因子だけが活性化すると、
	すると、これら3つの因子に完全二次モデルを当てはめることができます。完全二次モデルとは、応答曲面法やRSM法を用いる際に用いられるモデルです。
	どの3つの因子が活性であるかは問題ではありません。どの3つの因子が活性であるかに関わらず、DSDは常に完全な二次関数モデルに適合することができます。
	これは非常に強力な機能です。その結果、6つの要因のうち3つだけが重要という幸運に恵まれた場合、場合によってはRSMのステップを省略し、RSMとスクリーニングを一気に実行できるようになります。
	DSDの良い点はすべてお話ししました。ただ一つ、悪い点、いや、良くない点もあります。それは…
	各列にゼロがあるため、決定的スクリーン設計では、中心実行が 1 つある直交設計の場合ほど正確に主効果が推定されません。
	その結果、DSD の主な効果に関する信頼区間は、たとえば同じ回数の実行で Plackett-Berman 設計を実行した場合の信頼区間よりも 10% または約 10% 長くなります。
	それは、私の見解では、得られるすべての利点、特に二次効果を当てはめることができるという利点を考えると、支払うべき非常に小さな代償です。
	Plackett-Berman計画では、中心ランが1つしか存在しません。中心ランは存在しますが、どの因子の曲率が高いかがわからないため、2次効果を当てはめる必要があることがわかります。
	さて、DSDはどんな時に使うのでしょうか？ほとんどの因子が連続している場合、つまり…
	連続的な場合は、因子レベルが十分に離れて設定されているため、因子が応答に与える影響に非線形性や曲率が生じる可能性が懸念される可能性があります。
	そして、二因子相互作用の可能性についても懸念されますが、DSDはすべての二因子相互作用を当てはめることができるとは保証できません。
	実行数が足りないからです。2因子相互作用が2、3個あれば、DSDで特定できる可能性が高いです。
	さて、JMPに戻って
	ここでジャーナルに戻ります。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	これはDSDです。6つの因子を持つDSDですが、13回の試行の代わりに8因子設計を作成し、最後の2つの因子を削除しました。
	完全要因モデルを当てはめると、
	私はこの問題に対して完全実施要因計画を作成し、それを適合させました。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	パラメータ推定値を示します。
	パラメータ推定値は
	完全実施要因計画において有意なのは、A、B、C、A×B、A×C、B×C、そしてAの2乗です。
	フィット・デフィニティブ・スクリーニングで得られる分析結果をお見せしましょう。時間があるので、
	を回答として、A から F を因子として入力します。
	そして出てくるモデルを見てみましょう。
	このモデルにはA、BC、Eが含まれています。Eは偽効果です。つまり、これは第1種の誤りですが、3つの2因子交互作用とAの2次効果をすべて特定しています。ここで示した完全実施要因計画では、
	3の6乗、つまり729ラン
	このデザインには17回の試行しかありません。はるかに少ない試行回数ですべての正しい用語を識別できたのは、
	決定的なスクリーニング設計がなぜ本当に優れているのかを知るには、目を見張るものがあります。
	スライドに戻りましょう。
	DSDは、ほぼすべての因子が連続的である場合に最適です。2～3つの2水準カテゴリ効果を組み込むことができます。また、決定的スクリーン設計をブロック化することで、ブロック化よりもはるかに柔軟に設計できます。
	一部実施要因設計。6因子の決定的スクリーニング設計では、2～6個のブロックを使用できます。
	そして、ブロックは主効果と直交しています。これが、このデザインのもう一つの素晴らしい点です。
	最新のスクリーニング設計について見ていきましょう。これらはここ数年で発見されたばかりで、Technometrics誌に先週ほど掲載されたばかりです。
	オンラインで公開されてから 1 年が経ちましたが、実際の印刷された記事が私の家に郵便で届いたのはほんの 1 週間ほど前です。
	これはグループ直交過飽和設計の相関セル プロットであり、この灰色の領域がすべて表示されていることに気付くかもしれません。
	ほとんどの場合、過飽和設計を見ると、相関セル プロットにはあらゆる場所に相関関係が見られます。
	ここでは、要因のグループ間の相関関係のみを確認しています。この要因のグループは相関関係にあります。この別の要因のグループも相関関係にあります。
	この要因のグループは相関しており、他の要因のグループも相関していますが、どの要因のグループのペア間にも相関はありません。
	表示される相関関係はグループ間ではなくグループ内のみなので、データ分析に役立ちます。こちらは掲載された論文の最初のページの写真です。
	先週印刷されたばかりの時に言ったばかりです。共著者はクリス・ナハトシャイムとこの人です。
	ミネソタ大学のJMPの同僚であるライアン・レキベッツ氏、シカゴのイリノイ大学統計学部の准学部長であるディビエン・マジュムダー氏、そしてノースカロライナ州立大学の教授であるジョン・ストールリッチ氏です。
	グループ直交過飽和設計や過飽和設計にそもそも興味がある理由についてお話ししましょう。
	次に、グループ直交過飽和計画の作成方法を説明します。分析方法も説明しますが、JMPには設計ツールのすぐ横に自動分析ツールが搭載されているので、分析方法を習得する必要はありません。
	そして、私たちが「Go SSD」と呼んでいるこのSSDの2段階分析がどのように行われるかを紹介します。
	より一般的な分析アプローチと比較してみましょう。それから結論を述べたいと思います。
	過飽和計画とは何でしょうか？過飽和計画では、因子の数が実験回数より多くなります。例えば、因子が20個程度あるのに、それらを調査する実験回数が12回しかない場合などです。すると、「これは良い計画だろうか？」と自問するかもしれません。
	私の元同僚は、今は退職していますが
	約 15 年前、過飽和なデザインは悪であると教えられました。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	彼がそう感じた理由は分かります。過飽和設計の問題は、重回帰分析ができないことです。
	より多くの因子と実行があるため、逆行列を計算したい行列は逆行列計算できません。
	また、因子エイリアシングは通常は複雑ですが、これらのグループ直交過飽和設計では、はるかに複雑ではありません。
	そして、何もせずに何かを得ることはできないという、ある種の一般的な感覚があります。デザインに十分なリソースを投入していないため、良い結果が得られていないように感じます。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	過飽和設計は文献で初めて議論された。
	数学者による
	サザーウェイトの名前。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	彼の論文は当時の一流統計学者の多くから激しく非難された。
	ご存知の通り、彼に対しても大いに笑っていましたが、3年後にブースとコックスは
	過飽和設計を体系的に生成する可能性について議論し、選択基準として、すべての2乗ペアワイズを見てみるというものでした。
	相関関係
	これらはすべて正の数値なので、その平均を調べて、できるだけ小さくします。
	たとえ計画が直交的でなくても、直交計画にすることはできません。なぜなら、直交計画にするには、因子よりも多くの試行回数が必要だからです。BoothとCoxの基準は、因子よりも試行回数が少ないという条件下で、可能な限り直交計画に近いものを見つけようとするものです。
	1959 年にジョン・テューキーがサザーウェイトについて論じた際に「過飽和」という用語を初めて使用したと考えられます。
	テューキーはこう言っています。「もちろん、一定のバランスは飽和状態までしか到達できません...」
	飽和（ジョージ・ボックスの適切な用語の 1 つ）は、各自由度が主効果（または推定する準備ができている他の何か）によって占められる状況までになります。」
	結果として、飽和実験では分散を推定するための自由度が残っていません。しかし、Tukey氏は「過飽和実験を行うことは極めて自然で賢明なことだと考えています」と述べています。
	しかし、一般的に統計学界はそれを真剣に受け止めず、その後 30 年間何も起こりませんでした。
	30年後、現在ジョージア工科大学の教授であるジェフ・ウーは、バイオメトリカ誌に次のような論文を書いた。
	過飽和設計の1つの方法です。そして同じ年、テクノメトリクス誌で、現在パーデュー大学統計学部長を務めるデニス・リンは、
	過飽和デザインを作成する別の方法についての論文を書きました。これらの論文は両方とも非常に興味深いもので、過飽和デザインを人々の意識に戻しました。
	過飽和設計はどのような場合に使用しますか? そうですね、使用する場合の 1 つは、実行に非常にコストがかかる場合です。
	1回の計算に100万ドルかかる場合、あまり多くの計算はしたくないでしょう。できるだけ少ない回数で済ませたいものです。そして、要素数よりも少ない回数で計算できれば、なおさら良いのです。
	皆さんはどうか分かりませんが、私はプロセスの関係者とブレインストーミングをたくさん行ってきました。全員が、問題になるかもしれない要因を付箋に書いておくと、とても簡単に解決できます。
	アクティブになると、壁に34枚の付箋が貼られ、すべて内容が異なります。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	では、どうすればいいのでしょうか？よくあるケースとして、スクリーニング実験では6、7、8、場合によっては10の因子を使うことに慣れている人がいます。
	しかし、30もの因子を含むスクリーニング実験を行うとなると、人々は非常に不安になります。そこで、ブレインストーミングの後、エンジニアたちは「まあ、これは削除してもいいかな」と決断するのです。
	おそらく20の要因
	なぜなら、その 20 の要素を選んだ人々よりも私たちの方がよく知っているからです。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	私が心配しているのは、そうすることで、いわば大切なものを無駄にしてしまうことになるかもしれないということです。
	最も重要な要素は、あなたが無視することに決めた 20 個の要素のうちの 1 つである可能性があります。
	そして、最終的に検討する要素には、省略された他のより重要な要素が考慮されていないため、大量のノイズがあるように見える場合があります。
	データがないまま要因を排除するのは原則に反すると思います。それは明らかに統計的なアプローチではありません。
	さて、これらの Go SSD をどのように構築するのでしょうか?
	さて、我々はHと呼ぶm次のアダマール行列から始めます。そして、mは次のようになります。
	ゼロ mod(4) は、m が 4 の倍数である必要があることを言い換えたものです。次に、w 行 q 列の正負の 1 の行列である別の行列 T を取ります。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	次に、HとTのクロネッカー積を取ります。ちなみに、真ん中に「X」があるゼロはクロネッカー積を表す記号で、次のスライドで説明します。この演算により、xはm行w列の構造になります。
	m列×q列の行列で、wはqより小さいので、mwはmqより小さくなります。結果として、これは過飽和設計になります。Tは、行の半分以下を削除したアダマール行列にすることをお勧めします。例を挙げましょう。これが私のHです。これはアダマール行列です。
	アダマール行列の特徴の一つは、アダマール行列の列が互いに直交していることです。
	主な効果は、対ごとに直交しています。
	この例では、Tは最後の行を除いたHです。そして、このHのクロネッカー積Tを
	Hのプラス1の要素はすべてTに置き換えます。そして、Hのマイナス1の要素はすべて-Tに置き換えます。さて、Tは行列です。ここでは、1つの数値を3行4列の行列に置き換えています。Hは4行4列ですが、この新しい行列は
	12×16。これでこれだけ
	これは、H と T のクロネッカー積を取って作成した、より大きな行列です。
	もちろん、自分で行う必要はありません。JMPがGO SSDデザイナーで作成できるものを教えてくれるので、すべて自動的に行われます。
	H と T のクロネッカー積を �X� と呼びます。X�X を見ると、これは因子の相関関係を理解するために見るものであり、X�X は次のようになります。これらは前に示したブロックです。
	これはブロック対角です。最初の要因グループは他のすべての要因グループと無相関です。2番目の要因グループは他のすべての要因グループと無相関です。以下同様です。
	これは非常に良い性質です。ここで例を挙げましょう。4x4のアダマール行列があります。つまり、mは4です。行列Tは
	ちょうど話していたのは...私の行列 T は 3x4 で、H から最後の行を削除したので、w は 3、q は 4 です。
	したがって、行の数は m × w、つまり 4 × 3、つまり 12 です。列の数は m × q、つまり 4 × 4、つまり 16 です。
	最初の列はすべて1なので、これが定数列と呼ばれます。これは切片を推定するために使用します。
	次の3つの列は相関しています。次の4つの列、A列からD列は互いに相関していますが、他の列とは相関していません。E列から
	Hは互いに相関していますが、他のものとは相関していません。IからLは互いに相関していますが、他のものとは相関していません。このブロック対角相関構造が得られます。
	今、
	4つの要因が互いに相関している3つのグループがあります。そして、最初のグループ（A、B、C）は互いにより相関しており、また不均衡な列になっています。それでは
	私と私の同僚が推奨するのは、A、B、C に実際に要因を割り当てるのではなく、要因を自由のままにしておくことです。
	因数を割り当てないのです。つまり15の因数ではなく12の因数しか持たないのです。A、B、Cは
	これらすべての要因と相関がないので、A、B、Cを使って誤差分散を推定できます。過飽和設計では
	過飽和計画における誤差分散を推定する方法はこれまで存在していませんでした。これはグループ直交過飽和計画の特性であり、過飽和計画の世界では他に類を見ないものです。
	これで4つの因子からなる3つの独立したグループができました。各因子グループの順位は3です。3つの偽因子は
	列 (AC) のランクは 2 なので、2 つの因子の相互作用が無視できると仮定して、自由度 2 でシグマの 2 乗を推定できます。
	さて、私がこのクロネッカー積を作ったとき、
	この因子群はフォールドオーバーです。これもフォールドオーバーです。そしてこれもフォールドオーバーです。つまり、3つの因子群はすべてフォールドオーバー設計です。
	DSD は、すべての要素がフォールドオーバーであるフォールドオーバー設計の例でしたが、この特定の構造により、興味深い特性がいくつか得られます。
	同じグループ内の複数の因子が関与する任意の 2 つの因子相互作用は、そのグループの主な効果に対して直交します。
	グループ1の主効果を見てみると、グループ1のすべての主効果は、そのグループ内の2因子の相互作用すべてと無相関でした。でも、待ってください。グループ1のすべての主効果は
	2因子の相互作用とは相関がなく、そのうちの1つが
	要因はグループ 1 にあり、他の要因はグループ 2 にあります。
	最後に、グループ 1 のすべての主効果は、他のグループのすべての 2 つの要因の相互作用と相関がありません。
	したがって、この構成により、この過飽和設計が得られ、主効果を推定する優れた方法が得られるだけでなく、多くの 2 因子相互作用からも保護されます。
	保護されない唯一のものは、グループ1に主効果があり、2因子相互作用がある場合です。
	2 つの異なるグループに主効果があるとすると、必ずしも無相関であるとは限りません。
	これらの特性をすべて考慮すると、因子をグループに組み込む方法を考える必要が出てきます。一つの戦略としては、「
	非常に重要であると思われるすべての要因を 1 つのグループにまとめます。」
	その場合、それらの因子は、それらの因子を含む2つの因子相互作用のいずれとも相関しません。これは良いことです。そして、非アクティブなグループが存在する可能性が高くなります。もしグループが非アクティブな場合は、それらの因子推定値をプールして、
	シグマ二乗の推定値に自由度を与えると、他の効果を検出する力が高まります。
	2 番目の戦略は、さまざまなグループでアクティブになる可能性が高いと思われるすべての効果を配置することです。
	つまり、私が事前に考えた最もアクティブな効果をグループ 1 に、2 番目にアクティブな効果をグループ 2 に、3 番目にアクティブな効果をグループ 3 に配置するということになります。
	さて、最も可能性の高い効果が別々のグループにある場合、1 つの要因効果が別の要因効果と交絡する可能性は低くなります。
	ブラッドリー・ジョーンズ
ブラッドリー・ジョーンズ	私と共著者は 2 番目の戦略を推奨します。
	これは発表されたばかりの論文の表で、グループ直交過飽和設計のすべてを示しています。
	128 の要素と 120 の実行。
	さて、これらのことをどのように分析するのでしょうか？偽の要因を活用して、偏りのない評価差異を得ることができます。
	グループ構造を使用して最初にアクティブなグループを識別し、どのグループがアクティブであるかがわかったら、回帰を実行して各グループ内のアクティブな要因を識別できます。
	さらに、非アクティブなグループと非アクティブな要因の平方和と自由度をシグマ平方の推定値にプールして、効果を検出する力を高めることができます。
	これは数学的な
	スキップできるスライドです。
	しかし、このスライドが意味しているのは、
	各要因の影響の方向を事前に予測してプラスにすることで、各グループをテストする力を最大化できます。
	さて、ある要因の効果がマイナスだと思ったら、マイナス 1 の符号をプラス 1 に、プラス 1 の符号をマイナス 1 に書き換えるだけです。
	これにより、グループ識別能力が最大限に発揮されます。まずグループを識別し、次にグループ内の活性因子を特定します。もちろん、フィッティングではこれらすべてが自動的に行われます。
	私たちは、分析方法を Lasso および Dantzig セレクターと比較しています。
	そして、検出力とタイプ1のエラー率を調べます。
	Go SSDと標準セレクタの比較です。3つの異なる過飽和設計を選択し、異なる数のグループをアクティブにして、
	信号対雑音比は 1 対 3 で、グループあたりの活性因子の数は 1 つまたは 2 つでした。
	この場合、アクティブ因子の数は 1 から 14 までの範囲になります。
	電力結果のグラフを見ると�
	こちらが Dantzig の結果です。こちらが Lasso の結果とそれに続く 2 段階法です。
	DantzigとLassoの一部のパワーは低いです。実際、これらはS/N比が1の場合です。それ以外の点では、DantzigセレクターとLassoは非常に良好な性能を発揮しています。
	実際には、信号対雑音比が小さい場合を除けば、2段階法と同様に機能します。ただし、2段階法では常にすべての活性因子を検出します。
	ベイジアン D 最適過飽和設計と他の種類の過飽和設計を調べたシミュレーション研究を行った Marley と Woods の論文では、基本的に次のように述べられています...
	実行回数の 3 分の 1 を超えるアクティブな要因を特定することはできません。
	さて、今回のケースでは12の因子を12回実行しているので、活性因子は4つしか特定できないと予想されます。しかし、
	nが24の場合、14の有効効果を特定しましたが、nを3で割ると8しか特定されませんでした。MarleyとWoodsのシミュレーション研究によれば、彼らの予測よりもはるかに良い結果が得られていることがわかります。これはGO SSDを使用しているためです。
	JMPのカスタムデザインツールでデザイン生成に時間がかかる原因を評価するためにケーススタディを実施しました。
	モデルに2次項があると遅くなります。最適性基準がA最適であれば、少し遅くなります。ランダムスタートを10倍にすると、確かに遅くなります。因子の数が多いと、
	遅くなります。これが私たちの設計です。そしてこれが分析です。お見せしましょう
	これを JMP で実行します。
	まず最初に、
	設計構築スクリプト。
	私は...するつもりです。
	これがスクリプトです。mはアダマール行列のラン数です。JSLに新しいコマンド「Hadamard」があります。新しいスクリプトを作成します。
	これでスクリプトを実行して、
	ログ。
	さぁ行こう。
	JMP 16の新しいログです。このスクリプトの最初の3つを実行すると、mが4、qが3であることがわかります。そして、これが4x4のアダマール行列です。最初の3行からTとグループ直交過飽和計画を作成します。
	ここでは12x16行列です。
	これがマトリックスであり、これを基に表を作成することができます。
	そしてこれが表です。
	このように、手作業で作成するのは簡単ですが、必ずしもそうする必要はありません。JMPにすべて任せれば、すべて自動的に作成できます。
	ペアワイズ相関列の相関関係を見ると、前に示したのと同じパターンがあります。
	これが私たちが実施したケーススタディです。最初の3つの因子を偽因子として扱います。そしてそれらを使って分散を推定します。
	全ての現実の要因。私がフィットすると
	群直交過飽和設計では、2番目の群に2つの因子が作用しています。最初の群は分散推定に使用しています。
	3番目のグループには1つの因子、4番目のグループには2つの因子があります。合計5つの因子がアクティブで、誤差の自由度は6になります。
	これは本当にすごいですね。JMPでこれをどうやって実行できるかお見せしましょう。こちらはグループ直交過飽和計画です。
	12回実行するつもりだとしましょう。サイズ8のグループを2つ、またはサイズ4のグループを4つ実行できます。これは先ほど実行したのと同じ設計です。このように簡単に1つ作成でき、分析ツールも使用できます。
	デザイナーのすぐ下にあるので
	要因を選択し、応答を選択して実行すれば、前と同じ分析が得られます。
	最後に
	スライドに戻ります。
	Go SSD を使うべきなのはどんな時でしょうか？それは、多くの要素があり、実行にコストがかかり、ほとんどの要素がアクティブではないと思われる場合です。
	しかし、どれがアクティブでどれがそうでないのかはわかりません。
	最後に、スクリーニングを行う際にはD-OptimalをA-Optimalに置き換えることをお勧めします。以前D-Optimalを使用していた場合は、A-Optimalの方が適しています。
	連続因子がほとんどで、曲率の可能性に興味がある場合はDSDを使用する
	また、使用できる要素のレベルに関する制限はありません。
	データを取得する前に多くの要素を削除するよりも、Go SSD を使用してください。要素数が多く、実行コストが高い場合は、Go SSD を使用してください。

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