| Conférencier |
Transcription |
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Bonjour à tous, je m'appelle Martin Kane. Je travaille chez Exponent et je suis ici pour parler de l'ajustement des courbes dose-réponse pour des données difficiles à traiter. |
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Je suis ici au JMP Discovery Summit 2020. Tout d'abord, je tiens à remercier le comité consultatif de la conférence de m'avoir invité à présenter cette communication. |
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J'apprécie vraiment cette opportunité et la chance de partager les connaissances que j'ai acquises grâce à JMP. J'utilise JMP tous les jours. |
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En tant que consultant, c'est devenu mon principal outil d'analyse. J'ai donc travaillé dessus récemment et j'ai pensé qu'il serait intéressant de le partager. |
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Alors, entrons dans le vif du sujet. Tout d'abord, |
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Avertissement : Les idées présentées dans ces diapositives sont les miennes, Martin Kane, et ne représentent pas nécessairement celles de ma société, Exponent. |
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Cela étant dit, |
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De quoi allons-nous parler ? Que sont les modèles dose-réponse ? Quelle forme prennent-ils généralement ? Quels sont les modèles statistiques typiques pour ces modèles ? |
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Comment accéder à ces modèles dans JMP ? Quelle est la différence entre l'ajustement de courbe et les modèles non linéaires ? Quels sont les avantages et les inconvénients de chacun ? Je vais approfondir ce sujet. |
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Nous parlerons également des valeurs initiales et de l'importance d'avoir de bonnes valeurs initiales pour ces modèles non linéaires. |
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J'ai une démonstration et j'utiliserai ensuite les données de cette démonstration pour analyser les données aberrantes. Qu'est-ce que cela signifie, et comment pouvons-nous y remédier à l'aide des outils d'ajustement de courbes et de modélisation non linéaire de JMP ? |
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D'accord. |
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Modèles dose-réponse. Ils peuvent donc se présenter sous forme linéaire ou non linéaire. |
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Les modèles classiques reposent toutefois sur ce que l'on appelle les modèles logistiques à 3, 4 ou 5 paramètres. Ce sont des modèles très répandus et il en existe de nombreux ; il n'y en a pas que trois. |
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Quelles sont donc les formes de certains de ces modèles ? Évidemment, linéaire, pardon, linéaire est une droite, une simple régression standard où nous avons tracé… |
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une sorte de concentration de réponse souvent par rapport à... nos concentrations logarithmiques sur l'axe des x par rapport à l'axe des y, ce qui est une sorte de réponse. |
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J'en parlerai dans la diapositive suivante, mais bien souvent, cela repose sur une forme de fluorescence. |
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Et ces valeurs peuvent être assez importantes, en termes d'étendue. Il n'est donc pas rare d'en prendre également le logarithme. |
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On peut envisager un modèle de type exponentiel. Ce modèle peut convenir à une partie de la courbe dose-réponse, mais il est souvent insuffisant pour l'ensemble de la courbe. Cependant, on trouve plus fréquemment une forme de… |
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Il s'agit d'une fonction logistique paramétrique, et cet exemple illustre la fonction logistique à quatre paramètres, la fonction de Hill. On peut également l'appeler, dans une orientation légèrement différente, la fonction de Rodbard. |
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Il existe plusieurs versions différentes qui présentent cette même forme générale, avec une sorte d'asymptote supérieure et une sorte d'asymptote inférieure. |
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Il y a un |
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Le point central le long de cette courbe, à mi-chemin entre l'asymptote supérieure et l'asymptote inférieure, que nous appelons EC50 ou IC50 |
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La valeur de ce point se trouve sur l'axe des abscisses. On l'utilise pour calculer sa pente. Cette pente correspond à la partie linéaire de la courbe. Elle n'est pas parfaitement linéaire, mais elle s'en approche. |
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Et la pente est le quatrième paramètre et en bas, c'est un paramètre dans cette équation. |
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d est notre asymptote supérieure, c'est-à-dire le haut ; c est l'asymptote inférieure en bas ; |
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J'ai indiqué que a représente la pente ; et b la valeur IC50 ou EC50, c'est-à-dire le point médian et la concentration correspondante sur l'axe des abscisses. Il s'agit donc de l'équation d'une fonction logistique classique à 4 paramètres. |
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D'accord. Donc, dans le monde des produits biologiques et pharmaceutiques, une grande partie des méthodes de test standard repose sur ce qu'on appelle un dosage. |
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Les tests eux-mêmes ne sont rien de plus qu'une méthode d'analyse pour les produits biologiques et pharmaceutiques. Dans ce cas précis, il s'agit d'une plaque standard à 96 puits. |
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Ce dispositif est utilisé pour ce type d'analyses. Chaque petit cercle représente en réalité un puits, une petite cavité dans une plaque de plastique où l'on peut déposer des échantillons. |
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Nous pouvons donc remplir les 96 puits, qui auront un agent de liaison au fond et un agent de fluorescence. |
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Ces substances contiennent également de la matière. Ainsi, une fois exposées à une certaine longueur d'onde de lumière, elles deviendront fluorescentes. Et selon le degré de liaison, on obtiendra différentes valeurs de fluorescence. |
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Comme je l'ai dit, ces valeurs de fluorescence peuvent aller de 10 à 100 000, voire un million. Tout dépend du format. Elles peuvent être très élevées. |
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En général, sur une plaque, on place sept ou huit concentrations différentes d'une courbe, et la courbe serait : |
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comme nous l'avons montré dans la diapositive précédente, représentatif d'un seul matériau avec différentes quantités pour les concentrations. |
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En général, on commence par le haut de la plaque et on y met la concentration la plus élevée, puis on dilue progressivement cette concentration vers les puits situés en dessous. |
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Donc, si la valeur initiale est par exemple 16, on pourrait utiliser une solution sérielle 4 pour 1. On obtient ainsi quatre éléments dans la colonne suivante et un dans la ligne suivante. Excusez-moi… |
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Un quart, un seizième, et ainsi de suite. On obtient donc des dilutions successives du matériau déposé sur la plaque. Il y a souvent des doublons ; les colonnes cinq et six peuvent donc contenir le même matériau, simplement deux fois, afin d'obtenir une certaine variabilité dans notre courbe. |
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Bien souvent également, lorsque nous effectuons un test pour un produit biologique ou pharmaceutique, nous testons plusieurs doses simultanément. |
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L'idée est donc que, sur la même plaque, au même moment, lorsque nous avons différentes doses que nous essayons de comparer entre elles. |
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Par exemple, les colonnes 11 et 12 pourraient indiquer une dose, disons 1 milligramme par kilogramme, et les colonnes 9 et 10 une dose différente, par exemple 0,1 milligramme par kilogramme. Nous pourrions vouloir comparer ces différentes doses simultanément. |
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Il convient également de mentionner que JMP permet de tester le parallélisme. J'en reparlerai. De plus, des fonctions intégrées permettent de tester le parallélisme à l'aide du test F ou du test du χ². |
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Très bien, alors jetons un coup d'œil à quelques données dans JMP et entrons tout de suite dans le vif du sujet. |
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Voilà. Juste ici, à gauche, j'ai un journal JMP que je vais utiliser pour cette démonstration. Il est destiné aux matériaux d'essais biologiques non linéaires et aux données difficiles à traiter. |
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Comme je l'ai mentionné précédemment, les deux plateformes dont je vais parler sont l'ajustement de courbe et les plateformes non linéaires. Alors, commençons. |
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Ouvrons nos exemples de données. Affichons quelques exemples. Initialement, je souhaitais utiliser des données réelles d'un client, mais celui-ci a refusé. |
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Mais les données intégrées à JMP dans l'ensemble de données d'échantillons de bioanalyse conviennent parfaitement. Elles sont très similaires à celles que j'aurais utilisées et nous pouvons les utiliser. |
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Alors, tout d'abord, voyons ce que nous avons. Nous avons une sorte de concentration, comme je l'ai mentionné, la dilution en série. Dans ce cas précis, il semble que chaque |
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La rangée inférieure représente les trois quarts de la rangée supérieure. Il s'agit d'une sorte de concentration logarithmique. C'est simplement le logarithme décimal de la concentration. |
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La formulation semble comporter plusieurs formulations, ou il pourrait tout aussi bien s'agir de doses. Quant à la toxicité, elle pourrait correspondre à la valeur y ; notre réponse pourrait être la fluorescence, ou le logarithme de la fluorescence, quelque chose de similaire. Donc, si nous examinons ces données en utilisant |
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Avec Graph Builder, par simplicité, on place la toxicité sur l'axe des y et peut-être la concentration logarithmique sur l'axe des x. |
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On constate qu'il existe une fonction similaire à la régression logistique à 4 paramètres que j'ai mentionnée précédemment, à ceci près que son sens est inversé. Cela ne pose aucun problème. |
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La spline cubique utilisée s'ajuste assez bien aux données. On peut la supprimer et se contenter d'observer les données brutes. |
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Il y a évidemment beaucoup de données. Apparemment, il y a quatre valeurs par concentration. Ah oui, il y avait une formulation dont nous n'avons pas encore parlé. |
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Et avec ça, on pourrait faire plein de choses dans Graph Builder. On peut l'intégrer au groupe y et obtenir quatre courbes différentes. Prenons par exemple une spline cubique. |
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norme, Test A, Test B et Test C. |
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Vous pouvez maintenant modifier les couleurs. Elles sont plus difficiles à voir car nous n'avons qu'une seule courbe d'ajustement. Nous pourrions aussi simplement la prendre et la placer dans la zone de superposition. |
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qui est la zone que j'utilise le plus souvent, et ce que cela fait, c'est que cela correspond en fait à une spline cubique individuelle pour chacune de mes différentes formulations. |
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C'est plutôt bien. On constate que trois d'entre eux sont assez similaires, sauf un : le vert. Le vert est le test B. |
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Bon, rappelons-nous que le test B est différent des autres. Et la norme n'est qu'une des formulations étudiées. Il semble donc qu'ils essaient de comparer trois tests différents à la norme, qui est… |
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Intéressant. Bon, je vais donc clore cette discussion. |
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Quelles fonctions d'ajustement de courbe sont disponibles pour ces non-linéaires ? Dans l'onglet « Analyse », sous « Modélisation spécialisée », vous avez le choix entre deux fonctions : « Ajustement de courbe » et « Non-linéaire ». Toutes deux fonctionnent avec des données non linéaires. |
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Commençons par la fonction d'ajustement de courbe. |
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Donc, dans l'ajustement de courbe, nous voulons inclure une sorte de toxicité de réponse y dans notre variable y, et la concentration logarithmique dans notre régresseur. Et initialement, si je dis simplement d'accord, |
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Le résultat obtenu est identique à celui de Graph Builder. Il y a une exception : je peux accéder à la zone située sous le triangle rouge. |
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linéaire, quadratique, cubique, etc. Sigmoïdes |
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Logistique, probits, Gompertz. Ce document ne précise ni la forme exacte des fonctions ni leurs équations. Il faut trouver la bonne. Or, il se trouve que je sais que je cherche la fonction de Hill. |
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Et cela se cache ici, dans les courbes sigmoïdes, les courbes logistiques, et voici la fonction d'ajustement logistique à 4 paramètres de Hill. C'est cette fonction que je souhaite utiliser. |
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Je peux cliquer dessus et j'obtiens quelque chose qui ressemble beaucoup à ce que j'avais dans Graph Builder, sauf que maintenant j'ai des estimations de paramètres en bas. |
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Rappelez-vous, nous avions une asymptote inférieure ; une asymptote supérieure ; un taux de croissance, qui est la pente ; |
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Le point d'inflexion, c'est la valeur EC50, soit le point à mi-chemin entre le haut et le bas de l'axe des abscisses. Ce sont les estimations. C'est bien, mais je préférerais avoir des graphiques séparés pour chacun de mes |
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différent |
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Je vais donc recommencer. Je vais relancer cette page en y ajoutant la formulation. Je peux maintenant placer la formulation dans la catégorie « Par catégorie » ou dans la catégorie « Groupe ». Si je la place dans la catégorie « Par catégorie » et que je clique sur OK, |
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J'obtiens quatre courbes distinctes. Ce n'est pas mal. Et si je maintiens la touche Ctrl enfoncée et que je clique sur le triangle rouge correspondant à l'une d'elles, puis que je sélectionne « Sigmoïde logistique, Hill à 4 paramètres », |
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Ce programme va en fait ajuster une courbe pour chacun des quatre tests séparément et me donner les estimations pour chacun d'eux. Voici donc le premier test, le test A : |
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Voici ses estimations ; voici le test B avec ses estimations. Remarquez que les asymptotes sont différentes. Et le test C. C'est bien, mais ce n'est pas encore exactement ce que je recherche. |
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Je vais donc clore ce sujet. Je vais |
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Je relance l'analyse, mais cette fois-ci, je vais prendre la formulation et la classer dans la catégorie « Groupe ». Et une fois encore, en faisant cela, je vois que les quatre courbes sont maintenant superposées. Je peux ensuite cliquer ici sur « Sigmoïde », « Logistique » et « Hill à 4 paramètres ». |
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et maintenant, ce que cela me montre, ce sont les quatre courbes d'ajustement différentes superposées les unes sur les autres sur le graphique. |
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Je peux également obtenir les estimations des paramètres pour ces quatre-là ici même. Elles devraient donc être identiques à celles que nous avons vues dans la capture d'écran précédente. |
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Mais maintenant, visuellement, je peux superposer ces quatre graphiques et voir à quoi ils ressemblent. Se ressemblent-ils ou non ? |
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Donc c'est, c'est plutôt bien. |
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Je veux dire, ça pourrait suffire pour vos besoins. Et si vous voulez extraire ces estimations à partir de ce paramètre particulier... |
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Pour les estimations des paramètres, je peux faire un clic droit et choisir « Transformer en tableau de données », ce qui me permet ensuite d'utiliser ce tableau de données contenant les estimations, et de faire ce que je veux. |
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Voilà, c'est bon à savoir. Je vais clore ce sujet. |
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Jetons donc un coup d'œil rapide à la plateforme non linéaire. Analyse, modélisation spécialisée, non linéaire. Cela semble similaire. Si je mets la toxicité dans ma réponse y, la formulation dans mon groupe, et la concentration logarithmique dans ma réponse x, je dis : d'accord. |
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Je comprends, ah oui, ça correspond… il est écrit courbe d'ajustement. On vient de faire une courbe d'ajustement, non ? Et oui, c'est bien ça. C'est exactement comme si j'allais ici, dans Analyser, Sélection, Courbe d'ajustement, je clique sur Rappel et je dis : OK. |
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Elles sont identiques. Si je ne modifie rien dans la plateforme non linéaire, je me retrouve en fait dans la plateforme d'ajustement de courbe. Alors, que pouvons-nous faire de différent par rapport à la modélisation non linéaire spécialisée ? |
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Je vais utiliser la fonction de rappel pour tout récupérer. Notez qu'il y a une bibliothèque de modèles à gauche. Notez également que ce x pourrait être une formule de prédiction, et pas seulement des valeurs x. |
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Donc, si je clique sur bibliothèque de modèles, j'ai accès à de nombreux modèles parmi lesquels choisir. Et encore une fois, |
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Je ne sais pas vraiment ce que c'est. Mais remarquez, si je clique dessus, j'ai accès à une fonction, je peux même afficher le graphique. Et ça m'en donne une image. Oh, ça ressemble à ce que je cherche. Mais c'est un peu inversé. Donc, |
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Ça, ça pourrait me convenir. Euh, mais je ne vois pas la fonction de Hill. Je vois la fonction de Rodbard. C'est celle à cinq paramètres, Richard. Où était-elle ? Les modèles de Rodbard sont similaires, mais il n'y a aucune trace de la fonction de Hill. Ce n'est donc pas exactement ce que je cherche. |
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Mais cela me permet de faire certaines choses. La seule chose que la plateforme non linéaire me permet de faire, c'est de… |
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est-ce que cela me permet de réellement |
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Spécifiez vous-même les paramètres et verrouillez-les. |
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Qu'est-ce que je veux dire par là ? Eh bien, disons simplement que je vais dans la bibliothèque de modèles et que je choisis « logistique, 4 paramètres ». Et je dis : |
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Est-ce une formule de fabrication, je crois ? Toxicité ici. Concentration logarithmique ici. Oups. |
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Je note ici la concentration du logarithme de la formulation et je dis : « OK, et c'est standard. » |
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Bien. D'accord. |
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En fait, elle s'ajuste bien à 4 paramètres en utilisant une fonction qui n'est pas tout à fait celle que je recherche. |
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Et vous savez, ce n'est pas mal. Mais là, remarquez que je peux modifier ces différents paramètres à l'aide des curseurs. C'est plutôt intéressant. |
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Je peux donc utiliser la fonction « Créer une formule », et elle a effectivement inséré une formule dans mon tableau de données. Si je regarde la formule, elle se trouve ici et elle comporte des paramètres avec des valeurs initiales, ainsi qu'une longue équation pour les quatre variables. |
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Donc, au lieu de cela, je peux revenir ici maintenant, intégrer cela dans mon prédicteur x et dire « ok ». |
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Et ce que ça fait, c'est que ça affiche les quatre fonctions et leurs valeurs initiales. Si je clique sur « Go », ça va essayer de les ajuster. |
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Et remarquez qu'en fait, il a réussi à les intégrer en seulement quatre itérations. C'est plutôt rapide, d'ailleurs, car la limite est de 60 éléments ; il les a tous intégrés, et parfaitement. Mais notez que je peux modifier ces paramètres grâce aux curseurs ci-dessous. |
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D'accord. |
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Ou alors, je peux modifier ces valeurs directement… Je peux saisir des valeurs réelles, mais je peux aussi modifier les valeurs actuelles et les enregistrer. Cela peut s'avérer très utile et je vais vous le démontrer avec mes données récalcitrantes. |
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Je vais clore ce sujet et supprimer cette colonne. |
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Très bien, nous avons donc cet ensemble de données, notre ensemble de données initial, toujours disponible. Examinons maintenant nos données problématiques. |
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Je vais supprimer une ligne de données sur deux, ainsi que toutes les valeurs de concentration les plus faibles. Je vais donc cliquer sur le bouton « Réduire les données » et éliminer les valeurs les plus basses. Une ligne sur deux a déjà disparu, et maintenant, je vais supprimer toutes les valeurs les plus basses. |
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Alors, quel est l'effet exact sur nos données ? Si nous y regardons de plus près… Passons rapidement à l'outil d'ajustement de modèle, plus précisément à l'outil d'ajustement de courbe. Et donc, rappelons-le. |
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Nous n'avons plus que les cinq points les plus élevés sur la courbe. Si je viens ici et que je dis « ajuster la courbe », et que j'utilise une fonction sigmoïde, logistique… sigmoïde, logistique, Hill… |
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Et il a effectivement ajusté des courbes à ces cinq points de données séparément. Mais remarquez quelque chose : j’évoque ce point et je le mets en évidence. |
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Remarquez que mes asymptotes inférieures sont toutes complètement différentes. Il y en a une troisième. Et si je continue, j'arriverai finalement à la quatrième, qui se situe tout en bas, à environ -80. Donc, quatre asymptotes inférieures totalement différentes. |
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Ça n'a aucun sens, n'est-ce pas ? Ça épouse bien les courbes du haut, mais pas du tout celles du bas. Le haut est plutôt réussi, mais le bas, non. |
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Donc, plutôt que d'extrapoler, bien souvent lorsque nous effectuons ces analyses, |
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Le client, l'utilisateur, déposera sur la plaque des blancs, c'est-à-dire des matériaux volontairement non concentrés. Il s'agit généralement de matériaux de fond présents dans l'analyse elle-même. |
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Et dans ce cas précis, il se trouve que je sais que des cartouches à blanc ont été utilisées et que la moyenne de ces cartouches à blanc, comme je le disais plus bas, était de 0,5. |
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La moyenne était donc de 0,55. En réalité, lorsque nous atteignons cette valeur de 0,55, toutes les asymptotes inférieures devraient converger vers 0,55. |
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Mais je ne peux pas, je ne peux pas modifier cela ici, sur la plateforme d'ajustement de courbe. Ah, mais je peux le faire sur la plateforme non linéaire. |
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Mais je ne dispose pas de la fonction Hill dans la plateforme non linéaire, ce qui rend la situation un peu confuse. |
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Mais nous pouvons contourner ce problème. En utilisant une plateforme à courbe épaisse, une fois mon modèle ajusté, la colline logistique 4P, je peux en fait enregistrer une formule. |
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Je peux enregistrer une formule de prédiction. Ou je peux enregistrer une formule de prédiction paramétrique. |
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Et il y a une différence ici. La formule de prédiction enregistre ces fonctions exactement telles quelles, tandis que la formule de prédiction paramétrique est légèrement différente. Dans ce cas précis, |
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Voici la formule de prédiction paramétrique. Si nous l'examinons, elle révèle les quatre équations suivantes. |
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Comme je l'avais prévu, si la formulation est standard, utilisez ceci ; s'il s'agit du test A, utilisez cela. Vous trouverez tous les paramètres ci-dessous. En fait, si je copie et colle ceci dans un autre document… |
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Je fais ça très rapidement, je monte ici et je dis Fichier, Nouveau, excusez-moi... fichier, nouveau, est-ce qu'un journal conviendrait ? |
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Journal |
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Ça ne marche pas. Ce n'est pas grave. |
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Alors allons-y |
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J'ai un nouveau script. |
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Coller. Voilà. Remarquez en haut tous mes paramètres. |
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En bas se trouve la formulation… la formule que nous avons vue ici à droite. Tout est repris, mais il s'agit ici des valeurs initiales de la fonction. Je voulais simplement le montrer car c'est un peu caché si on ne comprend pas les paramètres. |
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Mais grâce à ça, je peux maintenant venir... |
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Venez (laissez-moi revenir en arrière. Désolé.) pour analyser, modélisation spécialisée, non linéaire, et je peux utiliser ce prédicteur dans ma valeur x. |
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Mon y peut représenter ma toxicité ; la formulation représente mon groupe, je peux dire d'accord et voici maintenant ces cinq mêmes points de données par courbe. |
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Ces graphiques ont un aspect étrange, mais notez que je peux, une fois de plus, les modifier. Je sais que le paramètre c correspond à mon asymptote inférieure. Je peux donc le modifier à 0,55 et le valider. |
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Donc 0,55. |
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En procédant ainsi, vous constatez que les courbes se modifient. Elles ne sont pas encore parfaitement ajustées, mais cela nous permet d'imposer une valeur que nous estimons correcte. |
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Ce que je veux aborder, c'est ce que vous allez voir. |
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Cela a permis de fixer toutes les valeurs à 0,55 pour les asymptotes inférieures. Je peux maintenant cliquer sur « Lancer », ce qui lancera l'ajustement. |
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Ce que vous voyez, c'est qu'en seulement sept itérations, il a ajusté le reste des paramètres à ces quatre courbes, de sorte que les asymptotes inférieures sont toutes de 0,55. |
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C'est parfait. C'est exactement ce que je souhaite dans ce cas précis. Et donc, une fois de plus, sous le triangle rouge, je peux enregistrer une formule. |
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Dans ce cas précis, je ne peux pas enregistrer la prédiction paramétrique. Je peux seulement enregistrer cette prédiction, mais c'est possible. Je peux donc l'utiliser ici. Et où pourrais-je l'utiliser ? |
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Rappelez-vous, j'ai dit que si je viens ici sous Graph Builder et que je mets ma toxicité sur l'axe y ; la concentration logarithmique sur l'axe x ; |
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Dans ma formulation, peut-être dans ma superposition, voici ce que je vois. Je peux aussi l'apporter ici. |
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La formule… la formule… oui… oui… elle-même. Et parfois, cela peut être utile. Dans ce cas précis, elles se ressemblent vraiment beaucoup. Ce que je peux faire, c'est supprimer la courbe de mes points et lisser la formule elle-même. |
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Voici donc la direction. En réalité, il s'agit des courbes propres à la fonction, et non de la fonction de lissage. C'est donc une façon de représenter correctement les courbes de cet ensemble de données, même lorsque celles-ci présentent des caractéristiques irrégulières. |
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Et je dis « mal comportée » ici parce que nous n’avons pas d’asymptote inférieure, mais nous avons quelque chose que nous pouvons utiliser à sa place. |
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Voilà ce que je voulais vous montrer. Et je trouve ça plutôt cool. Le truc, c'est que… |
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Il faut pouvoir faire des allers-retours, ou du moins c'est parfois nécessaire, entre la courbe épaisse et les plateformes non linéaires pour obtenir ce que l'on souhaite vraiment tirer de JMP. |
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La fonctionnalité dont vous avez vraiment besoin, mais je pense que c'est vraiment excellent. Vous pourriez par exemple effacer l'état des lignes et afficher toutes les données (j'aurais dû conclure, mais je ne l'ai pas fait), différentes formulations et superpositions, la concentration logarithmique |
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Et voici les courbes, mais vous pourriez en fait utiliser la formule de prédiction à la place. |
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pour obtenir les formules exactes que vous souhaitez. Et c'est vraiment agréable à voir. |
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Ce n'est pas un sujet dont on parle vraiment. Il y a un |
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un lien, un lien vers un blog dans les discussions JMP que Mark Bailey et quelqu'un d'autre ont publié, je crois, il y a deux ans, qui décrit cette méthodologie, une grande partie de cette méthodologie. |
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Je l'ai découvert hier, bien après l'avoir déjà compris moi-même, mais j'ai pensé qu'il valait la peine de le partager avec tout le monde, comment nous pouvons ajuster ces modèles non linéaires, en particulier dans le domaine dose-réponse ou |
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Ces différents produits biologiques sont des produits pharmaceutiques, surtout avec toutes les discussions actuelles autour de la Covid-19 et les nombreuses recherches en cours dans ce domaine. Donc, |
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Je voulais simplement vous remercier. Enfin, voici mes coordonnées : je suis Martin sur les forums de discussion JMP et j’y participe assez régulièrement. |
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Mon adresse courriel figure également ci-dessous si vous avez des questions. Merci beaucoup pour votre temps. Je suis à votre disposition pour toute question. Merci. |
