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冠狀病毒風險分析：統計分析應盡量簡單，但不能過於簡單（2020-US-45MP-598）

Roland Jones，亞馬遜 Lab126 資深可靠性工程師
拉里·喬治，從事統計的工程師，獨立顧問
Charles Chen，SAE MBB，應用材料公司品質經理
Mason Chen，史丹佛大學職業健康與安全專業學生

派崔克‧朱利亞諾，雅培結構心臟資深品質工程師

新型冠狀病毒疫情無疑是當今時代最嚴峻的全球健康挑戰。疫情期間感染和死亡數據的分析，為我們提供了一個絕佳的範例，讓我們得以在這樣一個具有回饋機制的系統中處理真實世界中不完美的數據。隨著疫情的進展（例如社會行為的改變以遏止疫情），該系統的參數也會隨之調整。面對像 JMP 這樣功能強大的工具，我們很容易將資料直接匯入其中，讓它自動完成所有工作。然而，了解疫情期間的實際情況，能夠幫助我們識別資料中哪些特徵源自於自身的不完美，從而避免過度分析帶來的成本和複雜性。此外，對物理系統的理解使我們能夠以一種出人意料的簡單方式（例如在「Fit Y by X」平台中使用 OLS 線性回歸）選擇合適的數據表示方法，並以此預測疾病的傳播，且預測精度相當高。類似地，我們可以將資料分成不同的階段，並透過繪製「Fit Y by X」平台中「非參數密度圖」的「擬合分位數與時間」圖，為資料提供不同的背景資訊。要探究疫情傳播以外的其他方面，需要進行更複雜的分析，例如回答「如果我生病了，我能活多久？」和「如果我沒死，我會病多久？」這類問題。在這種分析中，精算率估計為馬可夫鏈近似的SIR模型提供了轉移機率，該模型模擬了易感人群到移除（隔離、庇護等）、感染者到死亡以及感染者到治癒的轉移過程。生存函數模型則用於指導後勤保障、資源分配以及與年齡相關的人口結構變化。預測疾病進展出乎意料地簡單。而回答有關疫情本質的問題則複雜得多。在這兩種情況下，我們都力求分析盡可能簡單，但絕對不會太簡單。

自動產生的成績單…

揚聲器	文字稿
羅蘭瓊斯	您好，我叫羅蘭瓊斯，在亞馬遜126實驗室擔任可靠性工程師。
	我和我的團隊
	我們在五月初整理了提案摘要，當時我們擔心到十月份 COVID-19 就會成為過時的新聞。
	截至8月21日錄製這段影片時，情況遠非如此。我真心希望到10月份你們觀看這段影片的時候，一切都能得到控制，生活也能恢復正常，但我懷疑不太可能。
	JMP功能強大，很容易讓人忍不住把資料一股腦兒地輸入工具，看看會得到什麼結果。新冠疫情就是一個很好的案例。
	為什麼不應該這樣做？資料不完整甚至被篡改、環境變化、行為變化以及知識和資訊的變化，這些因素都使得簡單地將資料輸入工具並觀察結果的做法尤為危險。
	了解底層系統的運作機制。一旦了解系統，就可以考慮我列出的那些因素的影響。
	使建模和分析能夠適應系統中實際發生的情況，避免分析或被資料中的缺陷所干擾。
	這也有助於簡化分析。本次簡報的主旨是盡量保持簡潔，但又不會過於簡單。
	簡報的後半部有些內容並不簡單，但即便如此，我們仍在努力使內容盡可能簡單易懂。
	我們首先研究了韓國的疫情。韓國早期感染率很高，數據來源可靠透明。
	順便一提，簡報中的所有數據均來自約翰霍普金斯大學資料庫，數據截至 8 月 21 日該簡報錄製時為止。
	這是一個很難擬合趨勢線的資料集。
	我們知道疾病自然呈指數級增長。所以，讓我們嘗試一些與指數相關的事物。
	如您所見，這並不合適。而且很難想像有什麼函數能夠擬合整個資料集。
	在前40天裡，可以看到類似指數成長的趨勢。所以我們就只專注在這一部分。
	指數擬合效果很好。
羅蘭瓊斯	我們可以將資料分成不同的階段，並分別對每個階段擬合函數。
	1、2、3、4 和 5。
	選擇曲線似乎過渡到不同類型行為的分區點。
	我們使用 JMP 的非線性擬合工具對擬合函數中的參數進行了最佳化。有關如何使用該工具的詳細信息，請參見附錄。
	非線性分析也得出均方根誤差結果和殘差的σ值。
	因此，第一階段我們擬合了指數函數；第二階段對數函數；第三階段線性函數；第四階段再次對數函數；第五階段再次線性函數。
	可以看出，每個階段的擬合效果都很好，且均方根誤差非常低。然而，由於分割點是刻意選擇在曲線變化點附近選取的，因此均方根麵積較低也在預期中。
	由於劃分點是根據現有資料選擇的，因此趨勢線的預測能力微乎其微。這一點可以從6月19日分析後的數據看出。
	如果我們能獲得額外的數據，我們可以選擇不同的分區點，從而獲得更好的擬合效果，但這並不能幫助我們預測新數據以外的情況。
	分區點確實顯示了疫情行為的變化，但這在進行分析之前就已經可以看到了。
	此外，也沒有說明為什麼不同階段的擬合函數不同。
	這項練習確實說明了模擬疫情爆發的難度，但並沒有為我們提供太多關於疫情現狀或發展趨勢的有用資訊。我們需要更簡單的模型。
	我們正在處理的是一個具有自學習能力的系統。
	隨著我們整個社會對疾病的了解加深，我們會改變自身行為以限制疾病傳播，進而改變疫情的發展軌跡。
	讓我們從數字本身入手，反向推算，探究導致疫情爆發的機制，看看是什麼因素在驅動這些數字。
	新聞充斥新冠肺炎疫情數據，美國確診病例突破500萬，死亡人數超過15萬。加州的感染人數高於紐約。美國每日新增感染病例可能超過10萬人。
	單一數字的幫助不大。
	圖表有助於將數字置於具體的脈絡中理解。
	正確的圖表可以幫助我們了解系統中正在發生的事情。
	疾病呈指數級增長。一人傳染兩人，兩人傳染四人，四人傳染八人。
	人眼對不同類型的曲線區分能力較差，但對曲線和直線區分能力較強。使用對數座標作圖會將指數成長和指數下降轉換為直線。
	此外，在對數尺度上，早期資料現在清晰可見，而這些資料在線性尺度上是無法顯示的。許多國家顯示出一個，有時是兩個平台期，而這些平台期在線性尺度上是無法顯示的。
	在線性圖中，你可以看到韓國的經濟經歷了一個、兩個平台期，而最近，它又開始進入第三個平台期。
	我們如何模擬這種行為？
	我們繼續挖掘。
	對數感染人數圖表的斜率代表成長百分比。
	繪製百分比增長圖可以為我們提供更多有用的信息。
	百分比成長有助於突出哪些方面發生了變化。
	如果你看一下美國數據的下降趨勢（圖中橙色線），你會發現下降趨勢在 4 月中旬開始放緩，並在 6 月中旬開始逆轉。
	這一點雖然可見，但在感染率圖表中並不十分明顯。在百分比增長圖表中則更容易看清。
	許多國家的經濟成長率在對數座標系下呈現線性下降趨勢。義大利就是一個典型的例子。
	但在中國，這一點也顯而易見。
	在韓國，
	在俄羅斯也是如此，在其他許多國家也有某種程度的類似情況。
	為什麼會發生這種情況？
	直覺上，我預期當行為改變時，成長率會下降到一個較低的百分比並保持在那裡，而不是呈指數級下降到零。
	我從二月底開始繪製 COVID-19 的圖表，不是為了預測疫情爆發，而是因為我對當時發布的圖表感到失望。
	在看到百分比成長呈線性下降趨勢後，我開始對預測產生了興趣。
	透過線性迴歸外推該百分比成長率線，實際上可以很好地預測未來成長率，但這種方法僅在成長率下降時有效。當成長率上升時，這種方法則完全無效。
	再回到美國橙色線，如果我們從這裡這個小段上升期（從六月中旬到七月底）進行推斷，
	我們可以預測，到 7 月 22 日左右，成長率將達到 30%，到 8 月 20 日至 26 日，每週成長率將達到 100%，並且此後將繼續成長，不斷攀升。
	顯然，這種模型與現實不符。
	稍後我會再談到百分比成長率的指數級下降。現在，我們先來看看隨著疫情蔓延，究竟發生了什麼事。
	人們會經歷從易感疾病到感染疾病再到具有傳染性的整個過程。
	從出現症狀到不再具有傳染性，再到復原。
	這是馬可夫SIR模型。 SIR分別代表易感者、感染者和康復者。新增的傳染期、有症狀期和非傳染期三個階段，有助於我們模擬疾病傳播，並與我們實際可測量的指標相關聯。
	注意「感染」和「傳染」的差別。 「感染」指的是你患有這種疾病；「傳染」指的是你可以將疾病傳染給別人。這兩者很容易混淆，但它們是不同的，在接下來的分析中，我們會用不同的方式來理解它們。
	所示時間為最佳估計值，實際時間可能差異很大。從感染到出現症狀可能需要 3 到 14 天，對於某些感染者而言，
	他們從不出現症狀。
	我們唯一能取得的數據是確診感染病例，這些病例通常來自檢測結果，而檢測結果通常是在出現症狀之後得出的。
	即使對無症狀者進行檢測，從感染到獲得陽性檢測結果大約需要五天。
	所以我們一直在查看所有數據。我們永遠無法直接觀察到真實的感染人數。
	因此，如圖所示，這種疾病是從上到下在個體中傳播的。
	我們有一個傳染源池，這個池子不斷被新感染者補充，而這個池子又被不再具有傳染性的人排出。
	疾病從左到右在人群中傳播。
	當易感人群接觸到傳染性人群並被感染時，就會產生新的感染病例。
	新感染者加入等待傳染的行列，如此循環往復。
	這個循環是由傳動裝置控制的。
	一個傳染性患者每天感染一個易感人群的可能性有多高？
	傳染者在傳染期內可能感染的人數。
	整個循環都圍繞著傳染人數和傳播或繁殖。
	除非新冠病毒開始變異，否則個體保持傳染性的時間應該相對恆定。
	傳播方式會因社會行為和易感人群規模的不同而顯著改變。
	我們估計，傳染期平均約為九天。
	因此，我們可以將傳染人數估計為過去九天內確診感染的人數。
	在某些方面，這是一種低估，因為它不包括已感染但尚未出現症狀或無症狀或尚未獲得陽性檢測結果的人。
	從其他方面來看，這個數字偏高，因為它包含了很久以前就已感染但直到現在才檢測呈陽性的人。這只是一個估計值。
	根據傳染人數的估計，我們可以推導出傳染人數的成長百分比。傳染人數的估計值是高估還是低估都無關緊要。
	只要估計值的百分比誤差保持不變，傳染性的百分比成長就是準確的。
	傳染病的百分比增長，因為在使用它來推導傳播途徑，
	這兩個變數之間的方程式的推導過程可以在附錄中找到。
	要知道這個方程式可以讓你根據傳染人數的百分比增長推導出傳播率和繁殖率，但它不能告訴你給定傳播情況下傳染人數的百分比增長。
	這只能透過數值方法求解。
	我在附錄中概述瞭如何使用 JMP 的擬合模型工具來實現這一點。
	複製和傳播密切相關，但複製具有易於理解的先進優勢。
	如果該數值大於1，則疫情正在失控蔓延。感染人數將持續成長，看不到盡頭。
	如果該數值小於1，則疫情正在消退，得到控制。雖然仍有新增感染病例，但數量會逐漸下降至歸零。疫情結束的曙光就在眼前，儘管可能還需要很長一段時間。
	傳染人數是疫情爆發的根本驅動力。
	傳染人數呈指數級增長和下降。我們可以透過推斷傳染人數的成長或下降趨勢來預測疫情的走向。這裡我們分別對俄羅斯、義大利和中國進行了分析。
	還記得之前提到的那個有趣的觀察結果嗎？感染率的成長百分比呈指數級下降，原因如下。
	如果基本傳染數小於 1 且保持不變，則傳染人數將呈指數級下降至零。
	傳染性人群是疫情爆發的驅動力。
	感染人數的成長百分比與傳染人數成正比。因此，如果傳染人數呈指數級下降，那麼感染人數的成長百分比和感染總數也會呈指數級下降。謎團解開了。
	在對數座標軸上繪製傳染人數的斜率，可以得出傳染人數的百分比成長，然後透過上一張投影片上的方程式，可以得出傳播和繁殖情況。
	請注意，數據中存在每週週期性波動。這在巴西尤為明顯，但在其他國家也同樣可見。
	這可能是由於週末的報告數據與平日不同，也可能是因為人們在周末更容易感染。無論如何，我們在利用傳染性人群預測疫情爆發時，都必須將這種季節性因素納入考量。
	由於社會行為不斷變化，傳播和繁殖方式也會隨之改變。因此，我們不能利用整個分佈情況來進行繁殖。
	我們選擇17天作為估算繁殖率的週期。我們發現一週的時間略短，不足以過濾掉所有噪音；兩週的效果更好；兩個半星期的效果更佳。多出的半週時間更有利於提高繁殖率。
	消除了我們在數據中看到的季節性波動。
	JMP 中有一個時間序列預測工具可以幫助我們完成所有這些工作，包括季節性，但由於我們正在對資料的一小部分進行回歸，所以我們發現該工具沒有幫助。
	以下是推導出的傳播率和再生率。
	你可以看出它們變化很快。
	這些數據很容易讓人困惑。韓國的生育率顯著上升，但整體狀況良好。美國、巴西、印度和南非的生育率則較低，但它們的生育率似乎都在1左右或更低。
	這有點令人困惑。
	為了幫助減少對生殖的困惑，這裡有一點微積分知識。
	汽車行駛時，油門踏板控制加速。
	要預測汽車將要到達的位置，你需要知道你在哪裡，你的行駛速度是多少，以及你的加速或減速的幅度是多少。
	同樣，要預測疫情的走向，我們需要知道感染人數，這相當於傳播距離。我們需要知道感染擴散的速度，或者說有多少人具有傳染性，這兩者都等於傳播速度。
	我們需要知道傳染人群的成長速度，也就是傳播或繁殖速度，這相當於加速。
	兩者之間略有不同。距離與速度成線性關係，而速度與加速度成線性關係。
	感染人數與傳染人數呈線性成長，但傳染人數與繁殖率呈指數成長。
	雖然略有不同，但原理是一樣的。
	美國、巴西、印度和南非都長途跋涉，感染率高，而且傳播速度很快，傳染性極強。即使傳播速度略微加快，也會對感染人數產生巨大影響。
	另一方面，韓國疫情發展速度並不快，傳染性也低。因此，韓國有足夠的應對空間來應對疫情加速階段的短暫波動，並在不造成太大影響的情況下重新控制疫情。
	此外，當傳染人數較少時，即使新增少量傳染者也會導致病毒傳播速度顯著加快。疫情控制良好的國家也容易出現這種傳播速度的波動。
	你必須將這三個因素都考慮在內。
	（感染人數、傳染人數和繁殖率）用來判斷一個國家的情況是好是壞。
	在 JMP 中，有兩種​​方法可以進行迴歸分析，從而獲得傳染性的百分比成長。一種是「擬合 Y 對 X」工具，另一種是非線性工具。附錄中詳細介紹如何使用這兩種工具。但我們先來比較一下它們所產生的結果。
	圖中所示圖表比較了兩種工具的預測結果。用於預測的17個資料點以紅色標示。
	兩種工具的預測線幾乎完全相同，但在置信線存在一些明顯的差異。
	非線性工具的置信線效果好得多。 「擬合 Y 對 X」工具會將資料轉換到線性空間，然後再找到最佳擬合直線。
	這導致成本降低…較低的會議線在轉換回原始空間後更接近預測線。
	當定義疫情爆發的參數不斷變化時，信賴區間的作用就不大。充其量，它們只能幫助你判斷這些參數何時發生了確定性的變化。
	在我的腳本中，我使用列公式計算線性迴歸，因為它很容易透過變數進行調整。這樣就可以隨時調整分析，而無需在 JMP 中開啟相關工具。
	我目前的分析中沒有使用置信線。因此，我正在研究如何將它們整合到列公式中。
	線性迴歸更簡單，而且能得到幾乎相同的結果。再次強調，保持簡單就好。
	我們已經看到，透過擬合指數函數來預測未來是否會有傳染性人群，以及推導出傳播情況。
	現在我們有了傳染人數的預測線，我們需要將其轉換回感染人數。
	記住，新增感染病例意味著有更多人具有傳染性，並且透過傳播不斷增加感染人數。
	傳播率是指一個傳染性患者每天感染一個易感患者的機率。
	圖中展示了根據此計算結果得出的預測圖表。請注意，韓國和義大利的感染成長率較低。
	然而，根據過去17天的數據推斷，它們的病毒繁殖率很高。所以，像韓國和義大利這樣的國家，雖然成長率低，但由於病毒繁殖率高，你可以看到它們的疫情正在迅速蔓延。
	預測做出後的兩到八週內，感染人數的成長將變得顯著。
	對於韓國來說，這種情況不太可能發生，因為他們的行動比較緩慢，有足夠的空間將局勢重新控制。
	韓國在開放過程中曾多次出現此類小插曲，但總能設法將局勢重新控制住。
	在右側的預測成長百分比圖中，請注意韓國和其他領先國家的不斷增長的百分比增長不會無限期地持續下去，而是在一段時間後趨於平穩。
	百分比成長率仍呈指數級下降，但不會呈指數級增長。
	它趨於平穩。
	總而言之，
	傳染人數是疫情爆發的驅動因素。
	該指標通常不予公佈，但它與固定時間內的新增感染人數接近。
	過去一週的新增感染人數是最接近的常規報告指標，它代表了傳染人數。這才是我們該關注的重點，而不是感染總數或每日新增感染人數。
	傳染人數指數迴歸可以預測未來傳染人數的可能水準。
	傳染病的百分比增長反映了傳播和繁殖情況。
	傳染人數和傳播人數可以結合起來預測未來新增感染人數。
	這種預測方法假設病毒的傳播和繁殖是恆定的，但事實並非如此。它們的行為會改變。
	但這些預測仍然很有用，可以顯示如果行為不改變將會發生什麼，或者為了避免某些里程碑事件的發生，行為需要改變多少。
	彌合這一差距的唯一方法是找到一種用數學方法模擬人類行為的方法。
	如果你們當中有人知道怎麼做，請聯絡我們。我們可以賺很多錢，雖然時間很短。
	這就是模型。讓我們透過查看美國的歷史數據來檢驗它的準確性。
	如前所述，當繁殖率恆定時，此預測方法效果很好；但當繁殖率改變時，此預測方法就不適用了。
	如果我們基於四月下旬到五月初的數據進行預測，只要預測值保持在 1.0 左右，預測就是準確的。
	基本傳染數維持在 1.0 左右。
	當基本傳染數開始上升時，你會發現預測低估了感染人數。
	這項預測是基於6月下旬至7月中旬的數據，當時病毒傳播達到高峰，而各州也開始再次關閉。
	該預測高估了感染人數，因為病毒繁殖率會下降。
	此模型擅長預測行為保持不變時會發生什麼，但不能預測行為改變時會發生什麼。
	我們如何預測死亡人數？
	應該可以估算出從感染到死亡之間的時間間隔。
	然後計算導致死亡的感染比例，並以此預測死亡人數。
	然而，增加檢測和追蹤等行為變化會使檢測到的感染人數產生偏差。
	為了避免這種偏差也影響到死亡人數的預測，我們可以對死亡人數採取與預測感染人數完全相同的數學方法。與感染人數預測一樣，當死亡人數的成長穩定時，死亡人數圖表也能顯示出準確的預測結果。
	請注意，死亡人數的傳染數和基本傳染數並不代表任何真實情況。
	這種方法之所以有效，是因為死亡人數與感染人數成正比，因此遵循相同的趨勢和數學法則。再次強調，保持簡單。
	我們已經看到，模型假設病毒繁殖率恆定，而且沒有考慮群體免疫。
	我們擬合的是指數分佈，但疫情實際上遵循二項分佈。
	當感染人口比例不超過 5% 時，二項分佈和適配指數分佈的差異小於 2%。附錄中有圖表對此進行了說明。
	當超過 5% 的人口因先前的感染或接種疫苗而不再易感時，傳播和繁殖自然會下降。
	因此，基於近期基本傳染數的預測仍然準確，但是基於較早的基本傳染數（群體免疫力明顯較低）的長期預測將會高估感染人數。
	8月21日，美國人均感染率為1.7%。
	如果只有34%的感染者被確診
	如果感染人數達到 5%，並且有數據表明這種情況很可能發生，那麼我們已經達到了群體免疫開始產生可衡量效果的 5% 水平。
	5% 時，繁殖率會降低約 2%。
	這個模型可以向我們展示的是，繁殖率可以告訴我們疫情是在擴大還是在縮小。它大於1，相當於疫情正在加速或縮小；它小於1，相當於疫情正在減速。
	估計的傳染人數可以告訴我們疫情的嚴重程度，以及疫情傳播的速度。
	人均傳染率是選擇適當社會限制措施的正確指標。
	本投影片上列出的社交限制建議改編自哈佛全球健康研究所發布的建議。附錄中有相關參考文獻。
	他們的建議是，當每百萬人中傳染人數少於12人時，檢測和追蹤就足夠了。當每百萬人中傳染人數達到125人時，則需要更嚴格的檢測和追蹤。
	每百萬人中有 320 名傳染者，我們需要嚴格的檢測和追踪，以及一些居家隔離限制措施。
	每百萬人中傳染人數超過320人時，必須採取居家隔離限制措施。
	截至發稿時，美國每百萬人中有 1,290 名感染者，低於 7 月下旬高峰時的 1,860 名。
	觀察各國在決定重新開放時的人均傳染率，會很有啟發性。
	中國和韓國每百萬人中只有少數人具有傳染性。
	除義大利外，歐洲每百萬人中只有幾十人具有傳染性。
	美國決定重新開放時，每百萬人就有數百人具有傳染性。
	我們本不該在五月重新開放。這是一個情緒化的決定，而不是基於數據的決定。
	關於美國重新開放的更多細節。
	正如我所說，截至撰寫本文時，美國人均傳染病發生率為每百萬人 1290 例。
	每百萬人口 1,290 人，繁殖率為 0.94。
	按照目前的人均傳染率和繁殖率，要到 12 月 9 日才能將每百萬人中的傳染人數降至 320 人以下。
	4 月封鎖期間的最低繁殖率為 0.86。

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