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Análisis de riesgo del coronavirus: el análisis estadístico debe ser lo más simple posible, pero no más simple (2020-US-45MP-598)

Roland Jones, ingeniero sénior de confiabilidad, Amazon Lab126
Larry George, Ingeniero que hace estadística, Consultor independiente
Charles Chen SAE MBB, Gerente de Calidad, Materiales Aplicados
Mason Chen, estudiante, OHS de la Universidad de Stanford

Patrick Giuliano, ingeniero sénior de calidad, Abbott Structural Heart

La pandemia del nuevo coronavirus es, sin duda, el mayor desafío para la salud mundial de nuestro tiempo. El análisis de los datos de infección y mortalidad de la pandemia ofrece un excelente ejemplo de cómo trabajar con datos reales e imperfectos en un sistema con retroalimentación que altera sus propios parámetros a medida que avanza (a medida que la sociedad modifica su comportamiento para limitar el brote). Con una herramienta tan potente como JMP, resulta tentador introducir los datos en la herramienta y dejar que haga el trabajo. Sin embargo, el conocimiento de lo que ocurre físicamente durante el brote nos permite ver qué características de los datos se deben a sus imperfecciones y evitar el gasto y la complicación de analizarlos en exceso. Además, comprender el sistema físico nos permite seleccionar la representación adecuada de los datos y, de una manera sorprendentemente sencilla (regresión lineal MCO en la plataforma "Ajustar Y por X"), predecir la propagación de la enfermedad con una precisión razonable. De forma similar, podemos dividir los datos en fases para contextualizarlos mediante el gráfico de cuantiles ajustados frente al tiempo en "Ajustar Y por X" a partir de gráficos de densidad no paramétrica. Se requiere un análisis más complejo para dilucidar otros aspectos más allá de su propagación, respondiendo a preguntas como "¿Cuánto tiempo viviré si me enfermo?" y "¿Cuánto tiempo estaré enfermo si no muero?". Para este análisis, las estimaciones de tasas actuariales proporcionan probabilidades de transición para la aproximación de la cadena de Markov a los modelos SIR de transiciones de Susceptible a Expulsado (cuarentena, refugio, etc.), Infectado a Muerte y de Infectado a Curado. Los modelos de Función de Supervivencia impulsan la logística, la asignación de recursos y los cambios demográficos relacionados con la edad. Predecir la progresión de la enfermedad es sorprendentemente sencillo. Responder a preguntas sobre la naturaleza del brote es considerablemente más complejo. En ambos casos, simplificamos el análisis al máximo, pero no lo simplificamos más.

Transcripción generada automáticamente...

Vocero	Transcripción
Roland Jones	Hola, me llamo Roland Jones. Trabajo en Amazon Lab 126 y soy ingeniero de confiabilidad.
	Cuando yo y mi equipo
	Cuando preparamos nuestros resúmenes para la propuesta a principios de mayo, nos preocupaba que el COVID 19 fuera noticia vieja en octubre.
	Al momento de la grabación, el 21 de agosto, esto dista mucho de ser cierto. Espero de verdad que para cuando vean esto en octubre, todo esté bajo control y la vida vuelva a la normalidad, pero sospecho que no será así.
	Con todo el poder de JMP, es tentador introducir los datos en la herramienta y ver qué resultados obtiene. La pandemia de COVID-19 es un excelente caso de estudio.
	Por qué esto no debería hacerse. Las complicaciones de los datos incompletos y, a veces, manipulados, los entornos cambiantes, los cambios de comportamiento y los cambios en el conocimiento y la información hacen que sea particularmente peligroso simplemente introducir los datos en la herramienta y ver qué sucede.
	Conozca qué sucede en el sistema subyacente. Una vez comprendido el sistema, se pueden considerar los efectos de los factores que he enumerado.
	Permitir que el modelado y análisis sea apropiado a lo que realmente está sucediendo en el sistema, evitando analizar o distraerse con las imperfecciones de los datos.
	También simplifica el análisis. El objetivo principal de esta presentación es simplificar al máximo, pero no más.
	Hay algunas áreas hacia el final de la presentación que están lejos de ser simples, pero incluso aquí, seguimos trabajando para mantener las cosas lo más simples posible.
	Comenzamos analizando el brote en Corea del Sur. Presentaba una alta tasa de infección temprana y era una fuente de datos fiable y transparente.
	Por cierto, todos los datos de la presentación provienen de la base de datos de Johns Hopkins tal como estaba el 21 de agosto, cuando se grabó esta presentación.
	Se trata de un conjunto de datos al que resulta difícil ajustar una línea de tendencia.
	Sabemos que las enfermedades crecen exponencialmente de forma natural. Así que probemos algo exponencial.
	Como puede ver, esto no es un buen ajuste. Y es difícil ver cómo una función podría ajustarse a todo el conjunto de datos.
	Aquí se observa algo que parece una tendencia exponencial en los primeros 40 días. Así que, adaptémoslo a esa sección.
	Hay un buen ajuste exponencial.
Roland Jones	Lo que podemos hacer es dividir los datos en diferentes fases y ajustar funciones a cada fase por separado.
	1, 2, 3, 4 y 5.
	Se eligieron particiones en las que la curva parece pasar a un tipo de comportamiento diferente.
	Los parámetros de la función de ajuste se optimizaron con la herramienta de ajuste no lineal de JMP. El apéndice incluye información sobre su uso.
	El método no lineal también produjo los resultados del error cuadrático medio, la sigma de los residuos.
	Entonces, para la primera fase, ajustamos una exponencial; la segunda fase fue logarítmica; la tercera fase fue lineal; la cuarta fase, otra logarítmica; la quinta fase, otra lineal.
	Se puede observar que tenemos un buen ajuste para cada fase; el error cuadrático medio es impresionantemente bajo. Sin embargo, dado que los puntos de partición se eligieron específicamente donde la curva cambia de comportamiento, se espera un área cuadrática media baja.
	Las líneas de tendencia tienen una capacidad predictiva insignificante, ya que los puntos de partición se seleccionaron analizando los datos existentes. Esto se puede observar en los datos disponibles desde el análisis realizado el 19 de junio.
	Cuando haya datos adicionales disponibles, podríamos elegir diferentes puntos de partición y obtener un mejor ajuste, pero esto no nos ayudará a realizar predicciones más allá de los nuevos datos.
	Los puntos de partición muestran dónde cambia el comportamiento del brote, pero esto podría verse antes de que se realizara el análisis.
	Tampoco se da ninguna indicación de por qué las diferentes fases tienen una función de ajuste diferente.
	Este ejercicio ilustra la dificultad de modelar el brote, pero no nos proporciona mucha información útil sobre lo que está sucediendo ni hacia dónde se dirige. Necesitamos algo más sencillo.
	Estamos ante un sistema que contiene autoaprendizaje.
	A medida que nosotros, como sociedad, aprendemos más sobre la enfermedad, modificamos el comportamiento para limitar la propagación y cambiar la trayectoria del brote.
	Analicemos la mecánica de lo que impulsa el brote, comenzando con los números mismos y trabajando hacia atrás para ver qué los impulsa.
	Las noticias están repletas de cifras de COVID-19: EE. UU. alcanza los 5 millones de contagios y 150.000 muertes. California tiene más contagios que Nueva York. Los contagios diarios en EE. UU. podrían superar los 100.000.
	Los números individuales no son tan útiles.
	Los gráficos ayudan a poner los números en contexto.
	Los gráficos correctos nos ayudan a ver qué está sucediendo en el sistema.
	La enfermedad crece exponencialmente. Una persona infecta a dos, que infectan a cuatro, que infectan a ocho.
	El ojo humano no distingue bien entre distintos tipos de curvas, pero sí entre curvas y líneas rectas. Al representar gráficamente en escala logarítmica, el crecimiento exponencial y la disminución exponencial se convierten en líneas rectas.
	También en la escala logarítmica, ahora se pueden ver datos tempranos que no eran visibles en la escala lineal. Muchos países muestran una, a veces dos, mesetas que no eran visibles.
	En el gráfico lineal. Como pueden ver, en Corea del Sur hay una meseta, dos mesetas y, más recientemente, está comenzando a crecer por tercera vez.
	¿Cómo podemos modelar este tipo de comportamiento?
	Sigamos cavando.
	La pendiente en el gráfico de infecciones logarítmicas es el crecimiento porcentual.
	Trazar el crecimiento porcentual nos proporciona información más útil.
	El crecimiento porcentual ayuda a resaltar dónde cambiaron las cosas.
	Si observamos la caída de las cifras de EE. UU., la línea naranja aquí, podemos ver que la caída comenzó a disminuir a mediados de abril y se puede ver que se está revirtiendo aquí a mediados de junio.
	Esto es visible, pero no es tan claro en los gráficos de infección. Es mucho más fácil verlos en el gráfico de crecimiento porcentual.
	Muchos países muestran una disminución lineal en el crecimiento porcentual al representarlo en una escala logarítmica. Italia es un ejemplo particularmente claro de ello.
	Pero esto también se puede ver claramente en China,
	En Corea del Sur,
	y en Rusia, y también en menor medida en muchos otros países.
	¿Por qué sucede esto?
	Intuitivamente, espero que cuando el comportamiento cambia, el crecimiento caería a un porcentaje menor y se quedaría allí, en lugar de disminuir exponencialmente hacia cero.
	Comencé a trazar gráficos sobre COVID 19 a fines de febrero, no para predecir el brote, sino porque estaba frustrado por los gráficos que se estaban publicando.
	Después de ver esta disminución lineal en el crecimiento porcentual, comencé a interesarme en la predicción.
	Extrapolar esa línea de crecimiento porcentual mediante regresión lineal funciona bastante bien como predictor, pero solo funciona cuando el crecimiento está disminuyendo. No funciona del todo bien cuando el crecimiento está aumentando.
	De nuevo, volviendo a la línea naranja de EE. UU., si extrapolamos desde esta pequeña sección aquí, donde está aumentando, que es desde mediados de junio hasta finales... hasta principios de julio,
	Podemos predecir que veremos un aumento del 30% alrededor del 22 de julio, que aumentará hasta un crecimiento semanal del 100% el 20...26 de agosto, y seguirá creciendo a partir de allí, subiendo y subiendo y subiendo.
	Es evidente que este modelo no se corresponde con la realidad.
	Volveré a esta disminución exponencial del crecimiento porcentual más adelante. Por ahora, sigamos analizando lo que ocurre físicamente a medida que la enfermedad se propaga.
	Las personas pasan de ser susceptibles a la enfermedad a estar infectadas y luego a ser contagiosas.
	de ser sintomático a no ser contagioso a estar recuperado.
	Este es el modelo SIR de Markoff. SIR significa susceptible, infectado y recuperado. Las tres etapas adicionales (contagioso, sintomático y no contagioso) nos ayudaron a modelar la propagación de la enfermedad y a relacionarla con lo que realmente podemos medir.
	Tenga en cuenta la diferencia entre infectado y contagioso. Infectado significa que tiene la enfermedad; contagioso significa que puede contagiar a otros. Es fácil confundirlos, pero son diferentes y se usarán de distintas maneras más adelante en este análisis.
	Los tiempos mostrados son estimaciones aproximadas y pueden variar considerablemente. El tiempo que pasa desde la infección hasta la aparición de síntomas puede ser de tres a catorce días, y para algunas personas infectadas,
	Nunca presentan síntomas.
	Los únicos datos a los que tenemos acceso son los de las infecciones confirmadas, que generalmente provienen de los resultados de pruebas, que generalmente son consecuencia de la presencia de síntomas.
	Incluso si las pruebas se realizan en personas asintomáticas, hay un retraso de aproximadamente cinco días desde el momento de la infección hasta obtener un resultado positivo.
	Siempre analizamos todos los datos. Nunca podemos observar directamente el número real de personas infectadas.
	En este diagrama, la enfermedad progresa a través de cada individuo de arriba a abajo.
	Tenemos un grupo de personas que son contagiosas y ese grupo se alimenta de personas que se infectan recientemente y se vuelven contagiosas, y ese grupo se vacía de personas que son contagiosas y se vuelven no contagiosas.
	La enfermedad se propaga a la población de izquierda a derecha.
	Se crean nuevas infecciones cuando personas susceptibles entran en contacto con personas contagiosas y se infectan.
	Las personas recién infectadas se unen a la cola esperando volverse contagiosas y el ciclo continúa.
	Este ciclo está controlado por transmisión.
	Qué probabilidad hay de que una persona contagiosa infecte a una persona susceptible por día.
	la cantidad de personas que una persona contagiosa puede infectar mientras es contagiosa.
	Todo este ciclo gira en torno al número de personas contagiadas y la transmisión o reproducción.
	El tiempo que los individuos permanecen contagiosos debería ser relativamente constante a menos que el COVID 19 comience a mutar.
	La transmisión puede variar dramáticamente dependiendo del comportamiento social y del tamaño de la población susceptible.
	Nuestra mejor estimación es que el promedio de días contagiosos es de unos nueve.
	Así, podemos estimar las personas contagiosas según el número de personas confirmadas como infectadas en los últimos nueve días.
	En algunos aspectos, se trata de una subestimación porque no incluye a las personas que están infectadas, pero que aún no presentan síntomas o que son asintomáticas o que aún no tienen un resultado positivo en la prueba.
	En otros aspectos, es una sobreestimación, ya que incluye a personas que se infectaron hace mucho tiempo, pero que solo ahora dan positivo. Es una estimación.
	A partir de la estimación de contagios, podemos derivar el crecimiento porcentual de contagios. No importa si la cifra es una sobreestimación o una subestimación.
	Mientras el error porcentual en la estimación permanezca constante, el crecimiento porcentual del contagio será preciso.
	Crecimiento porcentual de contagios, porque dentro de ellos se utiliza para derivar la transmisión,
	La derivación de esta ecuación que relaciona ambos se puede encontrar en el apéndice.
	Sepa que esta ecuación le permite derivar la transmisión y luego la reproducción a partir del porcentaje de crecimiento del contagio, pero no puede decirle el porcentaje de crecimiento del contagio para una transmisión determinada.
	Esto sólo se puede encontrar resolviéndolo numéricamente.
	He descrito cómo hacer esto utilizando la herramienta de modelo de ajuste de JMP en el apéndice.
	La reproducción y la transmisión están muy estrechamente vinculadas, pero la reproducción tiene la ventaja avanzada de ser fácil de entender.
	Si es mayor que uno, el brote se está extendiendo sin control. Las infecciones seguirán aumentando y no se vislumbra un final.
	Si es menor de uno, el brote se está contrayendo y controlando. Aún hay nuevas infecciones, pero su número disminuirá gradualmente hasta llegar a cero. El final está a la vista, aunque puede que esté muy lejos.
	El número de personas contagiadas es el motor subyacente que impulsa el brote.
	El número de contagios crece y disminuye exponencialmente. Podemos predecir la evolución del brote extrapolando este crecimiento o disminución. Lo hemos hecho para Rusia, Italia y China.
	Recuerde la interesante observación anterior: el porcentaje de infecciones en el crecimiento disminuye exponencialmente y aquí le explicamos por qué.
	Si la reproducción es menor a uno y constante, las personas contagiosas disminuirán exponencialmente hacia cero.
	Las personas contagiosas impulsan el brote.
	El crecimiento porcentual de las infecciones es proporcional al número de personas contagiadas. Por lo tanto, si las personas contagiadas disminuyen exponencialmente, el crecimiento porcentual y las infecciones también disminuirán exponencialmente. Misterio resuelto.
	La pendiente de personas contagiosas representada en escala logarítmica nos da el crecimiento porcentual del contagio, que a su vez nos da la transmisión y reproducción a través de las ecuaciones de la última diapositiva.
	Observe que hay un ciclo semanal en los datos. Esto es particularmente visible en Brasil, pero también en otros países.
	Esto puede deberse a que las cifras se informan de forma diferente los fines de semana o a que las personas tienen mayor probabilidad de infectarse durante el fin de semana. En cualquier caso, tendremos que tener en cuenta esta estacionalidad al usar las personas contagiosas para predecir el brote.
	Dado que el comportamiento social cambia constantemente, la transmisión y la reproducción también cambian. Por lo tanto, no podemos usar toda la distribución para generar la reproducción.
	Elegimos 17 días como período para estimar la reproducción. Descubrimos que una semana era demasiado corta para filtrar todo el ruido; dos semanas dieron mejores resultados; dos semanas y media fueron aún mejores. Contar con media semana extra
	niveló la estacionalidad que vimos en los datos.
	Hay una herramienta de pronóstico de series de tiempo en JMP que hará todo esto por nosotros, incluida la estacionalidad, pero como estamos realizando la regresión en pequeñas secciones de los datos, no encontramos que la herramienta sea útil.
	Aquí están los números de transmisión y reproducción derivados.
	Se puede ver que pueden cambiar rápidamente.
	Es fácil confundirse con estas cifras. Corea del Sur muestra un aumento significativo en la reproducción, pero le va bien. Estados Unidos, Brasil, India y Sudáfrica tienen un rendimiento bajo, pero parecen tener una reproducción de alrededor de uno o menos.
	Esto es un poco confuso.
	Para ayudar a reducir la confusión en torno a la reproducción, aquí hay un poco de cálculo.
	Al conducir un automóvil, el pedal del acelerador controla la aceleración.
	Para predecir dónde va a estar el coche, necesitas saber dónde estás, a qué velocidad viajas y cuánto estás acelerando o desacelerando.
	De forma similar, para saber dónde se extenderá la pandemia, necesitamos saber cuántas infecciones hay, lo que equivale a la distancia recorrida. Necesitamos saber la velocidad de propagación de las infecciones o cuántas personas son contagiosas, ambos factores equivalentes a la velocidad.
	Necesitamos saber a qué velocidad está creciendo la población contagiante, lo que es transmisión o reproducción, que es el equivalente a aceleración.
	Hay una ligera diferencia. La distancia crece linealmente con la velocidad y la velocidad crece linealmente con la aceleración.
	Las infecciones crecen linealmente con las personas contagiosas, pero las personas contagiosas crecen exponencialmente con la reproducción.
	Hay una ligera diferencia, pero el principio es el mismo.
	Estados Unidos, Brasil, India y Sudáfrica han viajado largas distancias. Tienen altas tasas de contagio y viajan a gran velocidad. Tienen una alta tasa de contagio. Incluso una pequeña aceleración tiene un gran impacto en el número de contagios.
	Corea del Sur, por otro lado, no avanza rápido; tiene un bajo índice de contagio. Por lo tanto, tiene margen para responder a la aceleración y recuperar la situación sin recorrer mucha distancia.
	Además, cuando el número de contagios es bajo, la incorporación de un pequeño número de nuevos contagios produce una aceleración significativa. Los países con la situación bajo control son propensos a estos altibajos en la reproducción.
	Hay que tener en cuenta los tres factores
	(número de infecciones, personas contagiadas y reproducción) para decidir si un país está bien o mal.
	En JMP, existen dos maneras de realizar la regresión para obtener el crecimiento porcentual de contagios: la herramienta "Ajustar Y por X" y la herramienta no lineal. En el apéndice se detalla cómo usar ambas herramientas. Comparemos los resultados que producen.
	Los gráficos que se muestran comparan los resultados de ambas herramientas. Los 17 puntos de datos utilizados para realizar la predicción se muestran en rojo.
	Las líneas de predicción de ambas herramientas son prácticamente idénticas, aunque hay algunas diferencias notables en las líneas de confianza.
	Las líneas de confianza de la herramienta no lineal son mucho mejores. La herramienta Ajustar Y por X transpone los datos al espacio lineal antes de encontrar la línea recta de mejor ajuste.
	Esto da como resultado un menor costo... en la línea de conferencia inferior que se acerca a la línea de predicción después de transponerse nuevamente al espacio original.
	Las líneas de confianza no son tan útiles cuando los parámetros que definen el brote cambian constantemente. En el mejor de los casos, te ayudarán a ver cuándo los parámetros han cambiado definitivamente.
	En mis scripts, utilizo regresión lineal calculada en fórmulas de columna, ya que es fácil de ajustar con variables. Esto permite ajustar el análisis sobre la marcha sin tener que abrir la herramienta en JMP.
	Actualmente no uso las líneas de confianza en mis análisis. Por eso, estoy buscando una manera de integrarlas en las fórmulas de las columnas.
	La regresión lineal es más sencilla y produce resultados casi idénticos. Una vez más, manténgala simple.
	Hemos visto cómo ajustar una exponencial al número de personas contagiosas puede utilizarse para predecir si habrá personas contagiosas en el futuro y también para derivar la transmisión.
	Ahora que tenemos una línea de predicción de personas contagiosas, necesitamos convertirla nuevamente en infecciones.
	Recuerde que nuevas infecciones equivalen a personas contagiosas y se multiplican por transmisión.
	La transmisión es la probabilidad de que una persona contagiosa infecte a una persona susceptible por día.
	Se muestran los gráficos predichos resultantes de este cálculo. Cabe destacar que Corea del Sur e Italia presentan un bajo crecimiento de infecciones.
	Sin embargo, tienen una alta reproducción extrapolada a partir de los datos de los últimos 17 días. Por ejemplo, Corea del Sur e Italia tienen un crecimiento bajo, pero se puede observar un despegue gracias a esa alta tasa de reproducción.
	El crecimiento de las infecciones adquiere relevancia entre dos y ocho semanas después de realizada la predicción.
	Para Corea del Sur, es poco probable que esto suceda porque están avanzando lentamente y tienen margen para volver a controlar las cosas.
	Corea del Sur ha tenido varios de estos altibajos a medida que se abre y siempre logra volver a tener las cosas bajo control.
	En el gráfico de porcentaje de crecimiento previsto a la derecha, observe cómo el crecimiento porcentual en Corea del Sur aumenta cada vez más y esto no seguirá aumentando indefinidamente, sino que se estabilizará después de un tiempo.
	Se sigue observando que el crecimiento porcentual disminuye de manera exponencial, pero no crece exponencialmente.
	Se estanca.
	Así que, para resumir,
	El número de personas contagiosas es lo que impulsa el brote.
	Esta métrica normalmente no se informa, pero es cercana al número de nuevas infecciones durante un período fijo de tiempo.
	Las nuevas infecciones de la última semana son el indicador habitual más cercano: el número de personas contagiadas. Esto es en lo que deberíamos centrarnos, no en el número de infecciones ni en el número de nuevas infecciones diarias.
	La regresión exponencial de personas contagiosas predecirá dónde es probable que se encuentren los números de contagios en el futuro.
	El crecimiento porcentual de contagios nos da transmisión y reproducción.
	El número de contagios y el número de transmisión se pueden combinar para predecir el número de nuevas infecciones en el futuro.
	Ese método de predicción asume que la transmisión y la reproducción son constantes, lo cual no es así. Cambian su comportamiento.
	Pero las predicciones siguen siendo útiles para mostrar qué sucederá si el comportamiento no cambia o cuánto debe cambiar el comportamiento para evitar ciertos hitos.
	La única manera de cerrar esta brecha es encontrar una forma de modelar matemáticamente el comportamiento humano.
	Si alguno de ustedes sabe cómo hacerlo, por favor, contáctenos. Podemos ganar mucho dinero, aunque solo por un corto tiempo.
	Este es el modelo. Comprobemos su precisión analizando datos históricos de EE. UU.
	Como se mencionó, la predicción funciona bien cuando la reproducción es constante, pero no cuando está cambiando.
	Si tomamos una predicción basada en datos desde finales de abril hasta principios de mayo, es precisa siempre que el número de predicción se mantenga alrededor del mismo nivel de 1,0.
	El número de reproducción se mantiene alrededor de 1,0.
	Una vez que el número de reproducción comienza a aumentar, se puede ver que la predicción subestima el número de infecciones.
	La predicción se basa en datos de finales de junio a mediados de julio, cuando la reproducción estaba en su punto máximo a medida que los estados comenzaban a cerrar nuevamente,
	Esa predicción sobreestima las infecciones a medida que disminuye la reproducción.
	El modelo es bueno para predecir lo que sucederá si el comportamiento permanece igual, pero no cuando el comportamiento está cambiando.
	¿Cómo podemos predecir las muertes?
	Debería ser posible estimar el retraso entre la infección y la muerte.
	Y la proporción de infecciones que resultan en muertes y luego usar eso para predecir muertes.
	Sin embargo, los cambios de comportamiento, como el aumento de las pruebas y el seguimiento, distorsionan el número de infecciones detectadas.
	Para evitar que esta desviación también afecte las predicciones de muertes, podemos aplicar los mismos cálculos matemáticos para las muertes que para las infecciones. Al igual que con las infecciones, el gráfico de muertes muestra predicciones precisas cuando la reproducción de las muertes es estable.
	Hay que tener en cuenta que las cifras de contagio y reproducción de muertes no representan nada real.
	Este método funciona porque las muertes siguen a las infecciones y, por lo tanto, siguen las mismas tendencias y los mismos cálculos. Una vez más, manténgalo simple.
	Ya hemos visto que el modelo asume una reproducción constante. Tampoco considera la inmunidad de grupo.
	Estamos ajustando una distribución exponencial, pero el brote en realidad sigue la distribución binomial.
	La escala binomial y la exponencial ajustada difieren en menos del 2%, con hasta un 5% de la población infectada. Los gráficos que lo demuestran se encuentran en el apéndice.
	Cuando más del 5% de la población ya no es susceptible debido a la infección previa o a la vacunación, la transmisión y la reproducción disminuyen naturalmente.
	Por lo tanto, las predicciones basadas en cifras de reproducción recientes seguirán siendo precisas, pero las predicciones a largo plazo basadas en una cifra de reproducción antigua con una inmunidad colectiva significativamente menor sobreestimarán el número de infecciones.
	El 21 de agosto, Estados Unidos tuvo infecciones per cápita del 1,7%.
	Si sólo el 34% de las personas infectadas han sido diagnosticadas
	como infectados, y hay datos que indican que esto es probable, ya estamos en el nivel del 5% donde la inmunidad de grupo comienza a tener un efecto medible.
	Al 5% reduce la reproducción aproximadamente un 2%.
	Lo que el modelo puede mostrarnos, la reproducción, nos indica si el brote se está expandiendo. Si es mayor que 1, equivale a acelerarse, o si se está contrayendo, si es menor que 1, equivale a desacelerarse.
	El número estimado de personas contagiadas nos dice qué tan grave es el brote y qué tan rápido estamos viajando.
	El contagio per cápita es la medida correcta para elegir restricciones sociales apropiadas.
	Las recomendaciones sobre restricciones sociales que se enumeran en esta diapositiva están adaptadas de las publicadas por el Instituto de Salud Global de Harvard. Hay una referencia en el apéndice.
	Lo que recomiendan es que cuando haya menos de 12 contagios por millón, basta con realizar pruebas y rastreo. Cuando lleguemos a 125 contagios por millón, se requerirán pruebas y rastreo rigurosos.
	Con 320 contagios por millón, necesitamos pruebas y rastreo rigurosos y algunas restricciones para quedarse en casa.
	Con más de 320 contagios por millón, son necesarias restricciones de quedarse en casa.
	Al momento de escribir este artículo, en Estados Unidos había 1.290 contagios por millón, una cifra menor a los 1.860 registrados en el pico a fines de julio.
	Es instructivo observar el contagio per cápita en varios países y estados cuando decidieron reabrir.
	En China y Corea del Sur solo había un puñado de personas contagiadas por millón.
	En Europa, con la excepción de Italia, hay decenas de personas contagiadas por millón.
	Estados Unidos tenía cientos de personas contagiadas por millón cuando decidió reabrir.
	En realidad, no deberíamos haber reabierto en mayo. Fue una decisión emocional, no basada en datos.
	Algunos detalles más sobre la reapertura de EE.UU.
	Como dije, el contagio per cápita en Estados Unidos, en el momento de escribir esto, era de 1.290 por millón.
	1.290 por millón, con una reproducción de .94.
	Con esta tasa de contagio y reproducción per cápita, habrá que esperar hasta el 9 de diciembre para situarnos por debajo de los 320 contagios por millón.
	La reproducción más baja durante el confinamiento de abril fue de 0,86.

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