人生に疲れていませんか？2つの故障モードがあり、信頼性予測の方法がわからない？成功への道はここにあります！JMPでは、2つの独立した対数正規分布の故障メカニズムを持つトランジスタ寿命のアレニウスデータセットを、シンプルな手法でモデル化できます。使用条件下での故障確率の信頼区間の上限も推定できます。
しかし、将来の試験はどうでしょうか？次回の認定試験では、類似の部品を試験する必要があるかもしれません。複数の故障モードがある場合、寿命試験はどのように設計すればよいでしょうか？ここでも解決策があります！2つの独立した対数正規分布の故障メカニズムを用いた寿命試験を計画するためのグラフィカルな手法をご紹介します。シミュレーションされたバイモーダルデータから得られた信頼性推定値は、コンタープロファイラーで表示されるため、この困難な状況への対応に役立ちます。このシンプルなグラフィカルなアプローチにより、試験担当者は、望ましい信頼性目標を達成する可能性が最も高い試験条件を選択できます。
こんにちは、チャーリー・ホイットマンです。ニューヨークとニュージャージー地域のJMPシステムエンジニアを務めています。キャリアの大半は半導体業界で信頼性エンジニアとして働いていました。今日は、私にとって非常に大切なテーマ、信頼性についてお話ししたいと思います。2つの故障メカニズムにおける信頼性予測についてお話します。
まず、私たちはどこへ向かっているのか、どこへ向かおうとしているのかについてお話ししたいと思います。大学時代、機械挙動の教授がいました。ある日の授業の前に、教授は試験中に壊れた試験片を見せてくれました。教授は生徒たちに「なぜこの試験片は壊れたのか？」と尋ねました。教授は自ら答え、「過度のストレスだ」と言いました。今日はまさにこのテーマについてお話しします。様々な種類のストレスと、それらがどのように故障を引き起こすのかについてお話しします。
ご存知のとおり、部品には複数の故障モードが作用し、故障を引き起こす可能性があります。繰り返しになりますが、私の専門は半導体です。これは回路基板上のICの例ですが、過熱しすぎて故障しました。もう一つの例は腐食です。例えば、パッケージに少量の水が浸入し、腐食を引き起こして部品が故障する可能性があります。もう一つの可能性は静電気放電（ESD）です。誰かがこの回路基板に触れた際に接地されていなかったためにESD事象が発生した可能性があります。しかし、重要なのは、故障を引き起こすメカニズムが複数存在するということです。そのため、予測を立てるためには、それらに対処し、モデル化する手段が必要です。
どのように対処すればいいのでしょうか？文献には、これをモデル化する例が豊富にあります。一般的に、これらの故障メカニズムは独立して動作すると仮定します。つまり、各メカニズムが互いに競合して故障を引き起こすと考えることができます。各メカニズムが独立して動作するということは、他のメカニズムの動作を肩越しに確認して調整を行うようなことはしないということです。各メカニズムは自分の領域に留まり、まず故障を引き起こすために最善を尽くします。
では、どのように分析を行うのでしょうか。分析を行います。たとえば、特定の故障モードの結果を分析する場合、独立性を仮定すると、他のモードの他のすべての故障時間を打ち切ったものとして扱うことができます。
打ち切りについて話すとき、「打ち切り」とはどういう意味でしょうか？これが何を意味するのかを示すイベントプロットを以下に示します。テストに3つの部品があるとします。部品1は、例えば10時間動作し、10時間後に不合格になります。部品2は、もう少し正常に動作し、15時間後に不合格になります。次に部品3があります。部品3では、最大20時間動作し、テストを中止する必要があるかもしれませんが、不合格にはなりません。このままテストを続けていれば不合格になっていたはずですが、テストを中止せざるを得ませんでした。この結果には情報が含まれていることがわかります。このデータポイントを単に除外したり、別の時間に不合格になったと仮定したりしたくはありません。この背後には少し計算が必要ですが、JMPが面倒な作業をすべて行ってくれます。打ち切られたデータ ポイントがある場合はそれを使用すると、推定値の作成に役立ちます。
本日の講演では、2つのアクティブな故障モードがあり、どちらも独立しており、どちらも対数正規分布の故障時間を持つと仮定します。信頼性エンジニアとして、私たちは性能指標、つまり私たちが重視するものを考案しなければなりません。私がこの業界にいた頃、一般的な性能指標は故障までの時間の中央値でした。これは、全個体の50%が故障するまでの時間です。
故障までの時間の中央値を使うのは、あまり好きではありませんでした。例えば、現場で部品が故障して50%の故障率だとしたら、かなりひどい状況です。もっと小さな故障率、例えば10%故障や1%故障までの時間を知りたいですよね。それよりもさらに良い指標は、故障確率を使うことだと私は思います。「5年後には現場での故障率は0.5%になるだろう」といった主張をできるようにしたいのです。
さて、統計学には「平均ほど嘘をつくものはない」という古い言い回しがあります。サンプルの平均を取る場合、その推定値には不確実性があることを理解し、信頼限界を用いてそれを認めます。これは、フィールドでの故障率を予測する場合も同様です。フィールドでの故障率が0.5%だとしたら、0.5%プラスマイナス何%でしょうか？ここで信頼限界が関係してきます。故障確率の信頼限界の上限を指標として使用します。こうすることで推定値が得られるからです。少し保守的ですが、合理的な意味でより保守的です。上限や指標を恣意的に決めるのではなく、故障確率の信頼限界の上限である95%を使用します。
皆さんが理解しやすいように、ここで少し背景を説明したいと思います。いくつか定義しておきたいことがあります。まずFについてお話しします。Fは故障確率、Rはその補数です。Rは1からFを引いた値で、これは信頼性を表します。また、AとBという2つの故障モードについても説明します。これらは任意の値なので、ここではAとBというラベルを付けます。実際にはどのような値でも構いません。両方のモードが動作し、どちらも故障を引き起こす可能性がある場合、全体的な故障確率が得られます。これをFtotと呼びます。これは両方のメカニズムが動作している場合の確率です。したがって、当然のことながら、Rtot、つまり1からFtotを引いた値も存在します。
ここでのデータ分析の鍵は、2つの独立したコンポーネントが直列に接続されている場合を模倣したアプローチを用いることです。例えば、2つのコンポーネントがあるとします。2つの回路、あるいは2つのエンジンなど、様々なものが直列に接続されています。これは、1つが故障すると、システム全体が故障することを意味します。この場合、独立性を仮定できるとすれば、システム全体の信頼性は個々の信頼性の積に等しくなります。Rは1からFを引いた値であることが分かっているので、両方のメカニズムの全体的な故障確率を逆算できます。これは、この式で表されます。
ここではアルレニウスモデルを多用します。これがアルレニウスモデルです。基本的に、破損までの時間の中央値は温度の逆数の指数に比例します。これを見ると、式の両辺の対数を取ることができますが、これは疑わしいほど点と傾きのように見えます。ここに定数、ここに傾き、そしてここにYがあります。破損までの時間の中央値の対数と1/kTの関係をプロットすると、その直線の傾きが活性化エネルギーとなり、切片項はlogCになります。
GaN FETと呼ばれるものの実際の寿命に関するデータセットについてお話します。GaNは窒化ガリウム、FETは電界効果トランジスタの略です。高温での寿命試験にいくつかの電界効果トランジスタ（FET）があり、それらの故障時間を記録し、2つの故障モードについて分析を行いました。この仕組みについて少しご説明したいと思います。
仕組みは、ソースとドレインの間に電圧をかけることです。すると、ソースとドレインの間に電流が流れ、その電流はゲートによって制御されます。ゲートに電圧をかけることで、電流を遮断することも、流し続けることもできます。ご存知の通り、永遠に続くものはありません。つまり、ソースとドレインの間に電圧をかけ、ゲートには一定の電圧をかけても、時間の経過とともに電流が劣化する可能性があります。電流は変化しますが、私は変化してほしくありません。一定に保っておきたかったのに、変化し始めてしまうのです。
もう一つの可能性は、電流がソースから目的のトレインへ流れるのではなく、ソースからゲートへ流れてしまうことです。するとゲートリークが発生し、これもまた望ましくない状態です。もう一つの可能性は、ここで電流を遮断する電圧、つまりゲートに必要な電圧が不安定になり、変動する可能性があることです。つまり、デバイスは正常に動作しなくなります。故障の原因となり得るメカニズムは以上のようなことが挙げられます。ここでは2つのメカニズムがあると仮定し、それぞれにAとBというラベルを付けます。
また、加速寿命試験についても少しお話ししたいと思います。私たちは既に市場に出ている製品があり、それらの製品が長く使えるようにしたいと考えています。何年も使えるようにしたいのです。しかし、新製品の信頼性を証明したいのであれば、何年も試験を待つ余裕はありません。それよりもはるかに迅速に試験を実施する必要があります。だからこそ、私たちは加速試験を採用しているのです。その考え方は、ストレスを高めることです。部品にかかるストレスを高め、高ストレス条件下で試験を実施することで、試験時間を短縮します。これにより、故障のメカニズムは変化しません。新しいものを導入しているわけではありません。すべてがより速く起こるのです。
様々なストレス要因を利用できます。温度も利用できます。半導体に携わっていた頃は、電圧をよく使っていました。環境を変えることもできます。湿度の高い環境にも、乾燥した環境にもできます。私たちは温度に焦点を当てています。ここでアレニウスプロットをお見せします。これは故障時間です。対数スケールで、故障時間と1/kTの関係をプロットしたものです。これは温度の逆数です。プロットの左側が高温、右側が低温です。私は様々な高温で寿命試験を実施し、故障時間を測定し、それに基づいて直線を引いています。この直線の傾きが活性化エネルギーです。
このデータを取得すると、大変なことになります。外挿しなければならないのです。外挿すべきではないと誰もが言われてきました。しかし、加速試験では他に選択肢がありません。故障時間を見れば、外挿せざるを得ません。故障時間は100万時間程度になる可能性があり、そこまで待つことはできません。この外挿を行うことで、例えば故障までの時間の中央値や、使用条件における故障時間の分布を知ることができます。それが分かれば、1%故障までの時間や故障確率などを計算できます。
少しだけお知らせしたいのですが、今後の方向性をお見せしたいと思います。こちらはケーススタディの結果です。これはお客様から入手したデータで、モードAとモードBの2つのモードを分析しました。ここではプロファイラーを確認しています。こちらはモードAの分布プロファイラーです。繰り返しますが、これはモードBの故障時間をすべて打ち切りとして扱うことで得られた結果です。つまり、モードAのみを分析していることになります。
プロファイラーには2つの要素があります。デバイスの温度と測定時間です。例えば、業界標準があるとします。その標準では、150℃における信頼性を知る必要があります。また、5年後の耐用年数、つまり5年後の故障確率も知りたいとします。43,830時間は5年です。プロファイラーを使うと、故障確率は約5倍の10乗のマイナス22乗で、上限は約0.001であることがわかります。次に、モードBについても同じことをします。ここでは、モードBの故障をすべて打ち切りとして扱い、モードBの故障のみを扱います。
同じ条件下でこれを繰り返すと、故障確率は非常に小さく、4×10-89、上限は約1×10-17です。モードAと比較すると、モードAの上限は1×10-3程度でした。モードBは非常に小さいように見えますが、モードBによる故障確率はモードAよりもはるかに小さくなっています。低温時や使用条件では、モードAが優勢であるように見えます。これについては、後ほどもう少し詳しく説明します。
このケーススタディについてお話しした後、少し話題を変えて、寿命試験の計画方法についてお話しします。試験対象となる部品があるとします。複数の故障モードがあり、それを考慮して計画を立てたいとします。どのような温度を使用すればよいでしょうか？また、これらのモード間で活性化領域に大きな差があった場合はどうなるでしょうか？いくつの温度が必要でしょうか？これを等高線図にまとめます。
この等高線図には、入力因子がすべて表示されています。これらはすべて計画値です。z_Aとz_Bがあります。これらは2つの異なる故障モードのZスコアで、計算方法は後ほど説明します。他にも、温度ごとに部品がいくつあるか、いくつの温度を使用するかといった計画値があります。この等高線図から得られるのは、基本的に応答曲面です。
2つの因子、z_Aとz_Bがあり、これらが増加するにつれて、故障確率の信頼限界はどんどん上昇します。つまり、この等高線上のどこでも、つまりz_Aとz_Bの値すべてにおいて、信頼限界は10の-2乗です。そして、z_Aとz_Bの値すべてにおいて、信頼限界は10の-3乗になります。というように、この等高線図は後ほど使用しますので、もう少し詳しく説明します。
ケーススタディに入りましょう。このデータもお客様から入手したものです。48個のGaN FETを320℃、337℃、355℃の3つの温度でテストしました。テストはかなり長時間実行されましたが、約2,100時間後に停止しました。これは、テスト内容を示した概要表です。ここでDUTは被試験デバイス（Device Under Test）です。これはテストに使用された温度です。また、各温度で異なる部品番号、つまり異なる数の部品を使用しました。分布が均等ではないことに注目してください。最高温度では、低温に比べて部品数が少なくなっています。
これは実は良いアイデアです。なぜなら、これから行うのは外挿だからです。より低い試験条件に外挿するのです。外挿する際には、どのような推定値であっても、その信頼限界を可能な限り狭くしたいのです。部品を積み重ねて、より低い温度に多く置くと、信頼限界は少し狭くなります。これは良いことです。だからこそ、このようにしたのです。
ここで故障数を見ると、モードAの故障がモードBの故障よりもはるかに多いことがわかります。しかし、明らかに温度が上昇するにつれてモードBの故障が増えています。モードAではこの傾向はそれほど強くないかもしれませんが、モードBでは高温時にモードBよりも故障が多くなっていることがわかります。
私が行ったのは、寿命データを取得して解析を行い、活性化エネルギーを算出し、このアレニウスプロットを作成することです。ここでも、故障時間を対数スケールで、1/kT に対してプロットしています。この赤い線の傾きがモード B の活性化エネルギー、青い線がモード A の活性化エネルギーです。
これを見ると、これらの曲線を延長することを考えることができます。モードBの場合、これをさらに高温まで延長すると、モードAの故障時間はモードBよりも長くなることが予想されます。これはつまり、高温ではモードBが優勢になるということであり、実際に観測されている現象です。温度が上昇するにつれて、モードBがますます強くなっているのが分かります。同様に、モードBを低温まで外挿すると、モードBの故障時間は非常に長くなり、モードAよりもはるかに長くなります。部品はまずモードAで故障し、低温ではモードAが優勢になります。繰り返しますが、これが私たちが観測している現象です。
寿命データを取得しました。これは単なる例です。データは次のようになります。例えば、320℃で動作させた後の部品があります。約261時間後に故障し、モードAが原因で故障しました。また、ここには打ち切り列があります。これはJMPに、これは故障なのか、それとも打ち切りなのかを伝える列です。繰り返しますが、JMPは裏で大変な作業を行い、分析を実行してくれます。私たちが行うのは、どの部品が故障し、どの部品が打ち切りなのかを伝えるだけです。
データを確認しました。Fit Life by Xプラットフォームを使用して予測を行い、これを一つずつ実行しました。モードAのデータのみがあり、モードBの故障時間はすべて打ち切りになっています。そうすることで、故障時間が得られました。3つの異なる温度における分布も示されています。JMPで作成したのがこれです。
ここで、例えば190度と170度の間の間隔、つまり20度が、例えば290度と270度の間の間隔と異なっていることがわかります。これは変換を行っているためです。これは実際には1/kTから変換されています。つまり、この線の傾きは依然として活性化エネルギーであり、使用条件への外挿を行うことができます。私の使用条件は、例えば約150℃です。これを行うと、故障までの中央値は1×10～11時間を少し超える程度であることがわかります。また、分布があることもわかります。ここで故障時間の分布がわかっているので、1%の故障までの時間や、5年間の故障確率などを計算できます。
分布プロファイラーがあるので、必要に応じて異なる値を入力できます。これらの値を移動することで、異なる試験条件下での故障確率を確認できます。また、ここではアレニウスパラメータを取得しています。JMPでは、β-naughtを切片項と呼びます。これはプレゼンテーションで使用したlog Cの値です。ここでは、切片項は-40付近です。JMPでは活性化エネルギーをβ-1と呼び、これは約2.4EVです。そして形状係数がありますが、ここでは約1.6です。
基本的に、これらのアレニウスパラメータから対数平均を予測できます。ここでの対数平均は温度 T の関数です。次に、形状係数がわかれば、この分布を完全に記述できます。そのため、これらの条件または任意の温度での破損確率を予測できます。
同じことをモード B でも行うことができます。モード B のデータを解析します。ここでも、モード A の故障はすべて打ち切りとして扱いました。覚えていると思いますが、モード B による故障ははるかに少なかったです。このキーから、三角形は打ち切りを意味し、ここには多くの打ち切りデータポイントがあることがわかります。ここでできることは、繰り返しになりますが、故障はありますが、これを打ち切りにしても外挿を行うことができ、条件を使用して外挿を行うことができます。ここでの故障時間の中央値は、たとえば 10 の 25 乗時間です。これはモード A よりもはるかに長いです。ここでも、低温ではモード A が優勢になると予想されます。
さらに、分布プロファイラーもあります。これもまた、あることを示唆しています。これら2つの故障モードを個別に解析しているのです。これはつまり、モードAが完全に排除された場合、つまり設計を変更し、処理方法を変更してモードAを排除できた場合、残るのはモードBだけになり、モードBはより多くの… モードBがアクティブであれば、部品の信頼性ははるかに高くなるということです。これで、ゲームができるようになりました。例えば、仕様書があり、その仕様書では5年間で上限が10のマイナス3乗を超えないようにしたいとします。現在は10のマイナス17乗なので、プロファイラーを使って200度まで耐えられるか判断できます。
さて、上限は4×10のマイナス8乗です。もう少し高く、おそらく225くらいまで上げられます。今はもう少し高く、3×10のマイナス5乗くらいです。さらに高く、240まで上げられます。これで、仕様の0.001に近づきました。これは実は良いニュースです。信頼性プログラムの方向性を示し、投資効果を最大化できる領域を明確にするのに役立ちます。また、仕様の拡張にも役立ちます。
顧客は部品をもっと高い温度で動作させたいと考えているかもしれません。その場合、「はい、もちろんです。150℃にする必要はありません。もっと高い温度でも動作させても大丈夫です」と言えるようになります。
JMPはアレニウスパラメータも返します。切片項は大きく異なり、マイナス100程度です。ここでご覧のとおり、活性化エネルギーは6 EDに近く、モードAでは約2.4 EDでした。これは大きく異なります。そのため、モードBのアレニウスプロットの傾きは、ここでもずっと急になっています。また、形状係数も表示されます。形状係数の方が大きくなっています。これらのパラメータを使用することで、対象の時間と温度における故障確率を予測できます。
ここでこれまで見てきたことをまとめましょう。これは要約表です。モードAとモードBのデータを分析し、それぞれの信頼区間の上限を求めました。JMPは、私が求めていた全体の確率の信頼区間の上限を求めていません。JMPは、各モードの信頼区間の上限を求めるために、壁法を用いています。しかし残念ながら、2つのモードが作用している場合、壁法を適用するのは難しいため、別の方法を使用しました。その結果、若干異なる結果が得られました。予想とほぼ同じです。
モード A が優勢であるため、両方のモードが動作している場合でも、大部分はモード A になると予想され、上限は 10 のマイナス 3 倍程度になると予想されます。実際、その程度の値が得られているので、これは正しく機能しているようです。
では、寿命試験の計画についてお話しましょう。少し話題を変えましょう。私が温度試験を行っているアレニウスの場合、寿命試験の計画方法については、長年にわたり文献や教科書に数多く掲載されてきました。しかし、複数のアレニウスが存在する場合の寿命試験の計画方法については、あまり公表されていません。そうした出版物のほとんどは、高度に数学的な内容になっていると思います。数学的な内容であればそれで良いのですが、私はグラフィカルなアプローチを好みます。グラフィカルなアプローチの方がより直感的だと思います。
私が行ったのは、様々な試験条件下で多数の故障時間をシミュレーションし、その結果から故障確率の信頼度上限を計算し、それをモデル化することで、与えられた試験条件や、計画値、温度の数などに関する様々な仮定に対して、信頼度上限がどの程度になるかを予測できるようにすることです。ここで少し背景を説明して、皆さんに私たちが何を話しているのか理解していただきたいと思います。
ここでも、2つの故障モードAとBがあると仮定します。これらは一般的なので、ここでは単にAとBと呼びます。各モードには、それぞれZスコア（z_Aとz_B）が与えられます。Zスコアの計算方法は後ほど説明します。これは、作業を簡素化するためです。活性化エネルギーや形状係数など、多くの自由パラメータを持ちたくなかったのです。すべてをZスコアに集約できれば、変化させる要素はそれほど多くなく、活性化エネルギーなどを遡って計算できることがわかりました。これほど多くの異なる値をシミュレートする必要がなければ、非常に役立つでしょう。
また、温度ごとの部品数、応力温度の数など、他にも入力すべき項目がありました。Zスコアの計算方法を説明します。通常、業界標準があります。5年後、10年後、あるいはその程度の故障までの時間に注目しています。使用条件についても業界標準があるかもしれません。お客様には、150℃や100℃といった温度で使用できると伝えられるようにしたいと考えており、これらは既知の値です。また、計画値も入力する必要があります。
推測したり、専門家に相談したりして、アルレニウスパラメータの概算や概要を把握する必要があります。そして、それらの値を式に代入してZ値を求め、それがZスコアとなります。2つの故障モードがあり、それぞれにアルレニウスパラメータがあるため、モードAとモードBの2つのZスコアが得られます。
これは、これらのパラメータを非常に広範囲にわたって変化させたことを示す、単なる要約表です。z_Aとz_Bも広範囲にわたって変化させました。使用温度、温度の数などにも幅広い範囲を使用しました。また、物事を絞り込みたいと考えました。考えられる応力温度が多数存在する巨大なマトリックスは作りたくありませんでした。そこで、3つの指標に絞り込むことで作業を容易にしました。例えば、最低応力温度T1と、4つの温度、そしてそれらの温度間の間隔を教えておけば、すべてが分かります。そうすれば、4つの応力温度が何だったのかを計算できます。
これらすべての異なる応力温度を網羅した巨大なマトリックスを作る代わりに、私は3つのパラメータ、つまり最低応力温度、温度の数、そしてそれらの温度間の間隔に絞り込みました。ここでも、サンプルサイズ、活性化エネルギー、形状係数などを変化させます。
私が行ったのは、考えられるすべてのテスト条件から 1,900 個の一意の計画値を選択し、その 1,900 個の値それぞれについて 500 個のデータ テーブルを生成したことです。生成時に、ランダムに生成された対数正規分布の故障時間を作成しました。モード A の故障用に 1 つの列、モード B の故障用に別の列を用意し、最小値を採用しました。これが競合リスクの意味です。2 つの異なる故障モードが部品の破壊を巡って競合しており、故障時間の短い方が勝ち、それがその部品の故障時間となります。500 個のデータ テーブルがあり、それぞれについて F-tot を計算できました。FA と FB がわかっているので、それを数式に代入して全体の故障確率を計算できます。
500個のデータがあったので、各テスト条件におけるF-totの分布がどのようなものか大体分かっています。分位値を使うことができます。500個の値の97.5分位値を信頼限界の上限値として使うことができます。これで、各テスト条件ごとに1,900通りの信頼限界が得られます。そして、そのデータをすべてニューラルネットワークに入力して予測を行うことができます。テスト条件やテスト計画値に関する仮定が信頼限界の上限値にどのような影響を与えたかを確認できます。この分析を行った後、どの要因が最も重要だったのかという疑問が生じました。
これには予測変数スクリーニングプラットフォームを使用しました。ここでそれを示します。はい、できました。予測変数z_Aとz_Bがあり、約80%の確率でz_Aとz_Bが信頼限界の上限を予測する上で重要であることが示されています。また、温度あたりの部品数Nも、約15%の確率で現れました。これら3つを合わせると、95%の確率で現れました。さて、他にもこれらの要因がありましたが、それほど頻繁には現れませんでした。ここでのパーセンテージははるかに小さいです。しかし、これらを変化させると、実際にはこれらよりも小さい等高線に影響を与える可能性があることがわかったので、モデルに含めました。確かに影響はあったので、それを考慮に入れたいと考えました。
また、打ち切り時間については、結局全く使用しませんでした。シミュレーションを行った際、実験者はある程度の失敗率が得られる温度と時間を選択するだろうと想定していたからです。実験者は、極端に低い温度や極端に短い打ち切り時間を選択したくありません。そうすると100%打ち切りデータとなり、あまり活用できないからです。予想通り、私は打ち切り時間を適度に、あるいは中程度に設定したので、打ち切り時間はあまり影響しませんでした。そのため、分析では打ち切り時間を使用しませんでした。
ニューラルネットワークのフィッティングを行いました。ニューラルネットワークに詳しい方なら、過学習になりやすいことをご存知でしょう。そこで、この状況で一般的に用いられる手法、つまりトレーニング、検証、テストのアプローチを用いて過学習を軽減しました。これはどういう意味でしょうか？
私が行ったのは、データの50%をランダムに選び、1,900行のうち50%をトレーニングサブセットに、25%を検証に、そして残りの25%をテストに割り当てたことです。JMPは実際にはこれを内部的に実行し、このトレーニングデータを使ってニューラルネットワークをフィッティングし、その後テストを行って、トレーニングデータには含まれていない検証データをどれだけ正確に予測できるかを確認します。モデルは検証データを見たことがないので、トレーニングデータのパラメータを調整し続け、検証精度が向上するまで続けます。また、過剰適合や不足適合が発生しないようにするための内部的な方法もあります。データの過剰適合が始まったらアルゴリズムが停止するように、適切なフィッティングを行う必要があります。
最後に、最終的なモデルを、テストグループである本番データと比較テストします。モデルは初めて見るデータなので、そのデータにもうまく適合することを確認する必要があります。そうすることで、モデルを信頼できるからです。私はそうしました。こちらはトレーニングデータです。R-Squaredは0.99と非常に高く、これは良い結果ですが、問題は、初めて見るデータに対してどれだけうまく適合するかということです。この場合、検証データセットではR-Squaredが約98%、テストでもR-Squaredは96%と、非常に良好な結果が出ています。
もしこの2つの値のどちらかが非常に低く、99%よりはるかに低かったら、心配していたでしょう。それはデータに過剰適合していることを意味するからです。しかし、実際にはそうではありませんでした。非常に良い適合が得られたので、これで満足しています。これを使って予測を立てていきます。
これを使ってテストプランをどのように作成するか見ていきましょう。企業標準があると仮定し、企業目標として、125℃で5年間使用した場合の故障確率の信頼限界上限が1×10の-4倍以下であることを確認したいとします。適切な温度、適切な温度回数、適切なサンプルサイズなどを選択し、最終的に目標を達成できる可能性が非常に高いことを確認したいと考えます。この際、過去のアレニウスパラメータの値を参考にします。どのようにすれば良いでしょうか？
そうですね、もしかしたら、あなたには以前の経験があるかもしれませんし、私たちも部品のテスト経験があり、例えば低温ではモードAが支配的であること、活性化エネルギーと形状係数がどれくらいか分かっています。ここで以前にテストしたことがあるので、バックアウトできますし、切片項も分かっているので、あとはただプラグを差し込んでガツガツと音を立てるだけです。対象期間は5年です。対象温度は125℃で、アレニウスパラメータも分かっています。少なくともアレニウスパラメータを推測することはできます。プラグを差し込んでガツガツと音を立てて、それを取り付けます。
この場合、z_Aは-7です。モードBについても同様のことをしますが、全く同じではありません。活性化エネルギーと形状係数はある程度分かっています。しかし、作業を楽にするために、ここでも制約を導入しました。ここで寿命試験を行っていて、両方のモードが存在する場合、中間温度では各モードの故障時間の中央値は同じであると仮定します。これは、例えば複数の温度で試験していて、モードBが存在しなかったり、最後の温度でのみ存在したりした場合、そのデータは破棄してモードAの故障のみを使用する可能性が高いためです。
しかしここでは、モードAとモードBの中央故障時間は同じであると仮定します。また、これはある程度理にかなっています。もし、モードBが優勢だったとしたら、ある温度でモードBからモードAに移行しても、中央故障時間が急激に変化するとは考えられません。おそらく、急激な変化ではなく、何らかの滑らかな遷移となるでしょう。
モードAで何が起こっているか、そしてモードBの活性化エネルギーが分かっていると仮定すると、あるいはこれが固定されていると仮定すると、これを外挿してY軸と交差する切片項を求めることができます。この制約が与えられれば、モードBの切片項を計算できます。同じことをします。z_Bの値を代入して計算すると、約-6という値が得られます。
どのように見えるか見てみましょう。等高線を生成できます。さあ、始めましょう。ここに値を入力してください。Z_Aは-7、z_Bは-7でした。ここに十字線が表示されました。目標は10から-4にすることでした。しかし、目標には届きません。-3.5くらいなので、十字線は-3と-4の等高線の間になっています。まだ目標には達していません。つまり、調整が必要です。z_Aの値か選択が間違っていたのかもしれません。それらを調整して、-4の等高線を横切るように下げることができます。あるいは、サンプルサイズを増やすだけでいいかもしれません。現在、サンプルサイズは20です。これを40に増やすことができます。ほら、今、-4の等高線、-4.1を超えていますね。したがって、サンプルサイズを 40 にすれば目標を達成できます。
これを少し戻します。
この等高線図から得られる情報は他に2つあります。1つは、これを感度の大まかな目安として使えることです。z_Aが変化した場合、例えば活性化エネルギーや形状係数が変化した場合などに何が起こるかを知りたいのです。現在、z_Aはマイナス7で、等高線はマイナス3.1です。これを例えばマイナス5にすると、約マイナス2.1になります。z_Aが2変化、つまり2減少または2増加すると、信頼区間の上限は2のオーダーに変化します。これは知っておくと良いかもしれません。
ここでできることは他にもあります。私はこれを 2 つの故障モードに適用していますが、このグラフを単一の故障モードに適用することもできます。そのためには、例えば、z_B が実際には発生しないと仮定します。z_B による故障の確率は非常に小さいです。つまり、z_B、つまりモード B による故障の確率は非常に小さいということです。z_B の値を例えばマイナス 10 にすることができます。ここにマイナス 10 と入力できます。ここで別の値、例えばマイナス 7 に戻すこともできます。これで、この軸に注目して、等高線がこの軸と交差する場所だけを確認できることがわかります。ある程度の自由度があります。サンプルサイズを減らすなど、何かできるかもしれません。
目標はマイナス4なので、20個ではなく10個でもいいんです。モードAがアクティブであれば、ちょうどマイナス4のマークに近づいています。これは、これらのプロットのもう一つの活用方法です。はい、先ほど説明しました。
まとめさせていただきます。今日は幅広い内容を取り上げました。GaN FETの寿命試験データセットを分析し、競合リスク法を用いて2つの異なるモードにおける故障確率を求めました。また、ある故障モードを排除できた場合に何が起こるかを示しました。例えば、モードAを排除してモードBだけになれば、信頼性は大幅に向上し、例えば仕様を向上させることが可能になります。
また、2つの故障モードがある場合の寿命試験、加速寿命試験の計画方法についても説明しました。ニューラルネットワークのフィッティング結果である等高線図を用いて計画しましたが、フィッティングは非常に良好でした。等高線図での使用方法も示しました。また、これらの等高線図は簡単な感度分析にも使用できることも示しました。計画値の変化が信頼限界の上限にどのような影響を与えるかを見てみましょう。同じ等高線図を単一モード故障にも使用できることを示しました。2モード故障に限って使用する必要はありません。以上です。ありがとうございました。
