本文發表於JMPer Cable，第 30 期，2015 年夏季。
作者：Di Michelson di.michelson ，SAS 高級分析培訓顧問
Mark Barley 在JMPer Cable第 29 期中撰寫了一篇出色的文章，詳細介紹如何使用低於檢測極限的數據。當您需要估計測量閾值時，您會做什麼？分析化學提供有關物質（分析物）中元素或分子濃度的資訊。濃度測量的自然界限為零。測量過程本身是可變的，並且包含雜訊。因此，對已知零量分析物的樣品進行測量將導致非零響應。可以估計此背景雜訊以給出檢測極限 (LOD)：測量系統雜訊的上限。
為了估計測量方法的檢測限，我們希望找到結果與零讀數無法區分的最低濃度水準。這是我們開始看到零濃度訊號的點。文獻中存在不同的查找 LOD 的方法。業界標準，包括 SEMI C10（方法檢測極限確定指南）、ISO:11843（檢測能力）和國際純粹與應用化學聯合會 (IUPAC)分析命名法綱要1，討論了確定檢測極限的方法。大多數作者建議使用校準曲線來擬合線性模型，然後透過逆預測來找到 LOD。
我們將研究將線性模型擬合到校準曲線的各種方法，然後估計零水平下未來觀測的預測區間，最後使用上限的逆預測來估計 LOD。我們將考慮普通最小二乘(OLS) 迴歸來將線性模型擬合到校準曲線。文獻中流行的其他方法是基於加權方案。
100(1–α)% 預測區間是變數值的範圍，其屬性是，如果為多個樣本計算許多此類區間，則其中 100(1–α)% 將包含來自未來實現的一個觀察值的過程。預測區間與信賴區間不同。信賴區間給出了我們期望總體參數（例如平均值或變異數）出現的限制。預測區間給出了我們期望未來個體觀察發生的限制。
您可以在文獻中找到預測區間計算的公式。該公式取決於未來觀察的數量
被預測。請參閱 Ramirez 2以取得有關統計區間的易於理解的討論。
例如，考慮一個電感耦合等離子體質譜 (ICP-MS) 系統，該系統執行微量元素分析，以確定樣品中污染物的含量。測量含有已知量污染物的樣本。響應是訊號強度，以每秒計數 (CPS) 為單位測量。該實驗在四個已知水平下重複進行，包括完全不含污染物。圖 1 顯示了數據。
圖 1污染物水平和響應數據
圖 2 顯示了測量值與已知值的圖表，顯示數據似乎遵循線性趨勢。值得注意的是，零濃度水準的變異性遠小於其他水準的變異性。
圖 2測量值與已知值的迴歸圖
使用資料散佈圖很難看出零水平下變異性的差異。相反，透過預測響應檢查殘差圖。圖 3 中的殘差圖清楚地表明，存在元素的地方的變異數比不存在元素的地方的變異數高得多。紅色圓圈中繪製了三個觀察結果。
圖 3殘差與預測反應的圖
許多物理特徵表現出異方差性，即響應在資料範圍內變化的變異數。物理資料的可變性通常隨著反應的增加而增加。普通最小平方法迴歸假設同方差性，或整個資料範圍內的變異數相等。因此，天真地，尋求穩定方差的方法可能是有意義的。
方差穩定的一種方法是使用加權最小二乘(WLS) 迴歸，它透過每組內方差的倒數對資料進行加權。大多數校準問題不使用足夠大的樣本來估計不確定性較低的組別變異數。因此，另一種流行的方法是對變異數和平均值進行建模。 JMP 使用擬合模型的對數線性變異數特性來實現此模型。我們將示範 OLS 和 WLS 迴歸的這兩種方法。
異方差性不會影響使用普通最小平方法的迴歸係數（斜率和截距）的偏差。它確實會影響迴歸係數的標準誤差。然而，對於像我們的模擬數據這樣的典型數據，空白的 CPS 方差遠小於非空白的方差，而非空白的方差就是我們想要用來尋找預測區間的值。造成這種看似矛盾的原因是使用 CPS 的方差
因為空白導致預測區間太窄。狹窄的預測區間聽起來不錯，但實際上可能會導致不合理的期望。因此，建議使用普通最小平方法迴歸來找到預測區間，然後對迴歸線進行預測上限的逆預測，如圖 4 所示。
圖4普通最小平方法迴歸
我們使用擬合模型中的擬合最小二乘平台來擬合資料的直線。您可以從每秒反應計數旁邊的紅色小三角中選擇保存列 > 預測公式和保存列 > 個體置信限公式來保存預測公式和預測區間。圖 5 顯示了數據。
圖5已保存預測公式和區間的數據
零處 95% 預測上限的估計值為 109。傳回“擬合最小二乘法”報告。從每秒反應計數旁邊的紅色小三角中，選擇估計 > 逆預測。在第一個空白處輸入109，然後按一下「確定」 ，如圖6所示。
圖 6輸入估計的 95% 預測上限
反應的預測值為 9.6，這是我們對檢測極限的估計，如圖 7 所示。
圖7響應的預測值
一些行業標準文件，特別是 SEMI C10，建議使用加權最小二乘回歸。讓我們將 OLS 預測區間的逆預測與 WLS 得出的逆預測進行比較。
加權最小平方法使用資料的權重來穩定變異數。一種特殊的加權方法是使用組別的倒數變異數作為權重。若要找出每組的變異數，請使用表格 > 摘要匯總資料。新增「標準濃度」作為分組列，選擇「每秒計數」 ，然後按一下「統計」>「變異數」以詢問按組的 CPS 變異數。按一下“確定” 。
接下來，將包含公式的新欄位新增到總計表中。此公式將包含每組變異數的倒數，如圖 8 所示。
圖8各組變異數的倒數公式
總結表包含分組變數、每組的樣本量和變異數以及每組的逆方差，如圖 9 所示。
圖9總表
逆方差需要回到原始資料表中。返回原始表並使用Tables > Join新增逆方差列，如圖 10 所示。
圖 10連接原始數據和匯總數據
結果表如圖 11 所示，除了新的權重列之外，還包含原始表中的列。
圖 11連接數據
現在可以再次擬合迴歸模型，這次使用權重角色中的逆方差列，如圖 12 所示。
圖 12指定逆方差列
再次，透過點擊紅色小三角並選擇儲存列 > 預測公式和儲存列 > Indiv 置信限公式，將預測公式和預測區間儲存到資料表中。 OLS 迴歸預測列已隱藏在圖 13 所示的表格中。
圖 13已保存預測公式和區間的數據
零時 95% 預測上限的估計值為 0.03，比使用 OLS 迴歸發現的值小四個數量級！再次使用逆預測來找出檢測極限的估計值。從紅色小三角中，選擇估計 > 逆預測。輸入 0.03 並按一下「確定」 。
圖 14標準濃度的逆預測
如圖 14 所示，預測值為 0.0014，這是檢測極限的估計值。這個數字比 OLS 迴歸 (9.6) 給出的數字小得多。看起來數字越小越好，但 WLS 可能會導致從業者已知的估計值小得離譜。例如，匹配系統有時是使用 LOD 完成的。 LOD 太小可能會導致系統在統計上不匹配，但出於所有實際目的，可以考慮進行相同的測量。這可能會導致審核員難以證明良好系統的使用合理性。
預測限值如此之小（導致估計檢測限值同樣較小）的一個原因是零等級的組別變異數遠小於其他等級的組別變異數。因此，零水平的逆方差與其他水平相比是巨大的。
對此的一種補救措施是不僅對平均反應建模，而且對反應的變異數也建模。例如，如果您可以假設變異數與平均值成正比，則此方法特別有用。除了使用迴歸量對平均反應進行建模之外，對數線性變異數模型還使用迴歸量對變異數的對數進行建模。那是，
其中X的列是平均反應的迴歸量， Z的列是反應方差的迴歸量。均值模型的參數為β ，變異數模型的參數為λ 。有關對數線性方差模型的更多信息，請參閱 JMP 中的幫助 > 書籍的擬合線性模型。
使用擬合模型，將每秒計數指定為 Y，將標準濃度指定為平均效應。接下來，選擇對數線性變異數特性，如圖 15 所示。
圖 15擬合模型規格
對數線性變異數擬合報告包含β和λ的估計值以及擬合統計量。點擊“對數線性變異數擬合”旁邊的紅色小三角並選擇“儲存欄位”>“預測公式” ，然後再次選擇“儲存欄位”>“獨立信賴區間”，儲存預測公式和預測區間。圖 16 顯示了資料表中保存的預測限。
圖 16預測上限
預測上限為 81。傳回“擬合對數方差”視窗。從紅色小三角形中，選擇探查器 > 探查器。將「標準濃度」滑桿向左拖曳，直到每秒計數的預測值接近 81（圖 17）。如果需要放大感興趣區域，您可以調整 X 軸的比例。
圖 17預測刻畫器中的逆預測
逆預測約為 6.9，仍然比使用 OLS 迴歸得出的 9.6 小，但比使用逆方差權重得出的 0.0014 合理得多。
在此範例中，透過 OLS 迴歸和對數線性變異數迴歸找到了合理的預測。在這兩個模型中，空白的變異數不會壓倒零水平預測區間的計算。當使用逆方差作為權重時，空白的變異數導致非常小的估計檢測極限。與對數線性變異數迴歸一樣，使用 OLS 迴歸可以對檢測極限進行更保守的估計。正如喬治·博克斯（George Box）所說，所有模型都是錯誤的，但有些模型是有用的。在尋找偵測極限的情況下，OLS 和對數線性變異數迴歸模型可以產生有用的逆預測。
參考：
- Inczedy, J.、Lengyel, T. 與 Ure, AM (1998)。分析命名綱要，第三版。參見http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ 。
- 拉米雷斯，何塞G. (2009)。統計區間：信賴區間、預測區間、包圍區間。可從http://www.jmp.com/software/whitepapers/取得。
