Este artículo aparece en JMPer Cable, número 30, verano de 2015 .
por Di Michelson di.michelson , Consultor sénior de capacitación analítica, SAS
Mark Bailey escribió un excelente artículo en el número 29 de JMPer Cable , en el que detalla cómo utilizar datos por debajo de un límite de detección. ¿Qué se hace cuando se necesita estimar ese umbral de medición? La química analítica proporciona información sobre la concentración de un elemento o molécula en una sustancia (un analito ). Las mediciones de concentración tienen un límite natural en cero. El proceso de medición en sí es variable y contiene ruido. Por lo tanto, las mediciones de una muestra con una cantidad cero conocida de un analito darán como resultado respuestas distintas de cero. Este ruido de fondo se puede estimar para dar un límite de detección (LOD): el límite superior del ruido de un sistema de medición.
Para estimar el límite de detección del método de medición, nos gustaría encontrar el nivel más bajo de concentración en el que los resultados se vuelven indistinguibles de una lectura cero. Este es el punto en el que comenzaríamos a ver señales de concentraciones cero. Existen diferentes métodos para encontrar el LOD en la literatura. Los estándares de la industria, incluidos SEMI C10 (Guía para la determinación de los límites de detección del método), ISO:11843 (Capacidad de detección) y el Compendio de nomenclatura analítica 1 de la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (IUPAC), analizan metodologías para determinar el límite de detección. La mayoría de los autores recomiendan el uso de la curva de calibración para ajustar un modelo lineal, seguido de una predicción inversa para encontrar el LOD.
Analizaremos varios métodos para ajustar un modelo lineal a una curva de calibración, luego estimaremos un intervalo de predicción para futuras observaciones en el nivel cero y, finalmente, utilizaremos la predicción inversa del límite superior para estimar el LOD. Consideraremos la regresión de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para ajustar un modelo lineal a la curva de calibración. Otros métodos populares en la literatura se basan en esquemas de ponderación.
Un intervalo de predicción del 100(1–α)% es un rango de valores de una variable con la propiedad de que si se calculan muchos de estos intervalos para varias muestras, el 100(1–α)% de ellos contendrá una observación de una realización futura del proceso. Un intervalo de predicción es diferente de un intervalo de confianza. Un intervalo de confianza proporciona límites en los que esperamos que ocurra un parámetro de población, como una media o una varianza. Un intervalo de predicción proporciona límites en los que esperamos que ocurra una observación individual futura.
En la literatura se pueden encontrar fórmulas para calcular el intervalo de predicción. La fórmula depende de la cantidad de observaciones futuras a realizar.
se puede predecir. Véase Ramírez 2 para una discusión accesible de los intervalos estadísticos.
Como ejemplo, considere un sistema de espectrometría de masas con plasma acoplado inductivamente (ICP-MS) que realiza un análisis de elementos traza con el fin de determinar la cantidad de contaminantes en una muestra. Se mide una muestra que contiene una cantidad conocida de un contaminante. La respuesta es la intensidad de la señal, medida en conteos por segundo (CPS). El experimento se repite para cuatro niveles conocidos, incluido el de ausencia total de contaminantes. La Figura 1 muestra los datos.
Figura 1 Datos sobre los niveles de contaminantes y las respuestas
La figura 2 muestra un gráfico de los valores medidos en comparación con los valores conocidos, que muestra que los datos parecen seguir una tendencia lineal. Cabe destacar que la variabilidad en el nivel de concentración cero es mucho menor que en otros niveles.
Figura 2 Gráfico de regresión de valores medidos versus valores conocidos
Puede resultar difícil ver la diferencia en la variabilidad en el nivel cero utilizando un diagrama de dispersión de los datos. En su lugar, examine un gráfico de los residuos según la respuesta prevista. El gráfico de residuos de la Figura 3 muestra claramente que la varianza es mucho mayor donde existe el elemento que donde no lo existe. Hay tres observaciones representadas en el círculo rojo.
Figura 3 Gráfico de los residuos frente a la respuesta prevista
Muchas características físicas muestran heterocedasticidad , o la varianza de la respuesta cambia a lo largo del rango de datos. La variabilidad de los datos físicos a menudo aumenta a medida que aumenta la respuesta. La regresión de mínimos cuadrados ordinarios asume homocedasticidad , o varianzas iguales a lo largo del rango de datos. Por lo tanto, ingenuamente, podría tener sentido buscar métodos para estabilizar la varianza.
Un método de estabilización de la varianza consiste en utilizar la regresión de mínimos cuadrados ponderados (WLS), que pondera los datos por el recíproco de la varianza dentro de cada grupo. La mayoría de los problemas de calibración no utilizan muestras lo suficientemente grandes como para estimar las varianzas de los grupos con baja incertidumbre. Por lo tanto, otro método popular consiste en modelar la varianza y la media. JMP implementa este modelo utilizando el modelo de personalidad de ajuste de varianza loglineal. Demostraremos el método OLS y estos dos métodos de regresión WLS.
La heterocedasticidad no afecta el sesgo de los coeficientes de regresión (pendiente e intersección) utilizando mínimos cuadrados ordinarios. Sí afecta los errores estándar de los coeficientes de regresión. Sin embargo, para datos típicos como nuestros datos simulados, la varianza del CPS para el espacio en blanco es mucho menor que para los que no son espacios en blanco, y la varianza de los que no son espacios en blanco es lo que nos gustaría usar para encontrar intervalos de predicción para el límite de detección. La razón de esta aparente contradicción es que al usar la varianza del CPS
El espacio en blanco conduce a intervalos de predicción demasiado estrechos. Los intervalos de predicción estrechos suenan bien, pero en la práctica pueden dar lugar a expectativas poco razonables. Por lo tanto, la recomendación es utilizar la regresión de mínimos cuadrados ordinarios para encontrar el intervalo de predicción, seguido de la predicción inversa del límite de predicción superior a la línea de regresión, como se muestra en la Figura 4. También se demostrará que el modelo de varianza loglineal proporciona predicciones razonables.
Figura 4 Regresión de mínimos cuadrados ordinarios
Usamos la plataforma Fit Least Squares de Fit Model para ajustar una línea a los datos. Guarda la fórmula de predicción y el intervalo de predicción seleccionando Guardar columnas > Fórmula de predicción y Guardar columnas > Fórmula de límite de confianza individual en el triángulo rojo junto a Recuento de respuestas por segundo. La figura 5 muestra los datos.
Figura 5 Datos con fórmula de predicción guardada e intervalos
La estimación del límite superior de predicción del 95 % en cero es 109. Utilice la predicción inversa para estimar la concentración real en este valor. Regrese al informe Ajustar mínimos cuadrados. En el triángulo rojo junto a Recuento de respuestas por segundo, seleccione Estimaciones > Predicción inversa . Ingrese 109 en el primer espacio en blanco y haga clic en Aceptar, como se muestra en la Figura 6.
Figura 6 Ingreso del límite de predicción superior estimado del 95 %
El valor previsto de la respuesta es 9,6, y esa es nuestra estimación del límite de detección como se muestra en la Figura 7.
Figura 7 Valor previsto de la respuesta
Algunos documentos estándar de la industria, en particular SEMI C10, recomiendan la regresión de mínimos cuadrados ponderados. Comparemos la predicción inversa del intervalo de predicción de MCO con la derivada de WLS.
Los mínimos cuadrados ponderados utilizan ponderaciones en los datos para estabilizar la varianza. Un método ad hoc para la ponderación es utilizar la varianza recíproca de los grupos como ponderaciones. Para encontrar la varianza de cada grupo, resuma los datos utilizando Tablas > Resumen . Agregue Concentración estándar como una columna de agrupación, seleccione Conteos por segundo y luego haga clic en Estadísticas > Varianza para solicitar la varianza de CPS por grupo. Haga clic en Aceptar .
A continuación, agregue una nueva columna que contenga una fórmula a la tabla de resumen. Esta fórmula contendrá el recíproco de la varianza de cada grupo, como se muestra en la Figura 8.
Figura 8 Fórmula para el recíproco de la varianza de cada grupo
La tabla resumen contiene la variable de agrupación, el tamaño de la muestra y la varianza para cada grupo, y la varianza inversa para cada grupo como se muestra en la Figura 9.
Figura 9 Tabla resumen
La varianza inversa debe volver a la tabla de datos original. Regrese a la tabla original y utilice Tablas > Unir para agregar la columna de varianzas inversas como se muestra en la Figura 10.
Figura 10 Unión de los datos originales y resumidos
La tabla resultante, que se muestra en la Figura 11, contiene las columnas de la tabla original además de la nueva columna de ponderación.
Figura 11 Datos unidos
Ahora se puede ajustar nuevamente el modelo de regresión, esta vez utilizando la columna Varianza inversa en la función Peso como se muestra en la Figura 12.
Figura 12 Especificación de la columna de varianza inversa
Nuevamente, guarde la fórmula de predicción y el intervalo de predicción en la tabla de datos haciendo clic en el triángulo rojo y seleccionando Guardar columnas > Fórmula de predicción y Guardar columnas > Fórmula de límite de confianza individual . Las columnas de predicción de regresión de MCO se han ocultado en la tabla que se muestra en la Figura 13.
Figura 13 Datos con fórmula de predicción guardada e intervalos
La estimación del límite de predicción superior del 95 % en cero es 0,03, cuatro órdenes de magnitud menor que la obtenida con la regresión OLS. Utilice la predicción inversa una vez más para encontrar la estimación del límite de detección. En el triángulo rojo, seleccione Estimaciones > Predicción inversa . Ingrese 0,03 y haga clic en Aceptar .
Figura 14 Predicción inversa para la concentración estándar
Como se muestra en la Figura 14, la predicción es 0,0014, que es la estimación del límite de detección. Este número es mucho menor que el que se obtiene con la regresión OLS (9.6). Puede parecer que un número menor sería mejor, pero WLS puede llevar a estimaciones que el profesional sabe que son ridículamente pequeñas. Por ejemplo, a veces se hace la comparación de sistemas utilizando el LOD. Los LOD demasiado pequeños pueden llevar a sistemas que no coinciden estadísticamente, pero que, a todos los efectos prácticos, se puede considerar que miden lo mismo. Esto puede llevar a problemas que justifiquen el uso de buenos sistemas con los auditores.
Una de las razones por las que el límite de predicción es tan pequeño, lo que da como resultado un límite de detección estimado igualmente pequeño, es que la varianza del grupo para el nivel cero es mucho menor que la varianza del grupo para los otros niveles. Por lo tanto, la varianza inversa del nivel cero es enorme en comparación con los otros.
Una solución para esto es modelar no solo la respuesta media sino también la varianza de la respuesta. Este método es particularmente útil si se puede suponer que la varianza es proporcional a la media, por ejemplo. Además de modelar la respuesta media con regresores, el modelo de varianza loglineal utiliza regresores para modelar el logaritmo de la varianza. Es decir,
donde las columnas de X son los regresores para la respuesta media y las columnas de Z son los regresores para la varianza de la respuesta. Los parámetros del modelo para la media son β y el parámetro del modelo para la varianza es λ . Encuentre más información sobre el modelo de varianza loglineal en Ajuste de modelos lineales en Ayuda > Libros en JMP.
Utilizando el modelo de ajuste, especifique los recuentos por segundo como Y y la concentración estándar como el efecto medio. A continuación, seleccione la personalidad de varianza loglineal como se muestra en la Figura 15. Seleccione la pestaña Efectos de varianza en la parte inferior, agregue la concentración estándar y luego ejecute el modelo.
Figura 15 Especificación del modelo de ajuste
El informe de ajuste de varianza loglineal contiene estimaciones de β y λ , así como estadísticas de ajuste. Guarde la fórmula de predicción y el intervalo de predicción haciendo clic en el triángulo rojo junto a Ajuste de varianza loglineal y seleccionando Guardar columnas > Fórmula de predicción y , luego, nuevamente, Guardar columnas > Intervalo de confianza individual . La figura 16 muestra los límites de predicción guardados en la tabla de datos.
Figura 16 Límite superior de predicción
El límite superior de predicción es 81. El informe Fit LogVariance no permite la predicción inversa, pero es fácil hacerlo con el Profiler. Regrese a la ventana Fit LogVariance. Desde el triángulo rojo, seleccione Profilers > Profiler . Arrastre el control deslizante Standard Concentration hacia la izquierda hasta que la predicción de Counts per Second esté cerca de 81 (Figura 17). Puede ajustar la escala del eje X si es necesario para ampliar la región de interés.
Figura 17 Predicciones inversas en el Prediction Profiler
La predicción inversa es de alrededor de 6,9, todavía un número menor que el 9,6 que se encontró usando la regresión MCO, pero mucho más razonable que el 0,0014 encontrado usando ponderaciones de varianza inversa.
En este ejemplo, se obtienen predicciones razonables tanto con la regresión MCO como con la regresión de varianza loglineal. En ambos modelos, la varianza de los espacios en blanco no abruma el cálculo del intervalo de predicción para el nivel cero. La varianza de los espacios en blanco conduce a límites de detección estimados muy pequeños cuando se utiliza la varianza inversa como ponderación. El uso de la regresión MCO conduce a una estimación más conservadora del límite de detección, al igual que la regresión de varianza loglineal. Como dijo George Box, todos los modelos son incorrectos, pero algunos son útiles. En el caso de encontrar el límite de detección, los modelos de regresión de varianza loglineal y MCO conducen a predicciones inversas útiles.
Referencias:
- Inczedy, J., Lengyel, T. y Ure, AM (1998). Compendio de nomenclatura analítica, tercera edición . Disponible en http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ .
- Ramírez, José G. (2009). Intervalos estadísticos: confianza, predicción y encierro . Disponible en http://www.jmp.com/software/whitepapers/ .
