本文刊登于《JMPer Cable》2015 年夏季第 30 期。
作者：Di Michelson di.michelson ，SAS 高级分析培训顾问
Mark Bailey 在第 29 期JMPer Cable上写了一篇很棒的文章，详细介绍了如何使用低于检测限的数据。当您需要估算测量阈值时，您会怎么做？分析化学提供有关物质（分析物）中元素或分子浓度的信息。浓度测量的自然界限为零。测量过程本身是可变的，并且包含噪声。因此，测量已知分析物含量为零的样品将导致非零响应。可以估算该背景噪声以给出检测限 (LOD)：测量系统噪声的上限。
为了估计测量方法的检测限，我们希望找到最低浓度水平，此时结果与零读数难以区分。这是我们开始看到零浓度信号的点。文献中存在用于查找 LOD 的不同方法。行业标准，包括 SEMI C10（方法检测限确定指南）、ISO:11843（检测能力）和国际纯粹与应用化学联合会 (IUPAC)分析术语汇编1，讨论了确定检测限的方法。大多数作者建议使用校准曲线来拟合线性模型，然后进行逆向预测以找到 LOD。
我们将研究各种方法，将线性模型拟合到校准曲线，然后估计零水平的未来观测值的预测区间，最后使用上限的逆预测来估计 LOD。我们将考虑使用普通最小二乘(OLS) 回归将线性模型拟合到校准曲线。文献中流行的其他方法基于加权方案。
100(1-α)% 预测区间是变量的一系列值，其特性是，如果为多个样本计算出许多这样的区间，则其中 100(1-α)% 将包含来自该过程未来实现的一个观测值。预测区间不同于置信区间。置信区间给出了我们预期总体参数（例如平均值或方差）发生的限值。预测区间给出了我们预期未来单个观测值发生的限值。
您可以在文献中找到预测间隔计算的公式。该公式取决于未来观测次数
可以预测。有关统计区间的讨论，请参阅 Ramirez 2 。
举例来说，考虑一个电感耦合等离子体质谱 (ICP-MS) 系统，该系统执行痕量元素分析以确定样品中的污染物含量。测量含有已知量污染物的样品。响应是信号强度，以每秒计数 (CPS) 为单位测量。实验重复四个已知水平，包括完全无污染物。图 1 显示了数据。
图 1污染物水平和响应数据
图 2 显示了测量值与已知值的对比图，表明数据似乎遵循线性趋势。值得注意的是，零浓度水平的变化比其他水平的变化小得多。
图 2测量值与已知值的回归图
使用数据散点图很难看出零水平的变异性差异。相反，请检查预测响应的残差图。图 3 中的残差图清楚地表明，元素存在的地方的方差比不存在的地方高得多。红色圆圈中绘制了三个观测值。
图 3残差与预测响应的关系图
许多物理特性表现出异方差性，即响应的方差随数据范围而变化。物理数据的变异性通常随响应的增加而增加。普通最小二乘回归假设同方差性，即数据范围内的方差相等。因此，简单地说，寻求稳定方差的方法可能是有意义的。
方差稳定的一种方法是使用加权最小二乘(WLS) 回归，该方法用每个组内的方差倒数对数据进行加权。大多数校准问题使用的样本并不大到足以以较低的不确定性估计组方差。因此，另一种流行的方法是对方差和平均值进行建模。JMP 使用拟合模型的对数线性方差特性来实现此模型。我们将演示 OLS 和这两种 WLS 回归方法。
异方差不会影响使用普通最小二乘法得到的回归系数（斜率和截距）的偏差。它确实会影响回归系数的标准误差。但是，对于像我们的模拟数据这样的典型数据，空白的 CPS 方差远小于非空白的方差，而非空白的方差正是我们希望用来找到检测限的预测区间的方差。这种看似矛盾的原因是，使用 CPS 的方差
对于空白，预测区间太窄。较窄的预测区间听起来不错，但在实践中可能会导致不合理的预期。因此，建议使用普通最小二乘回归来找到预测区间，然后将预测上限反向预测到回归线，如图 4 所示。对数线性方差模型也将显示给出合理的预测。
图4普通最小二乘回归
我们使用“拟合模型”中的“拟合最小二乘”平台将一条线拟合到数据中。通过从“每秒响应计数”旁边的红色三角形中选择“保存列”>“预测公式”和“保存列”>“单个置信限度公式”，可以保存预测公式和预测区间。图 5 显示了数据。
图 5保存了预测公式和区间的数据
零点处的 95% 预测上限估计值为 109。使用逆向预测来估计此值处的真实浓度。返回“拟合最小二乘法”报告。从“每秒响应计数”旁边的红色三角形中，选择“估计”>“逆向预测” 。在第一个空白处输入 109，然后单击“确定” ，如图 6 所示。
图 6输入估计的 95% 预测上限
响应的预测值为 9.6，这是我们对检测限的估计，如图 7 所示。
图 7响应的预测值
一些行业标准文件（尤其是 SEMI C10）推荐使用加权最小二乘回归。让我们将 OLS 预测区间的逆预测与 WLS 得出的逆预测进行比较。
加权最小二乘法对数据使用权重以稳定方差。一种临时的加权方法是使用各组的方差倒数作为权重。要查找每个组的方差，请使用表格 > 摘要汇总数据。添加标准浓度作为分组列，选择每秒计数，然后单击统计 > 方差以按组查询 CPS 的方差。单击确定。
接下来，在汇总表中添加一个包含公式的新列。此公式将包含每个组的方差的倒数，如图 8 所示。
图 8各组方差倒数的公式
汇总表包含分组变量、每组的样本大小和方差以及每组的逆方差，如图 9 所示。
图 9汇总表
逆方差需要返回到原始数据表中。返回原始表并使用“表格”>“连接”添加逆方差列，如图 10 所示。
图 10连接原始数据和汇总数据
如图 11 所示，结果表除了包含新的加权列之外，还包含原始表的列。
图 11连接数据
现在可以再次拟合回归模型，这次使用权重角色中的逆方差列，如图 12 所示。
图 12指定逆方差列
再次，通过单击红色三角形并选择保存列 > 预测公式和保存列 > Indiv 置信限公式，将预测公式和预测区间保存到数据表中。OLS 回归预测列已隐藏在图 13 所示的表格中。
图 13保存了预测公式和区间的数据
零点的 95% 预测上限估计值为 0.03，比使用 OLS 回归得出的结果小四个数量级！再次使用逆预测来找到检测限的估计值。从红色三角形中选择估计值 > 逆预测。输入 0.03 并单击确定。
图 14标准浓度的逆预测
如图 14 所示，预测值为 0.0014，这是检测限的估计值。这个数字比 OLS 回归给出的数字（9.6）小得多。看起来似乎数字越小越好，但 WLS 可能导致从业者认为估计值小得可笑。例如，有时使用 LOD 进行系统匹配。太小的 LOD 可能导致系统在统计上不匹配，但出于所有实际目的，可以考虑测量相同的系统。这可能导致难以证明审计员使用良好系统的合理性。
预测限如此之小，导致估计检测限同样小，原因之一是零水平的组方差比其他水平的组方差小得多。因此，与其他水平相比，零水平的逆方差很大。
解决此问题的一种方法是不仅对平均响应进行建模，而且还对响应的方差进行建模。例如，如果您可以假设方差与平均值成比例，则此方法特别有用。除了使用回归量对平均响应进行建模外，对数线性方差模型还使用回归量对方差的对数进行建模。也就是说，
其中X的列是响应均值的回归量， Z的列是响应方差的回归量。均值的模型参数为β ，方差的模型参数为λ 。有关对数线性方差模型的更多信息，请参阅 JMP帮助 > 书籍中的拟合线性模型。
使用拟合模型，将每秒计数指定为 Y，将标准浓度指定为平均效应。接下来，选择对数线性方差个性，如图 15 所示。选择底部的方差效应选项卡，添加标准浓度，然后运行模型。
图 15拟合模型规格
对数线性方差拟合报告包含β和λ的估计值以及拟合统计数据。单击对数线性方差拟合旁边的红色三角形并选择保存列 > 预测公式，然后再次选择保存列 > 个体置信区间，保存预测公式和预测区间。图 16 显示了数据表中保存的预测限值。
图 16预测上限
预测上限为 81。Fit LogVariance 报告不允许进行逆向预测，但使用 Profiler 可以轻松完成。返回 Fit LogVariance 窗口。从红色三角形中选择Profilers > Profiler 。将 Standard Concentration 滑块向左拖动，直到每秒计数的预测值接近 81（图 17）。如有必要，您可以调整 X 轴的比例以放大感兴趣的区域。
图 17预测刻画器中的逆预测
逆预测值约为 6.9，仍然小于使用 OLS 回归得出的 9.6，但比使用逆方差权重得出的 0.0014 合理得多。
在此示例中，OLS 回归和对数线性方差回归均得出了合理的预测。在这两个模型中，空白方差不会压倒零水平预测区间的计算。当使用逆方差作为权重时，空白方差会导致估计的检测限非常小。使用 OLS 回归会导致对检测限的估计更为保守，对数线性方差回归也是如此。正如乔治·博克斯 (George Box) 的名言，所有模型都是错误的，但有些模型是有用的。在寻找检测限的情况下，OLS 和对数线性方差回归模型会产生有用的逆预测。
参考：
- Inczedy, J.、Lengyel, T. 和 Ure, AM (1998)。 《分析命名法概要》第三版。可访问http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ 。
- Ramírez, José G. (2009)。统计区间：置信度、预测、区间。可访问http://www.jmp.com/software/whitepapers/ 。
