본 기사는 JMPer Cable, 30호, 2015년 여름 에 게재되었습니다.
Di Michelson di.michelson , SAS의 수석 분석 교육 컨설턴트
Mark Bailey는 JMPer Cable 의 29호 에 검출 한계 이하의 데이터를 사용하는 방법을 자세히 설명하는 훌륭한 기사를 썼습니다. 측정 한계를 추정해야 할 때 어떻게 합니까? 분석 화학은 물질( 분석 대상 )의 원소 또는 분자 농도에 대한 정보를 제공합니다. 농도 측정은 0에서 자연스러운 경계를 갖습니다. 측정 프로세스 자체는 가변적이며 노이즈가 포함됩니다. 따라서 분석 대상의 알려진 0량이 있는 샘플을 측정하면 0이 아닌 응답이 발생합니다. 이 배경 노이즈는 검출 한계(LOD)를 제공하기 위해 추정할 수 있습니다. 즉, 측정 시스템의 노이즈에 대한 상한입니다.
측정 방법의 검출 한계를 추정하기 위해, 우리는 결과가 0 판독값과 구별할 수 없게 되는 가장 낮은 농도 수준을 찾고자 합니다. 이것은 우리가 0 농도에 대한 신호를 보기 시작하는 지점입니다. LOD를 찾는 다양한 방법이 문헌에 존재합니다. SEMI C10(Guide for Determination of Method Detection Limits), ISO:11843(Capability of Detection), International Union of Pure and Applied Chemistry(IUPAC) Compendium of Analytical Nomenclature 1을 포함한 산업 표준은 검출 한계를 결정하는 방법론을 논의합니다. 대부분의 저자는 선형 모델을 맞추기 위해 검량선을 사용한 다음 역 예측을 사용하여 LOD를 찾을 것을 권장합니다.
우리는 선형 모델을 교정 곡선에 맞추기 위한 다양한 방법을 검토한 다음, 0 레벨에서 미래 관측치에 대한 예측 구간을 추정하고, 마지막으로 상한의 역 예측을 사용하여 LOD를 추정합니다. 우리는 선형 모델을 교정 곡선에 맞추기 위해 일반 최소 제곱 (OLS) 회귀를 고려할 것입니다. 문헌에서 인기 있는 다른 방법은 가중치 체계를 기반으로 합니다.
100(1–α)% 예측 구간은 여러 샘플에 대해 이러한 구간을 많이 계산하면 그 중 100(1–α)%가 프로세스의 미래 실현에서 하나의 관측치를 포함하는 속성을 가진 변수 값 범위입니다. 예측 구간은 신뢰 구간과 다릅니다. 신뢰 구간은 평균이나 분산과 같은 모집단 모수가 발생할 것으로 예상되는 한계를 제공합니다. 예측 구간은 미래의 개별 관측치가 발생할 것으로 예상되는 한계를 제공합니다.
문헌에서 예측 구간 계산 공식을 찾을 수 있습니다. 공식은 미래 관찰 수에 따라 달라집니다.
예측할 수 있습니다. 통계적 간격에 대한 접근 가능한 논의는 Ramirez 2를 참조하세요.
예를 들어, 샘플의 오염 물질 양을 결정하기 위해 미량 원소 분석을 수행하는 유도 결합 플라스마-질량 분석(ICP-MS) 시스템을 고려해 보겠습니다. 알려진 양의 오염 물질이 포함된 샘플을 측정합니다. 응답은 초당 카운트(CPS)로 측정되는 신호 강도입니다. 실험은 오염 물질이 전혀 없는 것을 포함하여 알려진 4개 레벨에 대해 반복됩니다. 그림 1은 데이터를 보여줍니다.
그림 1 오염 물질 수준 및 반응에 대한 데이터
그림 2는 측정된 값과 알려진 값의 그래프를 보여주는데, 데이터가 선형적 추세를 따르는 것으로 보입니다. 0 농도 수준에서의 변동성이 다른 수준에서의 변동성보다 훨씬 적다는 점이 주목할 만합니다.
그림 2 측정된 값과 알려진 값의 회귀 플롯
데이터의 산점도를 사용하여 0 수준에서 변동성의 차이를 보는 것은 어려울 수 있습니다. 대신 예측된 반응에 따른 잔차 플롯을 조사합니다. 그림 3의 잔차 플롯은 요소가 있는 곳에서 분산이 없는 곳보다 훨씬 높다는 것을 분명히 보여줍니다. 빨간색 원 안에 세 개의 관측치가 그려져 있습니다.
그림 3 잔차 대 예측 응답의 플롯
많은 물리적 특성은 이분산성 , 즉 데이터 범위에 걸쳐 반응의 분산이 변하는 것을 보여줍니다. 물리적 데이터의 변동성은 종종 반응이 증가함에 따라 증가합니다. 일반 최소 제곱 회귀는 등분산성 , 즉 데이터 범위에 걸쳐 동일한 분산을 가정합니다. 따라서 순진하게 분산을 안정화하는 방법을 추구하는 것이 합리적일 수 있습니다.
분산 안정화의 한 가지 방법은 가중 최소 제곱 (WLS) 회귀를 사용하는 것입니다. 이는 각 그룹 내 분산의 역수로 데이터에 가중치를 부여합니다. 대부분의 교정 문제는 낮은 불확실성으로 그룹 분산을 추정하기에 충분히 큰 샘플을 사용하지 않습니다. 따라서 또 다른 인기 있는 방법은 분산과 평균을 모두 모델링하는 것입니다. JMP는 적합 모델의 Loglinear Variance 특성을 사용하여 이 모델을 구현합니다. OLS와 이 두 가지 WLS 회귀 방법을 보여드리겠습니다.
이분산성은 일반 최소 제곱법을 사용하는 회귀 계수(기울기와 절편)의 편향에 영향을 미치지 않습니다. 회귀 계수의 표준 오차에는 영향을 미칩니다. 그러나 시뮬레이션 데이터와 같은 일반적인 데이터의 경우 공백에 대한 CPS의 분산은 공백이 아닌 데이터의 분산보다 훨씬 적으며 공백이 아닌 데이터의 분산은 감지 한계에 대한 예측 구간을 찾는 데 사용하려는 것입니다. 이러한 모순처럼 보이는 이유는 CPS의 분산을 사용하는 것이
공백은 너무 좁은 예측 구간으로 이어진다. 좁은 예측 구간은 좋게 들리지만 실제로는 비합리적인 기대로 이어질 수 있다. 따라서 권장 사항은 그림 4에 표시된 대로 예측 구간을 찾기 위해 일반 최소 제곱 회귀를 사용한 다음 회귀선에 대한 상위 예측 한계의 역 예측을 수행하는 것이다. Loglinear Variance 모델도 합리적인 예측을 제공하는 것으로 표시된다.
그림 4 일반 최소 제곱 회귀
Fit Model의 Fit Least Squares 플랫폼을 사용하여 데이터에 선을 맞춥니다. Response Counts per Second 옆에 있는 빨간색 삼각형에서 Save Columns > Prediction Formula 및 Save Columns > Individual Confidence Limit Formula를 선택하여 예측 공식과 예측 구간을 저장합니다. 그림 5는 데이터를 보여줍니다.
그림 5 저장된 예측 공식 및 간격이 있는 데이터
0에서 상위 95% 예측 한계의 추정치는 109입니다. 역 예측을 사용하여 이 값에서 실제 농도를 추정합니다. Fit Least Squares 보고서로 돌아갑니다. 초당 응답 횟수 옆에 있는 빨간색 삼각형에서 추정치 > 역 예측을 선택합니다. 첫 번째 빈칸에 109를 입력하고 그림 6에 표시된 대로 확인을 클릭합니다.
그림 6 추정된 상위 95% 예측 한계 입력
반응의 예측값은 9.6이며, 이는 그림 7에서 볼 수 있듯이 검출 한계에 대한 우리의 추정치입니다.
그림 7 응답의 예측 값
일부 산업 표준 문서, 특히 SEMI C10은 가중 최소 제곱 회귀를 권장합니다. OLS 예측 구간의 역 예측을 WLS에서 파생된 역 예측과 비교해 보겠습니다.
가중 최소 제곱법은 분산을 안정화하기 위해 데이터에 가중치를 사용합니다. 가중치를 위한 임시 방법은 그룹의 역수 분산을 가중치로 사용하는 것입니다. 각 그룹의 분산을 찾으려면 Tables > Summary를 사용하여 데이터를 요약합니다. Standard Concentration을 그룹화 열로 추가하고 Counts per Second를 선택한 다음 Statistics > Variance를 클릭하여 그룹별 CPS의 분산을 묻습니다. OK를 클릭합니다.
다음으로, 요약 표에 공식을 포함하는 새 열을 추가합니다. 이 공식은 그림 8에 표시된 대로 각 그룹의 분산의 역수를 포함합니다.
그림 8 각 그룹의 분산의 역수 공식
요약 표에는 그림 9에서 보이는 바와 같이 그룹화 변수, 각 그룹의 표본 크기와 분산, 그리고 각 그룹의 역분산이 포함되어 있습니다.
그림 9 요약표
역 분산은 원래 데이터 테이블로 다시 돌아가야 합니다. 원래 테이블로 돌아가서 Tables > Join을 사용하여 그림 10과 같이 역 분산의 열을 추가합니다.
그림 10 원본 데이터와 요약 데이터 결합
그림 11에 표시된 결과 표에는 새 가중치 열 외에도 원래 표의 열이 포함되어 있습니다.
그림 11 결합된 데이터
이번에는 그림 12에서 보듯이 가중치 역할의 역분산 열을 사용하여 회귀 모델을 다시 적합시킬 수 있습니다.
그림 12 역분산 열 지정
다시, 빨간색 삼각형을 클릭하고 열 저장 > 예측 공식 및 열 저장 > 개별 신뢰 한계 공식을 선택하여 예측 공식과 예측 구간을 데이터 테이블에 저장합니다. OLS 회귀 예측 열은 그림 13에 표시된 표에서 숨겨졌습니다.
그림 13 저장된 예측 공식 및 간격이 있는 데이터
0에서의 상위 95% 예측 한계의 추정치는 0.03으로, OLS 회귀를 사용하여 찾은 것보다 4단계 더 작습니다! 역 예측을 다시 사용하여 감지 한계의 추정치를 찾습니다. 빨간색 삼각형에서 Estimates > Inverse Prediction을 선택합니다. 0.03을 입력하고 OK를 클릭합니다.
그림 14 표준 농도에 대한 역 예측
그림 14에서 볼 수 있듯이 예측은 0.0014이며, 이는 검출 한계의 추정치입니다. 이 숫자는 OLS 회귀(9.6)에서 얻은 숫자보다 훨씬 작습니다. 숫자가 작을수록 더 좋을 것 같지만 WLS는 실무자가 터무니없이 작은 것으로 알고 있는 추정치로 이어질 수 있습니다. 예를 들어, 매칭 시스템은 때때로 LOD를 사용하여 수행됩니다. 너무 작은 LOD는 통계적으로 매칭되지 않는 시스템으로 이어질 수 있지만 모든 실용적인 목적을 위해 동일한 것을 측정하는 것으로 간주될 수 있습니다. 이는 감사원에게 좋은 시스템 사용을 정당화하는 데 문제가 될 수 있습니다.
예측 한계가 너무 작아서 비슷하게 작은 추정 감지 한계가 생기는 한 가지 이유는 0 레벨의 그룹 분산이 다른 레벨의 그룹 분산보다 훨씬 작기 때문입니다. 따라서 0 레벨의 역 분산은 다른 것에 비해 엄청납니다.
이에 대한 한 가지 해결책은 평균 반응뿐만 아니라 반응의 분산도 모델링하는 것입니다. 이 방법은 예를 들어 분산이 평균에 비례한다고 가정할 수 있는 경우에 특히 유용합니다. 회귀자를 사용하여 평균 반응을 모델링하는 것 외에도 Loglinear Variance 모델은 회귀자를 사용하여 분산의 로그를 모델링합니다. 즉,
여기서 X 의 열은 평균 반응에 대한 회귀자이고 Z 의 열은 반응의 분산에 대한 회귀자입니다. 평균에 대한 모델의 매개변수는 β 이고 분산에 대한 모델의 매개변수는 λ 입니다. JMP의 도움말 > 도서 에서 선형 모델 적합 에서 Loglinear Variance 모델에 대한 자세한 정보를 찾아보세요.
Fit Model을 사용하여 Y로 Counts per Second를 지정하고 Mean Effect로 Standard Concentration을 지정합니다. 다음으로, 그림 15에 표시된 대로 Loglinear Variance 개성을 선택합니다. 하단의 Variance Effects 탭을 선택하고 Standard Concentration을 추가한 다음 모델을 실행합니다.
그림 15 적합 모델 사양
Loglinear Variance Fit 보고서에는 β 와 λ 의 추정치와 적합 통계가 포함되어 있습니다. Loglinear Variance Fit 옆에 있는 빨간색 삼각형을 클릭하고 열 저장 > 예측 공식을 선택한 다음 다시 열 저장 > 개별 신뢰 구간을 선택하여 예측 공식과 예측 구간을 저장합니다 . 그림 16은 데이터 테이블에 저장된 예측 한계를 보여줍니다.
그림 16 상위 예측 한계
상위 예측 한계는 81입니다. Fit LogVariance 보고서는 역 예측을 허용하지 않지만 Profiler를 사용하면 간단하게 할 수 있습니다. Fit LogVariance 창으로 돌아갑니다. 빨간색 삼각형에서 Profilers > Profiler를 선택합니다. Standard Concentration 슬라이더를 왼쪽으로 드래그하여 Counts per Second 예측이 81에 가까워질 때까지 드래그합니다(그림 17). 필요한 경우 X축의 스케일을 조정하여 관심 영역을 확대할 수 있습니다.
그림 17 예측 프로파일러의 역 예측
역 예측은 약 6.9로, OLS 회귀를 사용하여 발견된 9.6보다 작은 숫자이지만, 역 분산 가중치를 사용하여 발견된 0.0014보다 훨씬 합리적입니다.
이 예에서 OLS 회귀와 Loglinear Variance 회귀 모두에서 합리적인 예측을 찾았습니다. 두 모델 모두에서 공백의 분산은 0 레벨에 대한 예측 구간 계산을 압도하지 않습니다. 공백의 분산은 역 분산을 가중치로 사용할 때 매우 작은 추정 감지 한계로 이어집니다. OLS 회귀를 사용하면 Loglinear Variance 회귀와 마찬가지로 감지 한계에 대한 보다 보수적인 추정이 이루어집니다. George Box가 유명하게 말했듯이 모든 모델은 틀렸지만 일부 모델은 유용합니다. 감지 한계를 찾는 경우 OLS 및 Loglinear Variance 회귀 모델은 유용한 역 예측으로 이어집니다.
참고문헌:
- Inczedy, J., Lengyel, T., & Ure, AM (1998). Compendium of Analytical Nomenclature, 3판 . http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ 에서 이용 가능.
- Ramírez, José G. (2009). 통계적 간격: 신뢰, 예측, 첨부 . http://www.jmp.com/software/whitepapers/ 에서 이용 가능.
