この記事は、JMPer Cable、2015 年夏号 30 号に掲載されています。
Di Michelson di.michelson 、SAS シニア分析トレーニング コンサルタント
Mark Bailey は、 JMPer Cableの第 29 号で、検出限界以下のデータの使用方法を詳しく説明した優れた記事を執筆しました。測定のしきい値を推定する必要がある場合、どうすればよいでしょうか。分析化学は、物質 (分析対象物) 内の元素または分子の濃度に関する情報を提供します。濃度の測定には、ゼロという自然な境界があります。測定プロセス自体は可変であり、ノイズが含まれています。したがって、分析対象物の量がゼロであることがわかっているサンプルを測定すると、ゼロ以外の応答が得られます。このバックグラウンド ノイズを推定して、検出限界 (LOD)、つまり測定システムのノイズの上限を得ることができます。
測定方法の検出限界を推定するには、結果がゼロの読み取り値と区別がつかなくなる最低濃度レベルを見つけます。これは、ゼロ濃度の信号が見え始めるポイントです。文献には、LOD を見つけるためのさまざまな方法があります。SEMI C10 (方法検出限界の決定に関するガイド)、ISO:11843 (検出能力)、および国際純正応用化学連合 (IUPAC)分析命名法概要 1 などの業界標準では、検出限界を決定するための方法について説明しています。ほとんどの著者は、線形モデルに適合させるキャリブレーション曲線を使用し、その後逆予測を行って LOD を見つけることを推奨しています。
線形モデルを較正曲線に適合させるさまざまな方法を検討し、次にゼロレベルでの将来の観測の予測区間を推定し、最後に上限の逆予測を使用して LOD を推定します。線形モデルを較正曲線に適合させるには、通常最小二乗法(OLS) 回帰を検討します。文献でよく使用される他の方法は、重み付けスキームに基づいています。
100(1–α)% 予測区間は、複数のサンプルに対してこのような区間を多数計算すると、そのうちの 100(1–α)% にプロセスの将来の実現からの 1 つの観測値が含まれるという特性を持つ変数の値の範囲です。予測区間は信頼区間とは異なります。信頼区間は、平均や分散などの母数パラメータが発生すると予想される限界を示します。予測区間は、将来の個々の観測が発生すると予想される限界を示します。
予測区間の計算式は文献で見つけることができます。計算式は、予測区間の将来の観測回数によって異なります。
予測することはできません。統計間隔についてのわかりやすい議論については、Ramirez 2を参照してください。
例として、サンプル内の汚染物質の量を決定する目的で微量元素分析を実行する誘導結合プラズマ質量分析 (ICP-MS) システムを考えてみましょう。既知の量の汚染物質を含むサンプルを測定します。応答は信号強度で、1 秒あたりのカウント数 (CPS) で測定されます。実験は、汚染物質がまったく含まれていない状態を含む 4 つの既知のレベルで繰り返されます。図 1 にデータを示します。
図1汚染物質レベルと反応のデータ
図 2 は、測定値と既知の値を比較したグラフで、データが直線的な傾向を示していることがわかります。ゼロ濃度レベルでの変動が他のレベルよりも大幅に少ないことが注目に値します。
図2測定値と既知値の回帰プロット
データの散布図を使用して、ゼロ レベルでの変動の違いを確認するのは難しい場合があります。代わりに、予測された応答による残差のプロットを調べます。図 3 の残差プロットは、要素が存在する場所の分散が、要素が存在しない場所よりもはるかに高いことを明確に示しています。赤い円の中に 3 つの観測値がプロットされています。
図3残差と予測応答のプロット
多くの物理的特性は、不均一分散、つまりデータの範囲に応じて応答の分散が変化することを示しています。物理データの変動性は、応答が増加するにつれて増加することがよくあります。通常の最小二乗回帰では、均一分散、つまりデータの範囲全体で分散が等しいと仮定します。したがって、単純に考えれば、分散を安定させる方法を追求することは理にかなっているかもしれません。
分散安定化の 1 つの方法は、各グループ内の分散の逆数でデータを重み付けする重み付き最小二乗法(WLS) 回帰を使用することです。ほとんどの較正問題では、低い不確実性でグループ分散を推定するのに十分な大きさのサンプルは使用されません。そのため、もう 1 つの一般的な方法は、分散と平均をモデル化することです。JMP は、モデルの適合の対数線形分散特性を使用してこのモデルを実装します。ここでは、OLS と WLS 回帰のこれら 2 つの方法を説明します。
異分散性は、通常の最小二乗法を用いた回帰係数（傾きと切片）の偏りには影響しません。回帰係数の標準誤差には影響します。しかし、シミュレーションデータのような典型的なデータの場合、ブランクのCPSの分散は非ブランクの分散よりもはるかに小さく、非ブランクの分散は検出限界の予測区間を見つけるために使用したいものです。この一見矛盾する理由は、CPSの分散を使用すると、
ブランクの予測区間が狭すぎると、予測区間が狭くなります。予測区間が狭いと良いように聞こえますが、実際には不合理な期待につながる可能性があります。したがって、図 4 に示すように、通常の最小二乗回帰を使用して予測区間を見つけ、次に回帰線に対する予測上限の逆予測を行うことをお勧めします。対数線形分散モデルも、合理的な予測を与えることが示されます。
図4通常の最小二乗回帰
Fit Model の Fit Least Squares プラットフォームを使用して、データに線を当てはめます。予測式と予測区間を保存するには、Response Counts per Second の横にある赤い三角形から[列の保存] > [予測式]と[列の保存] > [個別の信頼限界式]を選択します。図 5 にデータを示します。
図5予測式と区間を保存したデータ
ゼロでの 95% 予測上限の推定値は 109 です。逆予測を使用して、この値での実際の濃度を推定します。最小二乗法レポートに戻ります。[1 秒あたりの応答数] の横にある赤い三角形から、 [推定値] > [逆予測]を選択します。最初の空白スペースに 109 と入力し、 [OK]をクリックします (図 6 を参照)。
図6推定された95%予測上限の入力
応答の予測値は 9.6 であり、これが図 7 に示すように検出限界の推定値です。
図7応答の予測値
一部の業界標準文書、特に SEMI C10 では、加重最小二乗回帰を推奨しています。OLS 予測区間からの逆予測と WLS から導出された逆予測を比較してみましょう。
加重最小二乗法では、分散を安定させるためにデータに重みを使用します。重み付けのアドホックな方法として、グループの分散の逆数を重みとして使用します。各グループの分散を調べるには、 [テーブル] > [概要]を使用してデータを要約します。グループ化列として[標準濃度]を追加し、 [秒あたりのカウント数]を選択してから、 [統計] > [分散]をクリックしてグループ別の CPS の分散を求めます。 [OK]をクリックします。
次に、数式を含む新しい列を要約テーブルに追加します。この数式には、図 8 に示すように、各グループの分散の逆数が含まれます。
図8各グループの分散の逆数の式
要約表には、グループ化変数、各グループのサンプル サイズと分散、および各グループの逆分散が含まれています (図 9 を参照)。
図9要約表
逆分散は元のデータ テーブルに戻す必要があります。元のテーブルに戻り、 [テーブル] > [結合]を使用して、図 10 に示すように逆分散の列を追加します。
図10 元のデータと要約データの結合
図 11 に示す結果のテーブルには、新しい重み付け列に加えて、元のテーブルの列が含まれています。
図11結合されたデータ
これで、図 12 に示すように、重みロールの逆分散列を使用して、回帰モデルを再度適合できるようになりました。
図12逆分散列の指定
再度、赤い三角形をクリックし、 [列の保存] > [予測式]および[列の保存] > [個別の信頼限界式]を選択して、予測式と予測区間をデータ テーブルに保存します。図 13 に示すテーブルでは、OLS 回帰予測列は非表示になっています。
図13予測式と区間を保存したデータ
95% 予測上限のゼロでの推定値は 0.03 で、OLS 回帰を使用して求めた値よりも 4 桁小さくなっています。逆予測をもう一度使用して、検出限界の推定値を見つけます。赤い三角形から、 [推定値] > [逆予測]を選択します。0.03 と入力し、 [OK]をクリックします。
図14標準濃度の逆予測
図 14 に示すように、予測値は 0.0014 で、これは検出限界の推定値です。この数値は、OLS 回帰 (9.6) で得られた数値よりもはるかに小さいです。数値が小さいほど良いと思われるかもしれませんが、WLS では、専門家が驚くほど小さいと認識している推定値が得られる場合があります。たとえば、システムのマッチングは、LOD を使用して行われることがあります。LOD が小さすぎると、統計的には一致しないシステムになる可能性がありますが、実用上は同じものを測定していると見なすことができます。これにより、監査人が優れたシステムを使用することを正当化する際に問題が発生する可能性があります。
予測限界が非常に小さく、その結果、推定検出限界も同様に小さくなる理由の 1 つは、ゼロ レベルのグループ分散が他のレベルのグループ分散よりもはるかに小さいことです。したがって、ゼロ レベルの逆分散は、他のレベルと比較して非常に大きくなります。
これを解決する一つの方法は、平均応答だけでなく、応答の分散もモデル化することです。この方法は、分散が平均に比例すると仮定できる場合などに特に便利です。対数線形分散モデルでは、回帰変数を使用して平均応答をモデル化するだけでなく、回帰変数を使用して分散の対数をモデル化します。つまり、
ここで、 Xの列は平均応答の回帰変数であり、 Zの列は応答の分散の回帰変数です。平均のモデルのパラメータはβであり、分散のモデルのパラメータはλです。対数線型分散モデルの詳細については、JMP のヘルプ > ブックの「線形モデルのあてはめ」を参照してください。
モデルの適合を使用して、カウント/秒を Y に指定し、標準濃度を平均効果として指定します。次に、図 15 に示すように、対数線形分散特性を選択します。下部の分散効果タブを選択し、標準濃度を追加して、モデルを実行します。
図15適合モデル仕様
対数線型分散適合レポートには、適合統計だけでなく、 β 、およびλ 、の推定値も含まれています。対数線型分散適合の横にある赤い三角形をクリックし、 [列の保存] > [予測式]を選択してから、もう一度、[列の保存] > [個別信頼区間] を選択して、予測式と予測区間を保存します。図 16 は、データ テーブルに保存された予測限界を示しています。
図16予測上限
予測の上限は 81 です。Fit LogVariance レポートでは逆予測はできませんが、プロファイラーを使用すると簡単に実行できます。Fit LogVariance ウィンドウに戻ります。赤い三角形から、プロファイラー > プロファイラーを選択します。標準濃度スライダーを左にドラッグして、1 秒あたりのカウント数の予測が 81 に近づくようにします (図 17)。必要に応じて、X 軸のスケールを調整して、関心領域を拡大することができます。
図17予測プロファイラにおける逆予測
逆予測は約 6.9 で、OLS 回帰を使用して求めた 9.6 よりはまだ小さい数値ですが、逆分散重みを使用して求めた 0.0014 よりははるかに妥当です。
この例では、OLS 回帰と対数線形分散回帰の両方で妥当な予測が見つかります。どちらのモデルでも、ブランクの分散はゼロ レベルの予測区間の計算を圧倒しません。逆分散を重みとして使用すると、ブランクの分散によって推定検出限界が非常に小さくなります。OLS 回帰を使用すると、対数線形分散回帰と同様に、検出限界の推定がより保守的になります。George Box の有名な言葉にもあるように、すべてのモデルは間違っているが、いくつかのモデルは有用です。検出限界を見つける場合、OLS および対数線形分散回帰モデルは有用な逆予測を導きます。
参考文献:
- Inczedy, J., Lengyel, T., & Ure, AM (1998).分析命名法大要、第 3 版。http
/old.iupac.org/publications/analytical_compendium/で入手可能。
- Ramírez, José G. (2009).統計的区間: 信頼性、予測、囲み。http /www.jmp.com/software/whitepapers/から入手可能。
