Questo articolo è apparso su JMPer Cable, numero 30, estate 2015 .
di Di Michelson di.michelson , Consulente Senior per la Formazione Analitica, SAS
Mark Bailey ha scritto un articolo eccellente nel numero 29 di JMPer Cable , spiegando in dettaglio come utilizzare i dati al di sotto di un limite di rilevamento. Cosa fai quando hai bisogno di stimare quella soglia di misurazione? La chimica analitica fornisce informazioni sulla concentrazione di un elemento o di una molecola in una sostanza (un analita ). Le misurazioni della concentrazione hanno un limite naturale a zero. Il processo di misurazione stesso è variabile e contiene rumore. Quindi, le misurazioni di un campione con quantità zero nota di un analita daranno luogo a risposte diverse da zero. Questo rumore di fondo può essere stimato per fornire un limite di rilevamento (LOD): il limite superiore del rumore di un sistema di misurazione.
Per stimare il limite di rilevamento del metodo di misurazione, vorremmo trovare il livello di concentrazione più basso in cui i risultati diventano indistinguibili da una lettura zero. Questo è il punto in cui inizieremmo a vedere segnali per concentrazioni zero. Esistono diversi metodi per trovare il LOD nella letteratura. Gli standard del settore, tra cui SEMI C10 (Guida per la determinazione dei limiti di rilevamento del metodo), ISO:11843 (Capacità di rilevamento) e l'International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC) Compendium of Analytical Nomenclature 1, discutono le metodologie per determinare il limite di rilevamento. La maggior parte degli autori consiglia l'uso della curva di calibrazione per adattare un modello lineare, seguito dalla previsione inversa per trovare il LOD.
Esamineremo vari metodi per adattare un modello lineare a una curva di calibrazione, seguiti dalla stima di un intervallo di previsione per future osservazioni al livello zero e, infine, utilizzando la previsione inversa del limite superiore per stimare il LOD. Considereremo la regressione dei minimi quadrati ordinari (OLS) per adattare un modello lineare alla curva di calibrazione. Altri metodi popolari nella letteratura si basano su schemi di ponderazione.
Un intervallo di previsione del 100(1–α)% è un intervallo di valori di una variabile con la proprietà che se molti di tali intervalli vengono calcolati per diversi campioni, il 100(1–α)% di essi conterrà un'osservazione da una futura realizzazione del processo. Un intervallo di previsione è diverso da un intervallo di confidenza. Un intervallo di confidenza fornisce limiti in cui ci aspettiamo che si verifichi un parametro di popolazione, come una media o una varianza. Un intervallo di previsione fornisce limiti in cui ci aspettiamo che si verifichi una futura osservazione individuale.
È possibile trovare formule per i calcoli dell'intervallo di previsione nella letteratura. La formula dipende dal numero di osservazioni future da
essere previsto. Vedere Ramirez 2 per una discussione accessibile degli intervalli statistici.
Come esempio, si consideri un sistema di spettrometria di massa a plasma accoppiato induttivamente (ICP-MS) che esegue l'analisi degli elementi in traccia allo scopo di determinare la quantità di contaminanti in un campione. Viene misurato un campione contenente una quantità nota di un contaminante. La risposta è l'intensità del segnale, misurata in conteggi al secondo (CPS). L'esperimento viene ripetuto per quattro livelli noti, incluso nessun contaminante. La Figura 1 mostra i dati.
Figura 1 Dati sui livelli di contaminanti e sulle risposte
La figura 2 mostra un grafico dei valori misurati rispetto ai valori noti, che mostra che i dati sembrano seguire un andamento lineare. È degno di nota che la variabilità al livello di concentrazione zero è molto inferiore a quella ad altri livelli.
Figura 2 Grafico di regressione dei valori misurati rispetto ai valori noti
Può essere difficile vedere la differenza di variabilità al livello zero usando uno scatterplot dei dati. Invece, esamina un grafico dei residui in base alla risposta prevista. Il grafico dei residui nella Figura 3 mostra chiaramente che la varianza è molto più alta dove l'elemento esiste rispetto a dove non esiste. Ci sono tre osservazioni tracciate nel cerchio rosso.
Figura 3 Grafico dei residui rispetto alla risposta prevista
Molte caratteristiche fisiche mostrano eteroschedasticità , ovvero la varianza della risposta che cambia nell'intervallo dei dati. La variabilità dei dati fisici spesso aumenta all'aumentare della risposta. La regressione dei minimi quadrati ordinari presuppone l' omoschedasticità , ovvero varianze uguali nell'intervallo dei dati. Pertanto, ingenuamente, potrebbe avere senso perseguire metodi per stabilizzare la varianza.
Un metodo di stabilizzazione della varianza è quello di utilizzare la regressione dei minimi quadrati ponderati (WLS), che pondera i dati in base al reciproco della varianza all'interno di ciascun gruppo. La maggior parte dei problemi di calibrazione non utilizza campioni sufficientemente grandi per stimare le varianze di gruppo con bassa incertezza. Pertanto, un altro metodo popolare è quello di modellare la varianza e la media. JMP implementa questo modello utilizzando la personalità Loglinear Variance del Fit Model. Dimostreremo OLS e questi due metodi di regressione WLS.
L'eteroschedasticità non influisce sulla distorsione dei coefficienti di regressione (pendenza e intercetta) utilizzando i minimi quadrati ordinari. Influisce sugli errori standard dei coefficienti di regressione. Tuttavia, per dati tipici come i nostri dati simulati, la varianza del CPS per il vuoto è molto inferiore a quella per i non vuoti, e la varianza dei non vuoti è ciò che vorremmo utilizzare per trovare intervalli di previsione per il limite di rilevamento. Il motivo di questa apparente contraddizione è che utilizzando la varianza del CPS
per il vuoto porta a intervalli di previsione troppo stretti. Gli intervalli di previsione stretti sembrano buoni, ma in pratica possono portare ad aspettative irragionevoli. Pertanto, la raccomandazione è di usare la regressione dei minimi quadrati ordinari per trovare l'intervallo di previsione, seguito dalla previsione inversa del limite di previsione superiore alla retta di regressione come mostrato nella Figura 4. Si dimostrerà anche che il modello di varianza loglineare fornisce previsioni ragionevoli.
Figura 4 Regressione dei minimi quadrati ordinari
Utilizziamo la piattaforma Fit Least Squares di Fit Model per adattare una linea ai dati. Si salva la formula di previsione e l'intervallo di previsione selezionando Save Columns > Prediction Formula e Save Columns > Individual Confidence Limit Formula dal triangolo rosso accanto a Response Counts per Second. La Figura 5 mostra i dati.
Figura 5 Dati con formula di previsione salvata e intervalli
La stima del limite di previsione superiore del 95% a zero è 109. Utilizzare la previsione inversa per stimare la concentrazione reale a questo valore. Tornare al report Fit Least Squares. Dal triangolo rosso accanto a Response Counts per Second, selezionare Estimates > Inverse Prediction . Immettere 109 nel primo spazio vuoto e fare clic su OK come mostrato nella Figura 6.
Figura 6 Inserimento del limite di previsione stimato superiore al 95%
Il valore previsto della risposta è 9,6 e questa è la nostra stima del limite di rilevamento, come mostrato nella Figura 7.
Figura 7 Valore previsto della risposta
Alcuni documenti standard del settore, in particolare SEMI C10, raccomandano la regressione dei minimi quadrati ponderati. Confrontiamo la previsione inversa dall'intervallo di previsione OLS con quella derivata da WLS.
I minimi quadrati ponderati utilizzano pesi sui dati per stabilizzare la varianza. Un metodo ad hoc per la ponderazione consiste nell'utilizzare la varianza reciproca dei gruppi come pesi. Per trovare la varianza di ciascun gruppo, riepilogare i dati utilizzando Tabelle > Riepilogo . Aggiungere Concentrazione standard come colonna di raggruppamento, selezionare Conteggi al secondo , quindi fare clic su Statistiche > Varianza per chiedere la varianza di CPS per gruppo. Fare clic su OK .
Successivamente, aggiungi una nuova colonna contenente una formula alla tabella riassuntiva. Questa formula conterrà il reciproco della varianza di ciascun gruppo come mostrato nella Figura 8.
Figura 8 Formula per il reciproco della varianza di ciascun gruppo
La tabella riassuntiva contiene la variabile di raggruppamento, la dimensione del campione e la varianza per ciascun gruppo, nonché la varianza inversa per ciascun gruppo, come mostrato nella Figura 9.
Figura 9 Tabella riassuntiva
La varianza inversa deve tornare nella tabella dati originale. Ritornare alla tabella originale e usare Tabelle > Unisci per aggiungere la colonna delle varianze inverse come mostrato nella Figura 10.
Figura 10 Unione dei dati originali e riassunti
La tabella risultante, mostrata nella Figura 11, contiene le colonne della tabella originale oltre alla nuova colonna di ponderazione.
Figura 11 Dati uniti
Ora è possibile adattare nuovamente il modello di regressione, questa volta utilizzando la colonna Varianza inversa nel ruolo Peso, come mostrato nella Figura 12.
Figura 12 Specificazione della colonna Varianza inversa
Di nuovo, salva la formula di previsione e l'intervallo di previsione nella tabella dati cliccando sul triangolo rosso e selezionando Save Columns > Prediction Formula e Save Columns > Indiv Confidence Limit Formula . Le colonne di previsione della regressione OLS sono state nascoste nella tabella mostrata nella Figura 13.
Figura 13 Dati con formula di previsione salvata e intervalli
La stima del limite di previsione superiore del 95% a zero è 0,03, quattro ordini di grandezza inferiore a quella trovata usando la regressione OLS! Usa di nuovo la previsione inversa per trovare la stima del limite di rilevamento. Dal triangolo rosso, seleziona Stime > Previsione inversa . Inserisci 0,03 e fai clic su OK .
Figura 14 Previsione inversa per la concentrazione standard
Come mostrato nella Figura 14, la previsione è 0,0014, che è la stima del limite di rilevamento. Questo numero è molto più piccolo di quello dato dalla regressione OLS (9,6). Potrebbe sembrare che un numero più piccolo sarebbe meglio, ma WLS può portare a stime che sono ridicolmente piccole per il professionista. Ad esempio, i sistemi di abbinamento vengono talvolta eseguiti utilizzando il LOD. I LOD troppo piccoli possono portare a sistemi che non sono abbinati statisticamente, ma per tutti gli scopi pratici, possono essere considerati per misurare lo stesso. Ciò può portare a problemi che giustificano l'uso di buoni sistemi con gli auditor.
Una ragione per cui il limite di previsione è così piccolo, che si traduce in un limite di rilevamento stimato altrettanto piccolo, è che la varianza di gruppo per il livello zero è molto inferiore alla varianza di gruppo per gli altri livelli. Pertanto, la varianza inversa del livello zero è enorme rispetto alle altre.
Un rimedio a questo è modellare non solo la risposta media ma anche la varianza della risposta. Questo metodo è particolarmente utile se si può supporre che la varianza sia proporzionale alla media, ad esempio. Oltre a modellare la risposta media con i regressori, il modello Loglinear Variance usa i regressori per modellare il logaritmo della varianza. Vale a dire,
dove le colonne di X sono i regressori per la risposta media e le colonne di Z sono i regressori per la varianza della risposta. I parametri del modello per la media sono β e il parametro del modello per la varianza è λ . Trova maggiori informazioni sul modello Loglinear Variance in Fitting Linear Models da Help > Books in JMP.
Utilizzando Fit Model, specifica i Counts per Second come Y e Standard Concentration come Mean Effect. Quindi, seleziona la personalità Loglinear Variance come mostrato nella Figura 15. Seleziona la scheda Variance Effects in basso, aggiungi Standard Concentration, quindi esegui il modello.
Figura 15 Specifiche del modello di adattamento
Il report Loglinear Variance Fit contiene stime di β e λ , , nonché statistiche di adattamento. Salva la formula di previsione e l'intervallo di previsione cliccando sul triangolo rosso accanto a Loglinear Variance Fit e selezionando Save Columns > Prediction Formula , quindi di nuovo Save Columns > Indiv Confidence Interval . La Figura 16 mostra i limiti di previsione salvati nella tabella dati.
Figura 16 Limite di previsione superiore
Il limite di previsione superiore è 81. Il report Fit LogVariance non consente la previsione inversa, ma è semplice da fare con il Profiler. Torna alla finestra Fit LogVariance. Dal triangolo rosso, seleziona Profilers > Profiler . Trascina il cursore Standard Concentration verso sinistra finché la previsione di Counts per Second non è vicina a 81 (Figura 17). Puoi regolare la scala dell'asse X se necessario per ingrandire la regione di interesse.
Figura 17 Previsioni inverse nel Prediction Profiler
La previsione inversa è di circa 6,9, un numero comunque inferiore a 9,6 trovato utilizzando la regressione OLS, ma molto più ragionevole di 0,0014 trovato utilizzando i pesi della varianza inversa.
In questo esempio si trovano previsioni ragionevoli sia tramite la regressione OLS che tramite la regressione della varianza loglineare. In entrambi i modelli, la varianza dei vuoti non sopraffà il calcolo dell'intervallo di previsione per il livello zero. La varianza dei vuoti porta a limiti di rilevamento stimati molto piccoli quando si usa la varianza inversa come pesi. L'uso della regressione OLS porta a una stima più conservativa del limite di rilevamento, così come la regressione della varianza loglineare. Come ha detto George Box, tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni modelli sono utili. Nel caso della ricerca del limite di rilevamento, i modelli di regressione OLS e della varianza loglineare portano a utili previsioni inverse.
Riferimenti:
- Inczedy, J., Lengyel, T., & Ure, AM (1998). Compendium of Analytical Nomenclature, terza edizione . Disponibile su http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ .
- Ramírez, José G. (2009). Intervalli statistici: confidenza, previsione, inclusione . Disponibile su http://www.jmp.com/software/whitepapers/ .
