Dieser Artikel erscheint in JMPer Cable, Ausgabe 30, Sommer 2015 .
von Di Michelson di.michelson , Senior Analytical Training Consultant, SAS
Mark Bailey hat in Ausgabe 29 des JMPer Cable einen hervorragenden Artikel geschrieben, in dem er detailliert beschreibt, wie man mit Daten unterhalb einer Nachweisgrenze umgeht. Was tun Sie, wenn Sie diese Messgrenze schätzen müssen? Die analytische Chemie liefert Informationen über die Konzentration eines Elements oder Moleküls in einer Substanz (einem Analyten ). Konzentrationsmessungen haben eine natürliche Grenze bei Null. Der Messvorgang selbst ist variabel und enthält Rauschen. Deshalb führen Messungen einer Probe mit bekannter Nullmenge eines Analyten zu von Null verschiedenen Ergebnissen. Dieses Hintergrundrauschen kann geschätzt werden, um eine Nachweisgrenze (LOD) zu erhalten: die Obergrenze des Rauschens eines Messsystems.
Um die Nachweisgrenze der Messmethode abzuschätzen, möchten wir die niedrigste Konzentration finden, bei der die Ergebnisse nicht mehr von einem Nullwert zu unterscheiden sind. An diesem Punkt würden wir beginnen, Signale für Nullkonzentrationen zu sehen. In der Literatur gibt es verschiedene Methoden zur Ermittlung der Nachweisgrenze. Branchennormen, darunter SEMI C10 (Leitfaden zur Bestimmung der Nachweisgrenzen von Methoden), ISO:11843 (Nachweisfähigkeit) und das Kompendium der analytischen Nomenklatur 1 der International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC), erörtern Methoden zur Bestimmung der Nachweisgrenze. Die meisten Autoren empfehlen die Verwendung der Kalibrierungskurve zur Anpassung eines linearen Modells, gefolgt von einer inversen Vorhersage zur Ermittlung der Nachweisgrenze.
Wir werden verschiedene Methoden untersuchen, um ein lineares Modell an eine Kalibrierungskurve anzupassen. Anschließend schätzen wir ein Vorhersageintervall für zukünftige Beobachtungen auf dem Nullniveau und verwenden schließlich die inverse Vorhersage der Obergrenze, um die LOD abzuschätzen. Wir werden die Regression mit der Methode der kleinsten Quadrate (OLS) in Betracht ziehen, um ein lineares Modell an die Kalibrierungskurve anzupassen. Andere in der Literatur beliebte Methoden basieren auf Gewichtungsschemata.
Ein 100(1–α)%-Vorhersageintervall ist ein Wertebereich einer Variablen mit der Eigenschaft, dass, wenn viele solcher Intervalle für mehrere Stichproben berechnet werden, 100(1–α)% davon eine Beobachtung aus einer zukünftigen Realisierung des Prozesses enthalten. Ein Vorhersageintervall unterscheidet sich von einem Konfidenzintervall. Ein Konfidenzintervall gibt Grenzen an, innerhalb derer wir das Auftreten eines Populationsparameters wie eines Mittelwerts oder einer Varianz erwarten. Ein Vorhersageintervall gibt Grenzen an, innerhalb derer wir das Auftreten einer zukünftigen Einzelbeobachtung erwarten.
Formeln zur Berechnung des Vorhersageintervalls finden Sie in der Literatur. Die Formel hängt von der Anzahl der zukünftigen Beobachtungen ab, die
vorhergesagt werden. Eine leicht verständliche Diskussion statistischer Intervalle finden Sie in Ramirez 2 .
Betrachten wir als Beispiel ein System mit induktiv gekoppelter Plasma-Massenspektrometrie (ICP-MS), das eine Spurenelementanalyse durchführt, um die Menge an Schadstoffen in einer Probe zu bestimmen. Eine Probe, die eine bekannte Menge eines Schadstoffs enthält, wird gemessen. Die Antwort ist die Signalintensität, gemessen in Zählungen pro Sekunde (CPS). Das Experiment wird für vier bekannte Konzentrationen wiederholt, einschließlich der Konzentration ohne Schadstoffe. Abbildung 1 zeigt die Daten.
Abbildung 1 Daten zu Schadstoffwerten und Reaktionen
Abbildung 2 zeigt eine Grafik der gemessenen Werte im Vergleich zu den bekannten Werten. Es zeigt, dass die Daten einem linearen Trend zu folgen scheinen. Es fällt auf, dass die Variabilität bei der Nullkonzentration viel geringer ist als bei anderen Konzentrationen.
Abbildung 2 Regressionsdiagramm der gemessenen Werte gegenüber bekannten Werten
Es kann schwierig sein, den Unterschied in der Variabilität auf dem Nullniveau anhand eines Streudiagramms der Daten zu erkennen. Untersuchen Sie stattdessen ein Diagramm der Residuen anhand der vorhergesagten Antwort. Das Residuendiagramm in Abbildung 3 zeigt deutlich, dass die Varianz dort, wo das Element vorhanden ist, viel höher ist als dort, wo es nicht vorhanden ist. Im roten Kreis sind drei Beobachtungen dargestellt.
Abbildung 3 Diagramm der Residuen im Vergleich zur prognostizierten Antwort
Viele physikalische Eigenschaften zeigen Heteroskedastizität , d. h. die Varianz der Antwort ändert sich über den Datenbereich. Die Variabilität physikalischer Daten nimmt häufig mit zunehmender Antwort zu. Bei der Regression mit der Methode der kleinsten Quadrate wird Homoskedastizität angenommen, d. h. gleiche Varianzen über den Datenbereich hinweg. Daher könnte es naiv sinnvoll sein, Methoden zur Stabilisierung der Varianz zu verfolgen.
Eine Methode zur Varianzstabilisierung ist die Verwendung der Regression mit gewichteten kleinsten Quadraten (WLS), bei der die Daten mit dem Kehrwert der Varianz innerhalb jeder Gruppe gewichtet werden. Bei den meisten Kalibrierungsproblemen werden keine Stichproben verwendet, die groß genug sind, um Gruppenvarianzen mit geringer Unsicherheit zu schätzen. Daher besteht eine weitere beliebte Methode darin, sowohl die Varianz als auch den Mittelwert zu modellieren. JMP implementiert dieses Modell mithilfe der loglinearen Varianzpersönlichkeit von Fit Model. Wir werden OLS und diese beiden Methoden der WLS-Regression demonstrieren.
Heteroskedastizität hat keinen Einfluss auf die Verzerrung der Regressionskoeffizienten (Steigung und Achsenabschnitt) bei Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate. Sie hat jedoch Auswirkungen auf die Standardfehler der Regressionskoeffizienten. Bei typischen Daten wie unseren simulierten Daten ist die Varianz des CPS für die Leerproben jedoch viel geringer als die für die Nicht-Leerproben, und die Varianz der Nicht-Leerproben ist das, was wir verwenden möchten, um Vorhersageintervalle für die Nachweisgrenze zu finden. Der Grund für diesen scheinbaren Widerspruch ist, dass die Verwendung der Varianz des CPS
für die Leerstelle führt zu zu engen Vorhersageintervallen. Enge Vorhersageintervalle klingen zwar gut, können in der Praxis jedoch zu unrealistischen Erwartungen führen. Daher wird empfohlen, zur Ermittlung des Vorhersageintervalls eine Regression mit kleinsten Quadraten zu verwenden und anschließend die obere Vorhersagegrenze zur Regressionsgerade invers vorherzusagen, wie in Abbildung 4 dargestellt. Es wird auch gezeigt, dass das loglineare Varianzmodell vernünftige Vorhersagen liefert.
Abbildung 4 Regression mit kleinsten Quadraten
Wir verwenden die Fit Least Squares-Plattform von Fit Model, um eine Linie an die Daten anzupassen. Sie speichern die Vorhersageformel und das Vorhersageintervall, indem Sie im roten Dreieck neben „Antwortanzahl pro Sekunde“ die Optionen „Spalten speichern > Vorhersageformel “ und „Spalten speichern > Formel für individuelle Konfidenzgrenze“ auswählen. Abbildung 5 zeigt die Daten.
Abbildung 5 Daten mit gespeicherter Vorhersageformel und Intervallen
Die Schätzung der oberen 95 %-Vorhersagegrenze bei Null beträgt 109. Verwenden Sie die inverse Vorhersage, um die wahre Konzentration bei diesem Wert zu schätzen. Kehren Sie zum Bericht „Kleinste Quadrate anpassen“ zurück. Wählen Sie im roten Dreieck neben „Antwortanzahl pro Sekunde“ die Option „Schätzungen“ > „Inverse Vorhersage“ aus. Geben Sie in das erste leere Feld 109 ein und klicken Sie auf „OK “, wie in Abbildung 6 gezeigt.
Abbildung 6 Eingabe der geschätzten oberen 95%-Vorhersagegrenze
Der vorhergesagte Wert der Antwort beträgt 9,6 und dies ist unsere Schätzung der Nachweisgrenze, wie in Abbildung 7 dargestellt.
Abbildung 7 Vorhergesagter Wert der Antwort
Einige Industriestandarddokumente, insbesondere SEMI C10, empfehlen eine gewichtete Regression mit kleinsten Quadraten. Vergleichen wir die inverse Vorhersage aus dem OLS-Vorhersageintervall mit der aus WLS abgeleiteten.
Bei der Methode der gewichteten kleinsten Quadrate werden die Daten gewichtet, um die Varianz zu stabilisieren. Eine Ad-hoc-Methode zur Gewichtung besteht darin, die reziproke Varianz von Gruppen als Gewichte zu verwenden. Um die Varianz jeder Gruppe zu ermitteln, fassen Sie die Daten mithilfe von Tabellen > Zusammenfassung zusammen. Fügen Sie Standardkonzentration als Gruppierungsspalte hinzu, wählen Sie Zählungen pro Sekunde aus und klicken Sie dann auf Statistik > Varianz, um die Varianz von CPS nach Gruppe abzufragen. Klicken Sie auf OK .
Fügen Sie als Nächstes der Übersichtstabelle eine neue Spalte mit einer Formel hinzu. Diese Formel enthält den Kehrwert der Varianz jeder Gruppe, wie in Abbildung 8 dargestellt.
Abbildung 8 Formel für den Kehrwert der Varianz jeder Gruppe
Die Übersichtstabelle enthält die Gruppierungsvariable, die Stichprobengröße und Varianz für jede Gruppe sowie die inverse Varianz für jede Gruppe, wie in Abbildung 9 dargestellt.
Abbildung 9 Übersichtstabelle
Die inverse Varianz muss in die ursprüngliche Datentabelle zurückgeführt werden. Kehren Sie zur ursprünglichen Tabelle zurück und verwenden Sie Tabellen > Verknüpfen, um die Spalte mit den inversen Varianzen hinzuzufügen, wie in Abbildung 10 dargestellt.
Abbildung 10 Zusammenführen der ursprünglichen und zusammengefassten Daten
Die resultierende Tabelle, die in Abbildung 11 dargestellt ist, enthält neben der neuen Gewichtungsspalte die Spalten der Originaltabelle.
Abbildung 11 Verbundene Daten
Das Regressionsmodell kann jetzt erneut angepasst werden, dieses Mal mithilfe der Spalte „Inverse Varianz“ in der Rolle „Gewicht“, wie in Abbildung 12 dargestellt.
Abbildung 12 Festlegen der Spalte „Inverse Varianz“
Speichern Sie die Vorhersageformel und das Vorhersageintervall erneut in der Datentabelle, indem Sie auf das rote Dreieck klicken und „Spalten speichern > Vorhersageformel“ und „Spalten speichern > Formel für individuelles Konfidenzlimit“ auswählen. Die OLS-Regressionsvorhersagespalten wurden in der in Abbildung 13 gezeigten Tabelle ausgeblendet.
Abbildung 13 Daten mit gespeicherter Vorhersageformel und Intervallen
Die Schätzung der oberen 95 %-Vorhersagegrenze bei Null beträgt 0,03 und ist damit vier Größenordnungen kleiner als der Wert, der mithilfe der OLS-Regression ermittelt wurde! Verwenden Sie erneut die inverse Vorhersage, um die Schätzung der Nachweisgrenze zu ermitteln. Wählen Sie im roten Dreieck „Schätzungen“ > „Inverse Vorhersage“ aus. Geben Sie 0,03 ein und klicken Sie auf „OK“ .
Abbildung 14 Inverse Vorhersage für Standardkonzentration
Wie in Abbildung 14 dargestellt, beträgt die Vorhersage 0,0014, was der Schätzung der Nachweisgrenze entspricht. Diese Zahl ist viel kleiner als die durch die OLS-Regression (9.6) ermittelte Zahl. Es mag so aussehen, als wäre eine kleinere Zahl besser, aber WLS kann zu Schätzungen führen, von denen der Praktiker weiß, dass sie lächerlich klein sind. Beispielsweise wird das Abgleichen von Systemen manchmal mithilfe der LOD durchgeführt. Zu kleine LODs können zu Systemen führen, die statistisch nicht übereinstimmen, aber aus praktischen Gründen als gleichartig angesehen werden können. Dies kann zu Problemen führen, wenn es darum geht, den Einsatz guter Systeme gegenüber Prüfern zu rechtfertigen.
Ein Grund dafür, dass die Vorhersagegrenze so klein ist, was zu einer ebenso kleinen geschätzten Nachweisgrenze führt, ist, dass die Gruppenvarianz für das Nullniveau viel geringer ist als die Gruppenvarianz für die anderen Niveaus. Daher ist die inverse Varianz des Nullniveaus im Vergleich zu den anderen riesig.
Eine Lösung hierfür besteht darin, nicht nur die mittlere Antwort, sondern auch die Varianz der Antwort zu modellieren. Diese Methode ist insbesondere dann nützlich, wenn Sie beispielsweise davon ausgehen können, dass die Varianz proportional zum Mittelwert ist. Zusätzlich zur Modellierung der mittleren Antwort mit Regressoren verwendet das loglineare Varianzmodell Regressoren, um den Logarithmus der Varianz zu modellieren. Das heißt:
wobei die X -Spalten die Regressoren für die mittlere Antwort und die Z- Spalten die Regressoren für die Varianz der Antwort sind. Die Parameter des Modells für den Mittelwert sind β und der Parameter des Modells für die Varianz ist λ . Weitere Informationen zum loglinearen Varianzmodell finden Sie unter „ Anpassen linearer Modelle“ unter „Hilfe > Bücher“ in JMP.
Geben Sie unter „Modell anpassen“ die Anzahl der Zählungen pro Sekunde als Y und die Standardkonzentration als mittleren Effekt an. Wählen Sie als Nächstes die Persönlichkeit „Loglineare Varianz“ aus, wie in Abbildung 15 gezeigt. Wählen Sie unten die Registerkarte „Varianzeffekte“, fügen Sie die Standardkonzentration hinzu und führen Sie dann das Modell aus.
Abbildung 15 Spezifikation des Anpassungsmodells
Der Bericht zur loglinearen Varianzanpassung enthält Schätzungen von β und λ sowie Anpassungsstatistiken. Speichern Sie die Vorhersageformel und das Vorhersageintervall, indem Sie auf das rote Dreieck neben „Loglineare Varianzanpassung“ klicken und „Spalten speichern > Vorhersageformel“ und dann erneut „Spalten speichern > Individuelles Konfidenzintervall“ auswählen. Abbildung 16 zeigt die in der Datentabelle gespeicherten Vorhersagegrenzen.
Abbildung 16 Obere Vorhersagegrenze
Die obere Vorhersagegrenze liegt bei 81. Der Bericht „LogVariance anpassen“ ermöglicht keine inverse Vorhersage, aber mit dem Profiler ist dies ganz einfach möglich. Kehren Sie zum Fenster „LogVariance anpassen“ zurück. Wählen Sie im roten Dreieck „Profiler“ > „Profiler“ . Ziehen Sie den Schieberegler „Standardkonzentration“ nach links, bis die Vorhersage der Zählungen pro Sekunde bei 81 liegt (Abbildung 17). Sie können die Skala der X-Achse bei Bedarf anpassen, um den Bereich von Interesse zu vergrößern.
Abbildung 17 Inverse Vorhersagen im Prediction Profiler
Die inverse Vorhersage liegt bei etwa 6,9, also immer noch ein kleinerer Wert als der mit der OLS-Regression ermittelte Wert von 9,6, aber viel vernünftiger als der mit inversen Varianzgewichten ermittelte Wert von 0,0014.
In diesem Beispiel werden sowohl mit OLS-Regression als auch mit loglinearer Varianzregression vernünftige Vorhersagen gefunden. In beiden Modellen überfordert die Varianz der Leerwerte die Berechnung des Vorhersageintervalls für den Nullwert nicht. Die Varianz der Leerwerte führt zu sehr kleinen geschätzten Nachweisgrenzen, wenn die inverse Varianz als Gewichte verwendet wird. Die Verwendung der OLS-Regression führt zu einer konservativeren Schätzung der Nachweisgrenze, ebenso wie die loglineare Varianzregression. Wie George Box einst sagte: Alle Modelle sind falsch, aber einige Modelle sind nützlich. Wenn es darum geht, die Nachweisgrenze zu finden, führen OLS- und loglineare Varianzregressionsmodelle zu nützlichen inversen Vorhersagen.
Quellen:
- Inczedy, J., Lengyel, T., & Ure, AM (1998). Compendium of Analytical Nomenclature, Dritte Ausgabe . Verfügbar unter http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ .
- Ramírez, José G. (2009). Statistische Intervalle: Konfidenz, Vorhersage, Einschluss . Verfügbar unter http://www.jmp.com/software/whitepapers/ .
