Cet article apparaît dans JMPer Cable, numéro 30, été 2015 .
par Di Michelson di.michelson , consultant senior en formation analytique, SAS
Mark Bailey a écrit un excellent article dans le numéro 29 de JMPer Cable , qui explique comment utiliser les données en dessous d'une limite de détection. Que faire lorsque vous devez estimer ce seuil de mesure ? La chimie analytique fournit des informations sur la concentration d'un élément ou d'une molécule dans une substance (un analyte ). Les mesures de concentration ont une limite naturelle à zéro. Le processus de mesure lui-même est variable et contient du bruit. Ainsi, les mesures d'un échantillon avec une quantité connue d'un analyte nulle entraîneront des réponses non nulles. Ce bruit de fond peut être estimé pour donner une limite de détection (LOD) : la limite supérieure du bruit d'un système de mesure.
Pour estimer la limite de détection de la méthode de mesure, nous souhaitons trouver le niveau de concentration le plus bas où les résultats deviennent impossibles à distinguer d'une lecture nulle. C'est à ce point que nous commencerions à voir des signaux pour des concentrations nulles. Différentes méthodes pour trouver la limite de détection existent dans la littérature. Les normes industrielles, notamment SEMI C10 (Guide pour la détermination des limites de détection des méthodes), ISO:11843 (Capacité de détection) et le Compendium de nomenclature analytique 1 de l'Union internationale de chimie pure et appliquée (IUPAC), décrivent les méthodologies permettant de déterminer la limite de détection. La plupart des auteurs recommandent l'utilisation de la courbe d'étalonnage pour ajuster un modèle linéaire, suivie d'une prédiction inverse pour trouver la limite de détection.
Nous examinerons différentes méthodes pour ajuster un modèle linéaire à une courbe d'étalonnage, puis nous estimerons un intervalle de prédiction pour les observations futures au niveau zéro et, enfin, nous utiliserons la prédiction inverse de la limite supérieure pour estimer le LOD. Nous considérerons la régression des moindres carrés ordinaires (MCO) pour ajuster un modèle linéaire à la courbe d'étalonnage. D'autres méthodes populaires dans la littérature sont basées sur des schémas de pondération.
Un intervalle de prédiction de 100(1–α)% est une plage de valeurs d'une variable avec la propriété que si de nombreux intervalles de ce type sont calculés pour plusieurs échantillons, 100(1–α)% d'entre eux contiendront une observation d'une réalisation future du processus. Un intervalle de prédiction est différent d'un intervalle de confiance. Un intervalle de confiance donne des limites dans lesquelles nous nous attendons à ce qu'un paramètre de population, tel qu'une moyenne ou une variance, se produise. Un intervalle de prédiction donne des limites dans lesquelles nous nous attendons à ce qu'une observation individuelle future se produise.
Vous pouvez trouver des formules pour le calcul des intervalles de prédiction dans la littérature. La formule dépend du nombre d'observations futures à réaliser.
être prédit. Voir Ramirez 2 pour une discussion accessible des intervalles statistiques.
Prenons comme exemple un système de spectrométrie de masse à plasma à couplage inductif (ICP-MS) qui effectue une analyse d'éléments traces afin de déterminer la quantité de contaminants dans un échantillon. Un échantillon contenant une quantité connue d'un contaminant est mesuré. La réponse est l'intensité du signal, mesurée en coups par seconde (CPS). L'expérience est répétée pour quatre niveaux connus, y compris l'absence totale de contaminant. La figure 1 montre les données.
Figure 1 Données sur les niveaux de contaminants et les réponses
La figure 2 montre un graphique des valeurs mesurées par rapport aux valeurs connues et montre que les données semblent suivre une tendance linéaire. Il est à noter que la variabilité au niveau de concentration zéro est bien inférieure à celle aux autres niveaux.
Figure 2 Graphique de régression des valeurs mesurées par rapport aux valeurs connues
Il peut être difficile de voir la différence de variabilité au niveau zéro en utilisant un nuage de points des données. Examinez plutôt un tracé des résidus par la réponse prédite. Le tracé des résidus de la figure 3 montre clairement que la variance est beaucoup plus élevée là où l'élément existe que là où il n'est pas présent. Trois observations sont représentées dans le cercle rouge.
Figure 3 Graphique des résidus par rapport à la réponse prédite
De nombreuses caractéristiques physiques présentent une hétéroscédasticité , c'est-à-dire une variation de la variance de la réponse sur l'ensemble des données. La variabilité des données physiques augmente souvent à mesure que la réponse augmente. La régression par les moindres carrés ordinaires suppose une homoscédasticité , c'est-à-dire des variances égales sur l'ensemble des données. Par conséquent, il pourrait être judicieux de rechercher des méthodes permettant de stabiliser la variance.
Une méthode de stabilisation de la variance consiste à utiliser la régression des moindres carrés pondérés (WLS), qui pondère les données par l'inverse de la variance au sein de chaque groupe. La plupart des problèmes d'étalonnage n'utilisent pas d'échantillons suffisamment grands pour estimer les variances de groupe avec une faible incertitude. Par conséquent, une autre méthode populaire consiste à modéliser la variance ainsi que la moyenne. JMP implémente ce modèle en utilisant la personnalité de la variance log-linéaire du modèle d'ajustement. Nous allons démontrer la méthode des moindres carrés pondérés (MCO) et ces deux méthodes de régression WLS.
L'hétéroscédasticité n'affecte pas le biais des coefficients de régression (pente et intercept) en utilisant les moindres carrés ordinaires. Elle affecte les erreurs standard des coefficients de régression. Cependant, pour des données typiques comme nos données simulées, la variance du CPS pour le blanc est bien inférieure à celle des non-blancs, et la variance des non-blancs est ce que nous aimerions utiliser pour trouver les intervalles de prédiction pour la limite de détection. La raison de cette apparente contradiction est que l'utilisation de la variance du CPS
car le vide conduit à des intervalles de prédiction trop étroits. Des intervalles de prédiction étroits semblent bons, mais dans la pratique, ils peuvent conduire à des attentes déraisonnables. Par conséquent, il est recommandé d'utiliser la régression des moindres carrés ordinaires pour trouver l'intervalle de prédiction, suivie d'une prédiction inverse de la limite de prédiction supérieure de la ligne de régression comme indiqué dans la figure 4. Le modèle de variance log-linéaire se révélera également donner des prédictions raisonnables.
Figure 4 Régression par les moindres carrés ordinaires
Nous utilisons la plateforme Fit Least Squares de Fit Model pour ajuster une ligne aux données. Vous enregistrez la formule de prédiction et l'intervalle de prédiction en sélectionnant Enregistrer les colonnes > Formule de prédiction et Enregistrer les colonnes > Formule de limite de confiance individuelle dans le triangle rouge à côté de Nombre de réponses par seconde. La figure 5 montre les données.
Figure 5 Données avec formule de prédiction et intervalles enregistrés
L'estimation de la limite supérieure de prédiction à 95 % à zéro est de 109. Utilisez la prédiction inverse pour estimer la concentration réelle à cette valeur. Revenez au rapport Ajuster les moindres carrés. Dans le triangle rouge en regard de Nombre de réponses par seconde, sélectionnez Estimations > Prédiction inverse . Saisissez 109 dans le premier espace vide et cliquez sur OK, comme indiqué dans la Figure 6.
Figure 6 Saisie de la limite de prédiction supérieure estimée à 95 %
La valeur prédite de la réponse est de 9,6, et c’est notre estimation de la limite de détection comme indiqué dans la figure 7.
Figure 7 Valeur prédite de la réponse
Certains documents de référence de l'industrie, notamment SEMI C10, recommandent la régression des moindres carrés pondérés. Comparons la prédiction inverse de l'intervalle de prédiction MCO avec celle dérivée de WLS.
La méthode des moindres carrés pondérés utilise des pondérations sur les données afin de stabiliser la variance. Une méthode ad hoc de pondération consiste à utiliser la variance réciproque des groupes comme pondération. Pour trouver la variance de chaque groupe, résumez les données à l'aide de Tableaux > Résumé . Ajoutez Concentration standard comme colonne de regroupement, sélectionnez Nombre de coups par seconde , puis cliquez sur Statistiques > Variance pour demander la variance de CPS par groupe. Cliquez sur OK .
Ensuite, ajoutez une nouvelle colonne contenant une formule au tableau récapitulatif. Cette formule contiendra l'inverse de la variance de chaque groupe comme indiqué dans la figure 8.
Figure 8 Formule pour la réciproque de la variance de chaque groupe
Le tableau récapitulatif contient la variable de regroupement, la taille de l’échantillon et la variance pour chaque groupe, ainsi que la variance inverse pour chaque groupe, comme indiqué dans la figure 9.
Figure 9 Tableau récapitulatif
La variance inverse doit être réintégrée dans le tableau de données d'origine. Revenez au tableau d'origine et utilisez Tables > Joindre pour ajouter la colonne des variances inverses comme indiqué dans la Figure 10.
Figure 10 Joindre les données originales et résumées
Le tableau résultant, illustré dans la Figure 11, contient les colonnes du tableau d’origine en plus de la nouvelle colonne de pondération.
Figure 11 Données jointes
Le modèle de régression peut maintenant être ajusté à nouveau, cette fois en utilisant la colonne Variance inverse dans le rôle Pondération comme indiqué dans la Figure 12.
Figure 12 Spécification de la colonne Variance inverse
Enregistrez à nouveau la formule de prédiction et l'intervalle de prédiction dans le tableau de données en cliquant sur le triangle rouge et en sélectionnant Enregistrer les colonnes > Formule de prédiction et Enregistrer les colonnes > Formule de limite de confiance individuelle . Les colonnes de prédiction de la régression des MCO ont été masquées dans le tableau illustré à la Figure 13.
Figure 13 Données avec formule de prédiction et intervalles enregistrés
L'estimation de la limite supérieure de prédiction de 95 % à zéro est de 0,03, soit quatre ordres de grandeur inférieurs à celle trouvée en utilisant la régression des MCO ! Utilisez à nouveau la prédiction inverse pour trouver l'estimation de la limite de détection. Dans le triangle rouge, sélectionnez Estimations > Prédiction inverse . Saisissez 0,03 et cliquez sur OK .
Figure 14 Prédiction inverse pour la concentration standard
Comme le montre la figure 14, la prédiction est de 0,0014, ce qui correspond à l'estimation de la limite de détection. Ce nombre est bien inférieur à celui donné par la régression MCO (9,6). Il peut sembler qu'un nombre plus petit serait préférable, mais la méthode WLS peut conduire à des estimations dont le praticien sait qu'elles sont ridiculement petites. Par exemple, la mise en correspondance des systèmes est parfois effectuée à l'aide du LOD. Des LOD trop petits peuvent conduire à des systèmes qui ne sont pas mis en correspondance statistiquement, mais à toutes fins pratiques, peuvent être considérés comme mesurant la même chose. Cela peut poser des problèmes pour justifier l'utilisation de bons systèmes auprès des auditeurs.
L'une des raisons pour lesquelles la limite de prédiction est si faible, ce qui se traduit par une limite de détection estimée également faible, est que la variance du groupe pour le niveau zéro est bien inférieure à la variance du groupe pour les autres niveaux. Par conséquent, la variance inverse du niveau zéro est énorme par rapport aux autres.
Une solution à ce problème consiste à modéliser non seulement la réponse moyenne, mais également la variance de la réponse. Cette méthode est particulièrement utile si vous pouvez supposer que la variance est proportionnelle à la moyenne, par exemple. En plus de modéliser la réponse moyenne avec des régresseurs, le modèle de variance log-linéaire utilise des régresseurs pour modéliser le logarithme de la variance. Autrement dit,
où les colonnes de X sont les régresseurs pour la réponse moyenne et les colonnes de Z sont les régresseurs pour la variance de la réponse. Les paramètres du modèle pour la moyenne sont β et le paramètre du modèle pour la variance est λ . Pour plus d'informations sur le modèle de variance log-linéaire, consultez Ajustement des modèles linéaires dans Aide > Livres de JMP.
À l'aide du modèle d'ajustement, spécifiez les comptages par seconde comme Y et la concentration standard comme effet moyen. Ensuite, sélectionnez la personnalité Variance log-linéaire comme indiqué dans la figure 15. Sélectionnez l'onglet Effets de variance en bas, ajoutez la concentration standard, puis exécutez le modèle.
Figure 15 Spécification du modèle d'ajustement
Le rapport Loglinear Variance Fit contient des estimations de β et λ , ainsi que des statistiques d'ajustement. Enregistrez la formule de prédiction et l'intervalle de prédiction en cliquant sur le triangle rouge à côté de Loglinear Variance Fit et en sélectionnant Enregistrer les colonnes > Formule de prédiction , puis à nouveau Enregistrer les colonnes > Intervalle de confiance individuel . La figure 16 montre les limites de prédiction enregistrées dans le tableau de données.
Figure 16 Limite supérieure de prédiction
La limite de prédiction supérieure est de 81. Le rapport Ajustement de la variance logarithmique ne permet pas de faire de prédiction inverse, mais il est simple de le faire avec le profileur. Revenez à la fenêtre Ajustement de la variance logarithmique. Dans le triangle rouge, sélectionnez Profileurs > Profileur . Faites glisser le curseur Concentration standard vers la gauche jusqu'à ce que la prédiction des coups par seconde soit proche de 81 (Figure 17). Vous pouvez ajuster l'échelle de l'axe X si nécessaire pour zoomer sur la région d'intérêt.
Figure 17 Prédictions inverses dans le Prediction Profiler
La prédiction inverse est d'environ 6,9, ce qui reste un chiffre inférieur à celui de 9,6 trouvé à l'aide de la régression MCO, mais beaucoup plus raisonnable que celui de 0,0014 trouvé à l'aide des pondérations de variance inverse.
Dans cet exemple, des prédictions raisonnables sont obtenues à la fois par la régression des MCO et par la régression de la variance log-linéaire. Dans les deux modèles, la variance des blancs ne submerge pas le calcul de l'intervalle de prédiction pour le niveau zéro. La variance des blancs conduit à des limites de détection estimées très faibles lorsque l'on utilise la variance inverse comme pondération. L'utilisation de la régression des MCO conduit à une estimation plus prudente de la limite de détection, tout comme la régression de la variance log-linéaire. Comme l'a dit George Box, tous les modèles sont faux, mais certains sont utiles. Dans le cas de la recherche de la limite de détection, les modèles de régression des MCO et de la variance log-linéaire conduisent à des prédictions inverses utiles.
Références:
- Inczedy, J., Lengyel, T., & Ure, AM (1998). Compendium of Analytical Nomenclature, troisième édition . Disponible sur http://old.iupac.org/publications/analytical_compendium/ .
- Ramírez, José G. (2009). Intervalles statistiques : confiance, prédiction, clôture . Disponible sur http://www.jmp.com/software/whitepapers/ .
