競爭激烈的巴黎奧運已經落幕。由於持續的高溫，許多人可能更喜歡在室內觀看奧運會而不是到室外。
儘管奧運會只持續了大約兩週，但日本總共獲得了45枚獎牌，是海外奧運會上獲得獎牌最多的國家。然而，日本在上屆東京奧運會上獲得了58面獎牌。
這次你獲得的45面獎牌合理嗎？ 讓我們從經濟角度來思考這個問題。
很久以前，我在用名著《曼昆：經濟學導論》學習經濟學時，看到書中有一個專欄，題為“誰將在奧運會上獲勝”，給我留下了深刻的印象。 。
本專欄指出，一個國家贏得的奧運獎牌數是由該國的 GDP（國內生產毛額）和人口來解釋的。這是因為一個國家經濟越富裕，就越能培養出更多有才華的球員，而人口越多，就越有可能培養出高素質的球員。
此外，作為東道國也可能是一個因素。這是因為本地作戰的優勢。 如上所述，三年前的東京奧運會上，日本獲得了創紀錄的58面獎牌，可能是因為他們能夠享受在當地舉辦奧運的好處。
在本部落格中，我們將創建一個回歸模型，根據該國的人口、GDP 和主辦國（法國與否）來解釋今年巴黎奧運會上每個國家的獎牌數量。我們評估所創建模型的解釋力，並考慮贏得獎牌數量多於模型預測的國家。
預測獎牌數量的模型
在迴歸模型中，設定目標變數和解釋變數如下。
目標變數：各國獎牌總數（金、銀、銅總數）
解釋變數：GDP（美元）、人口、各國東道國（法國設為1，其他國家設為0）
作為解釋變數的GDP（美元）和人口資料主要來自世界銀行的公開資料。請注意，無法獲得有關北韓和難民運動員的數據，因此他們被排除在分析之外。
*雖然分析應該包括沒有贏得任何獎牌的國家，但這次我們將重點放在至少贏得一枚獎牌的國家。
我在 JMP 中建立了以下資料表。橙色列是目標變量，黃色列是解釋變量。
人口和GDP進行共同對數變換。東道國是一個連續列，值為 1 表示法國，0 表示其他國家。
如果您為目標變數（獎牌總數）繪製直方圖，您將看到尾部位於右側的分佈。因此，我們將獎牌總數作為計數數據，應用泊松分佈或負二項分佈（伽瑪泊松分佈），並比較擬合優度。
擬合曲線和AICc顯示負二項分佈比泊松分佈擬合得更好。負二項分佈適合對過度分散（方差大於平均值的數據）進行建模，並且它適合我們的數據。
假設 Y 呈現負二項式分佈，擬合迴歸模型
Y 為負數線性，假設它遵循分佈擬合迴歸模型。使用下列公式對期望值 E(Y) = μ 和變異數 Var(Y) 進行建模。
log (μ) = β 0 + β 1 *log10(人口) + β 2 *log10(GDP($)) + β3 *（東道國）
Var(Y) = μ + σ μ^2（σ 為過分散參數）
可以使用 JMP Pro 中的廣義迴歸來擬合該模型。在“Fit Model”中，將右上角的方法設為“Generalized Regression”，將分佈設為“Negative Binomial”，指定Y和模型效果，然後執行。
「log10（人口）」係數為負，為 -0.263487。正如您從預測概況報告中看到的那樣，模型顯示人口越多，獎牌總數越低。這結果推翻了「人口越多，產生高水準運動員的可能性就越大」的觀點。
① 使用人口、GDP 和東道國解釋的模型
建立模型時如何選擇變數？對於廣義迴歸，您可以選擇Lasso （一種在選擇變數的同時防止過度擬合的方法）作為估計方法，因此讓我們嘗試使用此方法來擬合模型。
擬合的結果是log10(人口)的係數降為0，判斷人口作為預測獎牌數的變數無用。排除後，東道國項變得非常顯著（p 值 = 0.0009）。
② GDP，東道國解釋的模型
我們比較了包含人口的模型（①）和排除人口的模型（②）。 AICc、BIC 和廣義 R 平方的統計數據幾乎相同，因此很難得出哪個模型更好的結論。
在這種情況下，一種方法是選擇一個可以根據現實進行解釋的模型。在排除人口的模型（②）中，從R平方值來看，只有GDP和主辦國兩個變數可以解釋大約65%的獎牌數。
決定獎牌數量的因素還有很多，例如鼓勵運動的文化、優秀的運動員、容易贏得獎牌的項目是否納入比賽等。然而，有趣的是，這些結果在某種程度上可以用兩個變數來解釋：人口和東道國。
對於模型 ②，我們顯示了法國 GDP 輸入的預測概況。
據此，預測法國隊的獎牌總數為51.5枚。事實上，法國獲得了64枚獎牌，所以即使考慮到經濟狀況和主辦國的優點，可以說他們的表現更加出色。
對於模型②，顯示了「測量值和預測值的圖」的報告。縱軸是實際測量值，橫軸是預測值，因此圖表上的線（實際測量值與預測值相符的線）上方的國家/地區超出了預測，線下方的國家/地區表現不佳。 。 （Y 軸和 X 軸均為對數。）
日本獲得了45枚獎牌，而預測值是27.2枚，遠遠超出了預期。然而，對於許多獎牌數最多的國家來說，實際值遠高於預測值，似乎有些因素無法僅用GDP這個經濟指標來解釋。
四年後的洛杉磯奧運會上，這次同樣是獎牌數最多的美國將發揮主辦國的優勢，獲得多少面獎牌？
by 増川直裕（JMP Japan）
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