열전이 펼쳐진 파리 올림픽이 폐회했습니다. 무더위가 계속 되었기 때문에, 옥외에는 나오지 않고 실내에서 올림픽 관전을 즐기고 있던 분도 많았을 것입니다.
2주 정도 정도의 올림픽이었지만 일본은 총 45개의 메달을 획득했고, 해외대회 올림픽에서는 최다 획득수가 되었습니다. 그렇다고 해도, 전회의 도쿄 올림픽에서 일본이 58개의 메달을 획득하고 있습니다.
이번에 획득한 메달 수 45개는 타당한 수였습니까? 이 점을 경제면에서 생각해 보겠습니다.
상당히 전의 일입니다만, 「만큐 입문 경제학」이라고 하는 명저를 사용해 경제학을 배우고 있을 때, 이 책안에 「올림픽으로 이기는 것은 누군가」라고 하는 제목의 칼럼이 있어, 매우 인상에 남아 있습니다.
이 칼럼에서는, 어느 나라가 획득하는 올림픽의 메달수는 그 나라의 GDP(국내총생산)나 인구가 설명 요인이 된다고 말하고 있습니다. 경제적으로 풍부한 나라만큼 많은 재능을 가진 선수의 잠재능력을 높일 수 있고, 또한 인구가 많을수록 능력이 높은 선수가 나올 가능성이 높기 때문입니다.
게다가 개최국인 것도 요인이 될 수 있다고 되어 있습니다. 현지에서 싸우는 것이 유리하기 때문입니다. 전술한 바와 같이, 3년전에 개최한 도쿄 올림픽에서는, 일본이 과거 최고의 58개의 메달을 획득한 것은, 현지 개최의 메리트를 즐길 수 있었기 때문이라고 생각됩니다.
본 블로그에서는 이번 파리 올림픽에서 각국의 메달 수를 그 나라의 인구, GDP, 개최국(프랑스인지 여부)에서 설명하는 회귀 모델을 작성해 보겠습니다. 작성된 모델의 설명력을 평가하고 모델에 의한 예측치보다 더 많은 메달을 획득한 국가에 대해 고찰합니다.
메달 수를 예측하는 모델
회귀 모델에서 목적 변수와 설명 변수를 다음과 같이 설정합니다.
목적 변수：각국의 메달 총수(금, 은, 구리의 합계)
설명변수 ：각국의 GDP(달러), 인구, 개최국(프랑스이면 1, 그 외의 나라라면 0으로 하는 더미 변수)
설명변수가 되는 GDP(달러)와 인구의 데이터는 세계은행 의 오픈 데이터를 중심으로 취득하고 있습니다. 덧붙여 북한이나 난민 선수단의 데이터는 취득할 수 없기 때문에, 분석 대상으로부터 제외하고 있습니다.
※메달을 획득하지 않은 국가도 포함해 해석해야 합니다만, 이번에는 메달을 1개라도 획득한 국가를 대상으로 하고 있습니다.
JMP에서 다음과 같은 데이터 테이블을 만들었습니다. 주황색 열이 목적 변수이고 노란색 열이 설명 변수입니다.
인구, GDP에 대해서는 상용 대수 변환을 실시하고 있습니다. '호스트 국가'는 프랑스의 경우 1, 다른 국가의 경우 0의 값을 취하는 연속 척도의 열입니다.
목적 변수의 메달 총수에 대해 히스토그램을 그리면 오른쪽에 밑단을 당기는 분포가 됩니다. 그래서 메달 총수를 카운트 데이터로 간주하고, 포아송 분포나 부의 이항 분포(감마 포아송 분포)를 맞추어 적합도를 비교했습니다.
적용된 곡선과 AICc에서 음의 이항 분포가 포아송 분포보다 잘 맞는 것을 알 수 있습니다. 음의 이항 분포는 과분산(분산이 평균보다 큰 데이터)을 모델링하는 데 적합하며 이번 데이터와 일치합니다.
Y에 음의 이항 분포를 가정 한 회귀 모델의 적합
Y가 음수분포를 따른다고 가정한 선형회귀 모델을 적용합니다. 기대값 E(Y) = μ, 분산 Var(Y) 를 다음 식으로 모델링합니다.
log (μ) = β 0 + β 1 *log10(인구) + β 2 *log10(GDP($)) + β3 * (주최국 )
Var(Y) = μ + σ μ^2 (σ는 과분산 파라미터)
이 모델은, JMP Pro의 「 일반화 회귀 」에 의해 맞출 수가 있습니다. 「모델의 맞추기」에서, 우상의 수법을 「일반화 회귀」, 분포를 「부의 이항」으로 설정해, Y와 모델 효과를 지정해 실행합니다.
「log10(Population)」계수가 -0.263487로 마이너스가 되고 있습니다. '예측 프로필' 보고서에서도 알 수 있지만, 이 모델은 인구가 많을수록 총 메달 수가 적다는 것을 보여줍니다. 이것은 " 인구가 많을수록 능력이 높은 선수가 나올 가능성은 높다"는 생각을 뒤집는 결과입니다.
①인구, GDP, 개최국에서 설명하는 모델
모델을 만들 때 변수를 선택해 보면 어떨까요? 「일반화 회귀」에서는, 추정법으로서 Lasso (오버핏을 방지하면서 변수 선택을 하는 수법)을 선택할 수 있으므로, 이 방법으로 모델을 맞추어 보겠습니다.
맞춘 결과로서 log10(Population)의 계수는 0으로 수축되어 인구는 메달수를 예측하는 변수로서는 도움이 되지 않는다고 판단되었습니다. 제외된 결과, 개최국의 항은 매우 유의(p-값 = 0.0009)가 되었습니다.
②GDP, 개최국에서 설명하는 모델
인구를 모델에 포함한 모델(①), 인구를 제외한 모델(②)을 비교했습니다. AICc, BIC, 일반화된 R2승 통계량은 거의 동일하며 어느 모델이 좋은지 결론을 내리는 것은 어렵습니다.
이러한 경우, 현실과 비교해석할 수 있는 모델을 선택하는 것도 하나의 방법입니다. 인구를 제외한 모델(②)은, R2승의 값으로부터, GDP와 개최국이라고 하는 2개의 변수만으로 메달수의 약 65%를 설명할 수 있습니다.
메달 수를 결정하는 요소로서, 그 밖에도 스포츠를 추천하는 문화나 돌출한 선수, 메달이 취하기 쉬운 종목이 경기로서 채용되고 있는지 등, 보다 많은 요인이 얽혀 있을 것입니다. 그런데 인구와 개최국의 두 변수만 어느 정도 설명할 수 있는 결과는 흥미롭다.
②의 모델에 대해 프랑스의 GDP를 입력한 예측 프로파일을 나타냅니다.
이보다 프랑스 메달 총수의 예측치는 51.5입니다. 실제로 프랑스는 64개의 메달을 획득했기 때문에, 경제 상황, 개최국의 메리트를 가미해도, 그 이상의 퍼포먼스를 발휘했다고 말할 수 있을 것입니다.
②의 모델에 대해서 「실측치와 예측값의 플롯」의 리포트를 나타냅니다. 세로축이 실측치, 가로축이 예측값이 되기 때문에, 그래프상의 선(실측치와 예측값이 일치하는 선)보다 상측에 있는 나라는 예측을 웃도는 나라, 하측에 있는 나라는 하회했다 나라입니다. (Y축, X축 모두 로그축으로 하고 있습니다.)
일본은 예측치 27.2개에 대해 45개의 메달을 취했기 때문에 크게 예측을 웃돌고 있습니다. 다만, 메달 획득수 상위 국가의 대부분은 예측치보다 실측치가 크게 웃돌고 있어 경제지표의 하나인 GDP만으로는 설명할 수 없는 어떤 요인이 있는 것처럼 느낍니다.
4년 후의 로스앤젤레스 올림픽에서는 이번에도 메달 수가 가장 많은 미국이 개최국으로서의 장점을 살려 얼마나 많은 메달을 획득할까요?
마스카와 나오유(JMP Japan)
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