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¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

Esta es sólo una charla informal, no relacionada con el trabajo.

He trabajado con estadística durante aproximadamente 30 años y todavía no puedo encontrar una buena forma de explicar ni siquiera la prueba t de dos muestras, una prueba estadística muy simple y popular.

Me gustaría explicar las suposiciones, así como su robustez (ligeramente limitada). Lo que sigue es un pobre intento. ¿Existe algún buen libro de texto que explique estas cosas de manera simple y honesta?

Incluso si 3 + 5 = 8, la solución para x1 + x2 = 8 no es sólo x1 = 3 y x2 = 5. Lo mismo sucede a menudo también en estadística.

La prueba t se derivó originalmente de X_1, ..., X_n1 -- iid N(mu_1, sigma^2) e Y_1, ..., Y_n2 -- iid N(mu_2, sigma^2), pero esto no significa que la estadística de la prueba t se distribuya como distribución t solo cuando los datos se generan a partir de este modelo específico.

Pero la robustez cambia para cada situación.

(1) La violación de la iid tiene resultados trágicos. Por ejemplo, si se recogen opiniones políticas de Twitter (X) y se intenta inferirlas de la población general de Japón, el resultado se vuelve altamente sesgado.

(2) Incluso cuando se viola el supuesto de varianzas iguales, el resultado sigue siendo aproximadamente válido si los tamaños de muestra de dos grupos son casi iguales.

(3) Incluso cuando se viola el supuesto de normalidad, el resultado sigue siendo aproximadamente válido si el tamaño de la muestra es relativamente grande y si la distribución no está tan sesgada ni tiene tantas colas.

(4) La prueba t de dos muestras también es una aproximación a una prueba de aleatorización si el tamaño de la muestra es relativamente grande. Por lo tanto, se puede pensar en la prueba t de dos muestras como una prueba no paramétrica con la hipótesis nula H0: F1(y) = F2(y) para todos los y (aunque muchos libros de cocina dicen que la prueba t es una prueba paramétrica).

Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

El portal de conocimientos de estadística tiene una buena explicación al respecto: https://www.jmp.com/en_us/statistics-knowledge-portal/t-test/two-sample-t-test.html

Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

Gracias por la información, @mzwald -san.

Personalmente, creo que los supuestos y la solidez de la prueba t de dos muestras (de Student y Welch) son más complejos.

A modo de ejemplo, en la página se escribe la siguiente explicación.
¿Qué pasa si las variaciones de mis dos grupos no son iguales?
>Aún puedes usar la prueba t de dos muestras. Usas una estimación diferente de la desviación estándar.

Supongo que las oraciones anteriores sugieren que si las varianzas son iguales, se debe utilizar la prueba t de Student, y si las varianzas son desiguales, se debe utilizar la prueba t de Welch. (Supongo que la "desviación estándar" significa "error estándar"). Pero si los tamaños de muestra son aproximadamente iguales, los resultados de la prueba t de Student y la prueba t de Welch son muy similares. Además, si las varianzas de dos grupos son muy similares, nuevamente, los resultados de la prueba t de Student y la prueba t de Welch son muy similares.

La explicación actual anterior parece decir que no podemos utilizar la prueba t de Welch para varianzas iguales, o que no siempre podemos utilizar la prueba t de Student para varianzas desiguales.

La otra propiedad que considero importante es que la prueba t de dos muestras es una aproximación a una prueba de aleatorización. Esta propiedad otorga validez al uso de la prueba t para ensayos clínicos aleatorizados. Los ensayos clínicos nunca utilizan un muestreo aleatorio, sino solo la asignación aleatoria, por lo que sus datos no son muestras aleatorias. Aun así, la prueba t de Student de dos muestras es válida como prueba de aleatorización para H0:F1(x) = F2(x).

Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

Hola @yusuke_ono

La prueba t de dos muestras es un método estadístico ampliamente utilizado, diseñado para determinar si existe una diferencia significativa entre las medias de dos grupos independientes. Se suele aplicar en situaciones de investigación en las que se busca comparar los resultados promedio de dos grupos distintos para evaluar si las diferencias observadas son estadísticamente significativas o podrían haber ocurrido por casualidad.

Aspecto	Descripción	Ejemplo
Supuestos de la prueba t de dos muestras
Independencia de las observaciones	Las observaciones en cada grupo deben ser independientes entre sí.	Estudio del efecto de un nuevo método de enseñanza mediante la realización de pruebas a alumnos que estudian juntos en grupos. Si los alumnos discuten y se ayudan entre sí durante la prueba, sus puntuaciones ya no son independientes
Normalidad	Los datos de cada grupo deben tener una distribución aproximadamente normal, lo que es especialmente importante con tamaños de muestra pequeños.	Medición del ingreso en dos ciudades donde la distribución del ingreso está sesgada.
Varianzas iguales	Las varianzas (dispersión o variabilidad) de los dos grupos deben ser aproximadamente iguales.	Comparar datos consistentes en un grupo con datos altamente variables en otro grupo.
Robustez de la prueba t de dos muestras
Violaciones de la Independencia	La prueba t no es robusta a las violaciones de independencia, lo que conduce a resultados sesgados.	Encuesta a estudiantes de una clase que discuten sus respuestas, como se describe arriba (conduce a resultados sesgados).
Violaciones de la normalidad	La prueba t es bastante robusta a las violaciones de la normalidad, especialmente con tamaños de muestra grandes.	Comparación de los tiempos de reacción ante un videojuego para dos grupos con datos ligeramente sesgados.
Violaciones de varianzas iguales	La prueba t es moderadamente robusta ante violaciones de varianzas iguales, especialmente si los tamaños de muestra son similares. Utilice la prueba t de Welch cuando las varianzas sean desiguales y los tamaños de muestra difieran.	Comparación de puntajes de pruebas de dos escuelas con diferentes variaciones de puntaje.

Tenga en cuenta:

1. Si bien la prueba t de Welch ofrece un enfoque más flexible al adaptarse a varianzas desiguales, en muchos escenarios prácticos donde los tamaños de muestra son iguales o las varianzas son similares, los resultados tanto de la prueba t de Student como de la prueba t de Welch convergerán estrechamente.
2. Si bien la prueba t de dos muestras se clasifica como una prueba paramétrica, suponiendo que los datos provienen de poblaciones distribuidas normalmente, cuando los tamaños de muestra son suficientemente grandes, la prueba t también puede considerarse una aproximación a una prueba no paramétrica. En este contexto, prueba la hipótesis nula de que las distribuciones de los dos grupos son idénticas, lo que la hace algo análoga a una prueba no paramétrica en determinadas condiciones.

Sobre su último punto sobre los ensayos clínicos : //En ensayos clínicos, la prueba t de dos muestras como aproximación a una prueba de aleatorización//

Dado el diseño de asignación aleatoria de sujetos a un grupo de tratamiento, los datos recopilados en los ensayos clínicos no son muestras aleatorias en el sentido tradicional.

Sin embargo, la prueba t de dos muestras sigue siendo válida en este contexto debido a su capacidad de aproximarse a una prueba de aleatorización en un sentido fisiológico y farmacológico (además de criterios de inclusión rígidos), lo que significa que la prueba t todavía puede probar con precisión la hipótesis nula; la prueba t de dos muestras proporciona un método confiable para probar hipótesis en ensayos aleatorios, a pesar de la ausencia de muestreo aleatorio.

Esto se refiere a la idea de que, bajo la hipótesis nula, la distribución de la estadística de la prueba t (en el contexto de experimentos aleatorios) se aproxima a la distribución de la estadística de prueba obtenida de una prueba de permutación o aleatorización. Esta propiedad justifica el uso de la prueba t de dos muestras en ensayos aleatorios, donde se utiliza la asignación aleatoria en lugar del muestreo aleatorio, porque la prueba t puede aproximarse a los resultados de una prueba de aleatorización completa, lo que la hace válida incluso en ausencia de un muestreo aleatorio tradicional.

Estadísticamente se le denomina inferencia basada en aleatorización .

Referencias populares:

Introducción al aprendizaje estadístico

Estadísticas prácticas para científicos de datos

Estadística: el arte y la ciencia de aprender a partir de los datos, tercera edición (recomendada)

Referencias primarias:

Métodos estadísticos

Referencias de ensayos clínicos:

Pruebas de aleatorización

Diseño y análisis de ensayos clínicos: conceptos y metodologías Consulte los capítulos (3, 4 y 5)

Confía en que estos aportes te ayudarán.

Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

@yusuke_ono Es bueno y divertido cuestionar profundamente lo que posiblemente sea la prueba estadística más fundamental y prácticamente útil que tenemos. Parece que tienes el comienzo de un libro blanco, algo así como "Consideraciones sobre la notable prueba T de dos muestras". El punto de partida natural es la prueba original con todos los supuestos plenamente satisfechos. Luego, considera varias direcciones y grados de desviación de estos supuestos y su impacto en las propiedades de muestreo de la prueba (tamaño y potencia).

Desde un punto de vista de ingeniería, la estadística de prueba t es, intuitivamente, una relación señal-ruido.

Las conexiones con la inferencia aleatoria son convincentes y poco apreciadas.

@Chandramouli_R Es un excelente resumen. Me gustaría ver modelos mixtos agregados al diagrama de flujo para la rama no independiente, siendo el caso más común el emparejamiento o, de manera más general, el bloqueo. Tenemos una excelente teoría de modelos mixtos con cálculos de grados de libertad de Kenward-Roger que aún utilizan distribuciones t aproximadas para las pruebas y tienen propiedades de muestra pequeña que funcionan bien.

Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

Gracias por tu idea, @Chandramouli_R -san.

Me gusta la explicación que aparece en la parte del texto. Aunque esto es solo mi preferencia personal, personalmente no me gusta el diagrama de flujo en sí que aparece en la parte superior (aunque lo veo en muchos libros de cocina).

En primer lugar, la prueba de Wilcoxon no mantiene el error alfa cuando dos varianzas no son iguales (incluso si los tamaños de muestra de dos grupos son iguales). Esto se denomina "problema no paramétrico de Behrens-Fisher". Existe una versión de la prueba de Wilcoxon de Welch (Brunner, E. y Munzel, U. (2000) The Nonparametric Behrens-Fisher Problem: Asymptotic Theory and a Small-Sample Approximation.)

En segundo lugar, aunque también escucho a menudo la leyenda urbana de que "la teoría del límite central no se cumple para n<=30", creo que depende en gran medida de la distribución de la población. Por lo que he podido comprobar, esta leyenda urbana proviene de la Teoría avanzada de la estadística de Kendall. Pero la frase original dice simplemente lo siguiente.

... Para algunas distribuciones, particularmente la de la media, una aproximación bastante satisfactoria se obtiene con valores bajos de n, digamos n > 30... (En la p. 341 de la 6.ª edición).

Si parafraseo la oración anterior, creo que el autor simplemente dice algo como que "La TLC funciona para algunas estadísticas de algunas distribuciones de población incluso para tamaños de muestra muy pequeños (como n = 30)". El siguiente es un ejemplo ingenuo. Si la distribución de la población es uniforme, la aproximación de la TLC parece ser buena incluso para n = 5. Pero la distribución de la población tiene colas muy pesadas, la aproximación de la TLC no funciona ni siquiera para n = 100.

Random Reset(1111111);
y1 = J(5, 10000, Random Uniform());
y2 = J(100, 10000,Random SHASH(0.1, 0.1, 2, 3));
dt = As Table(VMean(y1)`||VMean(y2)`);
dt << Distribution(Y(1::2));

En tercer lugar, la prueba de Wilcoxon no suele ser una prueba para la diferencia entre dos medias o dos medianas. Por lo tanto, si le interesa la diferencia entre medias o medianas, creo que no debería utilizar la prueba de Wilcoxon. El siguiente es un ejemplo muy artificial e ingenuo. Las medianas de la muestra son iguales, pero la prueba de Wilcoxon es altamente significativa.

y1 = J(1000,1,Random Lognormal(0,1));
y2 = -y1;
y1 = y1 - Median(y1);
y2 = y2 - Median(y2);
dt = As Table( (J(NRow(y1),1,1)||y1)|/ (J(NRow(y2),1,2)||y2), <<COLUMN names=""></COLUMN>

<P><BR />En cuarto lugar, desde el punto de vista del modelado estadístico, el diagrama de flujo en sí es criticado en la sección 1.1 en McElreath, R. (2020) Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan (2.ª ed.), CRC Press.</P> <P>Además, si se juzga Sí/No en el diagrama de flujo mediante otras pruebas estadísticas, este tipo de pruebas previas también han sido criticadas con frecuencia. Por ejemplo, la comprobación de la homogeneidad de las varianzas mediante una prueba estadística antes de la prueba t de dos muestras o el ANOVA de una vía se dice que "Hacer la prueba preliminar de las varianzas es como hacerse a la mar en un bote de remos para averiguar si las condiciones son lo suficientemente tranquilas para que un transatlántico salga del puerto" (p. 333, Box, GEP (1953). Non-Normality and Tests on Variances). Y, aunque las pruebas previas sean estadísticamente válidas, no podemos aceptar firmemente H0 cuando los valores p son grandes.</P>Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

Gracias por tu consejo, @russ_wolfinger -san

Hace unos 20 o 30 años, cuando era instructor de análisis estadístico básico con Base SAS y SAS/STAT, recomendé a los usuarios de SAS que comprobaran la no normalidad con UNIVARIATE y la homogeneidad de las varianzas con la prueba F en TTEST (y utilizaran la prueba de Wilcoxon para datos no normales y la prueba de Welch en caso de que las varianzas fueran diferentes). Esto se debe en parte a que TTEST genera los resultados de la prueba t para las medias y la prueba F para las varianzas en la misma página. Mi memoria no es muy buena, pero es posible que SAS/ASSIST también haya utilizado el mismo tipo de diagrama de flujo o lógica de libro de recetas.

Pero ahora llego a pensar que no hay ninguna razón estadística para este tipo de rituales o costumbres.

Sin embargo, en la declaración del valor p de 2016, se dice que “De manera informal, un valor p es la probabilidad, bajo un modelo estadístico específico, de que un resumen estadístico de los datos ([…cortado por Ono…]) sea igual o más extremo que su valor observado”. Creo que esta explicación no coincide parcialmente, al menos con la prueba t. El modelo estadístico para la prueba t se basó originalmente en las distribuciones normales. Pero incluso si los datos no son normales (es decir, los datos se apartan de los modelos originales asumidos), el valor p puede ser grande (cuando las medias de la muestra son casi iguales).

Como usted sabe, los ensayos clínicos aleatorizados no suelen utilizar muestreo aleatorio, sino solo aleatorización. Por lo tanto, creo que no podemos dar una razón estadística válida para utilizar la prueba t en los RCT desde el marco del muestreo aleatorio (es decir, "modelos poblacionales" en la terminología de Lehmann).

Re: ¿Explicación simple y honesta para la prueba t de dos muestras?

Un par de referencias clásicas con puntos de vista opuestos sobre la aleatorización de dos estadísticos aplicados de primer nivel: Kempthorne: https://www.jstor.org/stable/2281178 Harville: https://www.jstor.org/stable/2683676