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缺陷亞群模型 (2021-US-30MP-885)

David Trindade，STAT-TECH 創辦人兼首席顧問

假設組件群體中的一小部分非常容易受到某種故障機制的影響。從可靠性角度考慮，這些裝置存在製造缺陷：最初可以正常工作，並且透過標準的下線測試和檢查無法檢測到損壞，但在短期使用後，它們就會出現故障。整體中的其餘組件要么不易受到這種故障機制的影響，要么它們會在很晚的時候因可能的其他原因而發生故障。

有時，現場或壽命測試數據會透過顯示故障的早期發生率來表明這種雙峰行為，這些故障似乎在相當大比例的人口發生故障之前很久就減慢到幾乎為零。這種行為的一個很好的模型是有缺陷的亞群模型（DS）。

組件群體實際上是兩個群體的混合體：一個有可靠性缺陷的小子群體，它會提前失效，而其餘的組件可能會由於磨損機製而在以後出現故障，這些磨損機制只能在更遠的時間裡看到（被稱為“不朽”） ）。該模型具有廣泛的適用性，其中一部分（希望很小！）人口遵循早期生命失敗模型。

本演講首先介紹如何使用 JMP 中的壽命分佈平台透過 DS 選項來分析此類數據以擬合數據，然後示範如何根據假設的輸出應用可能存在缺陷子群體的簡單檢驗。

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大衛特林達德	嗨，我是戴夫·特林達德。
	我從事私人諮詢和培訓，特別是 JMP 的使用，我的公司是 STAT-TECH。今天我們要討論的是可靠性缺陷模型。
	當我們分析可靠性數據時，分析中存在一個常見的假設，即所有承受壓力的單元最終都會因特定的過濾機製而失敗。然而，我們如何處理似乎不遵循該假設的可靠性數據？
	讓我在這裡舉個例子給你聽。假設我們有一個可靠性壓力測試，我們使用 100 個單元並運行 1,000 小時。我們在 500 小時內看到了 30 次故障，但在接下來的 500 小時內，直到測試結束，沒有其他故障。
	那麼這裡就有一個問題了。假設我們拿走了剩下的 70 個單元，並在 1000 小時之後繼續對它們進行壓力測試。
	我們是否還會看到其他類似的失敗，或不會出現任何失敗？所以我們要問的問題是，我們是在處理兩個不同的混合群體，還是數據只是隨機表現？
	這是第二個例子，這是來自一家主要電腦製造商的來料檢驗測試的實際數據。
	它是讀出類型的數據，該公司正在調查柵極氧化物類型的故障。現在讀出的數據是單位定期測試的數據，你知道，時間0、24小時、48小時、168小時、500小時和1000小時。
	此處顯示了測試中的樣本量；一開始有 58,133 人。
	這種情況持續了 48 小時，到了 48 小時，一大堆被稱為審查單元的單元被從測試中刪除了近 48,000 個。
	現在，被審查的設備是在讀數後從測試中刪除的倖存設備，因此 10,000 個設備持續了 168 小時，並且出現了額外的故障。
	然後另外 8,000 個被刪除，進行審查，讓 2,000 個繼續進行到 1,000 小時，並從 500 到 0 到 168 的間隔進行 1,000 小時，直到
	500小時。又發生了一次故障，然後在 500 到 1,000 小時之間又發生了另一次故障。所以我們最後審查了 1,000 小時、1,998 個單位。該公司假設故障分佈呈對數常態分佈。
	好的，假設我們要在 JMP 中分析這一點，假設對數常態分佈。我們有所謂的多重審查，因為有很多審查點，區間類型的數據。
	JMP 資料表的創建如右圖所示，將其組合起來需要花費一些心思，但讓我從這裡開始。我們有兩列，一列是開始列，一列是結束列以反映間隔的結束。
	因此，從 0 到 24 的區間，我們有 201 個單元被拒絕、失敗。不過現在24小時了，
	我們沒有進行審查，好吧，然後我們有第二個間隔，從 24 到 48 小時，其中 23 個額外的單元失敗了。但在 48 小時內，我們在壓力下移除了大部分單位，接近 48,000 個。
	然後一萬人被允許繼續前進。在 48 至 168 小時內，這 10,000 件產品被拒絕，然後在 168 小時內，我們移除了 7,999 件產品，幾乎又去除了 8,000 件。
	該資料表中的審查點由空白單元格反映，現在這就是我們這裡的內容，因此這些代表審查點。
	然後在 169 到 500 小時之間，我們在剩下的 2,000 台設備中又出現了一台故障。最後直到 1,000 小時，我們在 500 小時後又出現了一次故障，
	測試結束時，我們留下了 1,998 個經過審查的單元。
	因此，在這種多審查區間類型資料的表格中輸入資料的重要一點是，您必須設定一個單獨的行來處理審查觀測值，並且端點將由空白儲存格表示。
	現在讓我們將其啟動到 JMP 中。我們將選擇分析、可靠性和生存、壽命分佈並提供顯示的輸入。因此，我們將放入開始列和結束列，將它們放在一起，然後放入頻率列。
	對於審查觀察，我們使用的審查程式碼為零，然後我們將其從 Wald 方法更改為似然方法。我比較喜歡使用似然法。
	我現在要做的就是進入 JMP。
	好的。
	進行分析，然後回到投影片。讓我減少這裡的幻燈片。
	好的，這是主要製造商的可靠性數據。這就是數據的輸入方式；我談到過這一點。我們要來這裡分析可靠性和生存、壽命分佈。
	好的，我們將在這裡輸入開始和結束列，然後輸入頻率。審查程式碼為零，我再次將其更改為似然法。我們點選確定。
	好的，現在假設分佈是對數常態的。 JMP 在這裡為我們提供了非參數估計。
	我們點擊對數常態，我們就得到了非參數尺度，線性尺度，在這裡。我們查看數據，我們發現，儘管我們的數據點很少，但它似乎不太適合模型，線上的點很少。
	如果我們在這裡使用機率圖尺度，我們會再次遇到相同的情況，這將是模型，但資料點沒有落在線上。我想在這裡注意到的另一件事是，當我們查看這裡的參數估計時，T50
	是 4.8 乘以 e 的 30 次方。
	規模約為 25，對於對數常態分佈來說，這是一個非常非常大的數字。 JMP 也為您提供了分位數刻畫器，比方說
	我們正在嘗試估計達到 0.5% 故障所需的時間。 JMP 可以，根據這個模型，它告訴我們大約需要 535 小時。那麼，1% 的失敗呢？我們輸入 .01
	現在，我們的工作時間已達到近 273,000 小時，故障數量僅增加了一倍。這是一種奇怪的情況，所以現在讓我回到幻燈片演示。
	好的。
	回到這裡。
	好的。
	現在回顧一下我們剛剛討論過的內容。我們在這裡有參數估計，這是我們的線性比例。
	好的，這是我們的機率尺度和這些估計，我希望你仔細看一下。
	這個 T50、中位數和量表。好吧，讓我們稍微解釋一下這些。 T50 是第 30 小時 E 的 4.8 倍。
	西格瑪是 25。
	相比之下，宇宙的年齡估計為10年1.48E。
	因此，要達到 T50，需要超越宇宙的盡頭，這對我來說是一個病態的問題。
	對數常態分析器估計需要 535 小時才能達到 0.5% 的故障率，但需要近 30 萬小時才能達到 1% 的故障率。
	這不是一個非常令人滿意的發行版。好吧，那我們...我們的替代方案是什麼？我們的替代方案是根據缺陷模型來思考。
	缺陷模型基本上是凡人和神仙之間的對立。與通常的假設相反，即所有承受壓力的單位最終都會失敗
	如果子群體有缺陷，則只有包含該缺陷的部分單元可能容易發生故障。
	這些人被稱為凡人，因為他們可能會失敗，他們有缺陷。現在如果這些單位沒有致命的缺陷
	它們不會因該故障機製而發生故障，且不易因觀察到的原因而發生故障。這些被稱為不朽，不朽最終可能會失敗，但時間非常非常遙遠，而且很可能是由於其他原因。
	因此，現在讓我們考慮這裡數據的缺陷模型，我認為我們將做出一些合理的假設。
	看看這些來料檢驗數據，我們發現，不合格品發生在 201、23 號，之後，儘管樣本量減少了，但不合格的情況卻很少。
	因此，我們要做的就是假設近 99% 的故障發生在 48 小時內。
	好的，這意味著我們開始時的樣本量是拒絕的...
	原始 58,000 個數字中的缺陷約為 227 個，只需將其除以 0.99 即可拒絕我們看到的計數。
	因此，實際上 100% 的致命故障都在 168 小時內發生，我們將假設此後的任何故障都不太可能與有缺陷的子群體相關，並且可能是由操作引起的。
	現在讓我們在 JMP 表中設定一個單獨的列
	這包含了存在缺陷亞群的想法。因此，一個可能的模型將暗示一部分凡人亞群和缺陷，正如我所說，在 227
	58,000 個或約 0.39%，因此原始樣本中大約不到 0.4% 的單元有缺陷。
	現在我將向資料表新增一個 Mortals 列，如圖所示，因此我只輸入我們觀察到的拒絕結果。
	我在這裡做了一個小小的假設，部分受到審查的單位，這個非常大的人口
	48,000，其中大約有兩個包含...大約有兩個拒絕...凡人被移除。然後我們把168處發生的另一個故障放進去，我們把它當作拒絕，但從那時起，發生的故障為零。現在讓我們在 JMP 中對此進行分析。
	好的，我在這裡設立了一個單獨的專欄，其中包含凡人的頻率，就是我剛才向您展示的。所以現在我們要來這裡分析，
	可靠性和生存，壽命分佈。好的，我們將拉入開始結束拒絕列，但現在我們將使用凡人頻率作為其中的頻率。審查代碼仍然為零，我再次喜歡可能性。
	我們點擊“確定”，瞧，我們得到了這個。
	雖然只有兩個數據點，但沒關係，我將為此單擊對數正態刻度。
	但現在，當我們看看我們的 T50
	和我們的比例參數，我們看到T50現在大約是10.6小時。
	好的，比例約為 0.6。看看我們的四分位數分析器，它告訴我們一點…看到大約 0.5% 的故障大約需要兩個小時，而看到大約 1% 的故障需要大約兩個小時，
	好的，需要兩個多小時。這些是更合理的類型值，這是建立缺陷模型並做出假設的基礎之一，您可以獲得更有意義的結果。現在讓我們回到我們的
	PowerPoint簡報。
	好的，這只是捕捉了我們對生命分配所做的事情，所以你可以，如果你想花時間自己經歷這個，你可以經歷這個。我將提供 JMP 數據文件
	在 JMP 社區板上。好的，我們現在的 T50 為 10 點西格瑪，與您之前知道的過高的水平相比。
	西格瑪為 0.68，您知道，在我們的估計中，這是一個非常合理的類型值。所以這個例子基本上向你展示瞭如果你在分析中不考慮凡人和不朽者，你可以得到，
	您知道，結果有很大偏差，錯誤的假設會嚴重影響結果，如果您預測現場可靠性
	除非認識到並考慮到有限數量的缺陷單元的存在，否則結果可能會有很大偏差。
	如何發現有缺陷的亞群？嗯，非常容易做的一件事就是圖形分析。
	我們假設指定的故障模式遵循對數常態分佈。我們使用對數常態機率圖繪製資料。如果不是沿著直線，
	該點似乎偏離累積百分比軸，這是可能存在缺陷亞群的訊號。
	如果測試運行足夠長的時間，我們預計該圖會漸近地彎曲到代表的累積百分比線
	樣本中缺陷的比例。所以我的意思是這是一個機率圖，其中所有......假設一切都可能失敗。
	在某個時刻，您會遇到一個…基本上是一個停止點，無論您在承受壓力的單元上增加多少時間，都不會再出現額外的故障，該點代表模型中的累積缺陷百分比。
	好吧，現在如果我們只看一下凡人亞群並繪製該數據，現在我們得到一個直線擬合，我們期望它支持擬合分佈模型。
	好的，那麼我們實際上討論的模型是什麼？我們觀察到的基本上是模型的 CDF 乘以 P（該群體中模型的比例）。
	例如，如果人口中有 25% 的凡人，而當時的凡人 CDF 為 40% 的失敗，
	那麼您期望在時間 T 時在總樣本中觀察到的值約為 10% (.25 x .4)。
	好的，現在讓我給您另一個範例，該範例對此進行了更詳細的介紹，它實際上顯示了 JMP 分析有缺陷的子群體的能力。對於半...對於一種類型的半導體模組，眾所周知，一小部分
	密封模組的外殼內可能含有水分，這增加了導致這些單元過早失效的故障機制的可能性。
	我們想要做的是針對這些故障擬合合適的壽命分佈模型。
	現在專門製作了測試零件，大大增加了正常製造過程中常見缺陷的含水量機會，然後我們選擇了 100 個
	我們從這些單元中隨機抽取零件，並對它們進行了 2,000 小時的壓力測試。我們觀察到 15 次失敗，以下是失敗發生的時間。到測試結束時，仍有 85 台存活。好吧，這些都是經過審查的觀察。
	現在，由於我們有精確的故障時間和單一審查時間，因此可以按以下方式將時間輸入到 JMP 資料表中。好的，我們在一欄中輸入了時間
	然後我們輸入審查觀察值，1 表示不審查，0 表示審查，在本例中，然後是頻率，即在給定時間點發生的故障數量。但到了2000小時
	我們有零審查代碼，還有 85 個單元仍然存在。好的，現在我們已經有了這個 JMP 資料表。
	我們現在將使用某種遺留平台，因為它提供了我喜歡展示的圖表。
	我們將選擇分析、可靠性和生存，這次我們將使用生存，而不是生命分佈。
	因此，我們將如圖所示投射列，類似於我們對生命分佈所做的操作。我們將輸入故障時間，這些是確切的故障時間。
	我們將放入審查觀察欄，我們將放入頻率欄。我們將策劃失敗而不是生存，而且非常重要的是，我們將審查程式碼更改為零。那我們現在就這樣做吧。好的，在這裡。我要把這個人關在門外。
	我們不再需要這個人了，所以我要來這裡
	也把這傢伙拒於門外。
	好的，我們將討論這裡的缺陷模型。這是我們的失敗次數、我們的審查和我們的頻率。所以我要到這裡來分析，然後我要到這裡來討論可靠性和生存，但我不會討論生命分佈，而是去討論生存。
	好的，我輸入了失敗時間。
	我輸入了審查次數、審查欄、頻率。在這裡我將我的審查代碼更改為零。
	我將策劃失敗而不是生存。按一下“確定”。
	現在我在這裡有了這個情節，讓我們......讓你知道，稍微改進一下。
	讓我們把它帶到這裡...
	就在那裡。很好，我將在此處添加一些網格線只是為了方便起見，使其更易於解釋，我將在此處的網格線執行相同的操作。
	好的。那麼我們從這個數據中註意到什麼，這是永生人口可能存在的跡象？我們注意到這些單位遵循 CDF 的相當線性類型的圖。
	最後一次故障發生在大約 2,000 小時左右，對不起，上次故障發生在大約 1700 小時左右，我認為這是實際的數據點，讓我往下看，大約是 1664 小時。
	當我們注意到在最後一次故障之前的 300 小時內，發生了 5 次故障，但從 500 次......實際上從 1664 小時開始，
	300小時...336小時，沒有任何故障。所以我在這裡要說的一點是，我們看到了某種
	故障的飽和點，在這 300 小時期間，與這 300 小時期間相同，
	這 300 小時期間發生了 5 次故障，然後接下來的 336 小時或其他時間沒有故障，所以我們現在懷疑
	我們可能有一個缺陷子群體，因為如果這條曲線繼續下去，我們沒有看到我們預期的更多故障。好的，我們現在要做的就是進入這裡
	我們將帶您使用生命週期分配程序來了解 JMP。好的，現在轉到可靠性和生存、生命分佈，現在我們要做的是把我們的失敗時間放進去。
	好吧，有時確實如此。我們將放入審查欄，放入頻率。
	然後審查代碼為零。再次可能性。
	我們點選確定。
	現在，我們這裡得到的是資料的非參數圖。現在，JMP 為我們提供了一大堆可以擬合這些資料的分佈。讓我們選擇，你知道，在這裡，我們可以說擬合所有非負類型分佈，因為可靠性分佈不是負的。
	JMP 出來了，它給了我們一個廣義的伽馬一。不過，我不會使用廣義伽瑪，因為我將使用對數常態，因為這是最初計劃的
	以便透過數據進行分析。順便說一下，我們可以在這裡看到，如果你看一下，它與廣義伽瑪並沒有什麼不同
	就 AICc 類型標準而言，您可以看到資料不太適合。您知道，我們有很多數據點位於該線的一側上方。如果我們使用對數常態尺度，好吧，在這裡，
	我們再次看到，你知道，數據點並沒有落在線上。好的，我們也可以看看這裡顯示的資料參數估計的估計。規模參數為 1，T50 為 6,000。
	好的，現在我們進行了分析，但數據並沒有非常令人滿意，所以我現在要回到我的 PowerPoint 類型演示
	在這裡。
	好的。
	這只是使用生存平台再次重複，我們在過去 336 小時內沒有看到新的故障，而在此之前的前 336 小時內發生了 5 次故障。
	所以我們懷疑可能有缺陷的亞群。我們如何在 JMP 中分析這一點？好吧，事實證明
	我們實際上可以使用最大似然法來求解我向您展示的模型中的參數。它只是審查數據的最大似然理論的簡單擴展。
	最大似然方程式的基本構建塊是 PDF f(t) 和 CDF F(t)，但是，只有分數 p
	的總體容易受到 F(t) 建模的失效機制的影響，則 pF(t) 是隨機選擇的組件在時間 t 時失效的機率。
	我用 25% 和 40% 的凡人給你 10% 的觀察值的例子向你展示了這一點。同樣，可能性
	隨機選擇的組件在確切時刻 t 失效的機率由 PDF 乘以 p 給出。
	因此，我們要做的就是使用為缺陷模型編寫似然方程式的規則，只需將 f 和 F 出現在似然方程中的任何地方替換為 pf（小 f）和 pF。
	現在的似然方程，即第一類刪失資料的標準方程，意味著我們有 n 個壓力單位。
	我們在確切的時間 T1、T2 發生了 r 次故障，一直到 T sub r 以及剩餘的 N 減 r 個被審查的倖存單元，這是該情況的似然方程，即第一類感測器數據。現在我們要成功了
	一個可以處理缺陷模型的方程，其中只有一小部分群體容易出現故障，只需替換 fft 和 Kappa fft p 乘以 fft。
	n P 乘以 Kappa fft ，顯然，當您進行多次乘法時，您將 r 的 p 取出。
	所以 ML 估計是 P 的值和總體參數，它們最大化
	似然方程式或等效地最小化似然的負對數，這是一個更容易使用的方程式。事實證明，這就是 JMP 所做的事情。 JMP 的最大似然估計值為
	生活分發平台。因此，我們再次使用這個原始表，即我向您展示的 9.5 數據表，我們輸入數據，如圖所示，輸入故障時間、審查、頻率，並在此處進行更改。
	正如我所提到的，現在我們得到的輸出是非參數類型的輸出。
	然後，當我們告訴 JMP 擬合所有非負類型分佈時，假設所有單元都可能失敗，我們決定僅使用對數常態類型分佈，然後按一下該分佈。
	我們的輸出以這種方式出現，這表示對數常態擬合很差。
	當我們查看機率和對數可能圖時，對數常態擬合再次很差，因此與數據的擬合非常值得懷疑。
	好的，現在我們將在 JMP 中使用一個強大的程序，稱為缺陷亞群擬合。我們不會擬合所有非負分佈，而是擬合所有 DS 分佈。
	DS 分佈是有缺陷的子總體分佈，它使用最大似然方程式來估計，而不僅僅是 CDF，
	模型，還有該模型中的 p 值。所以我們要這麼做。讓我們回到這裡，進入 JMP。
	回到我們這裡的例子。
	好的，所以我們要到達這裡的頂部，現在我們要做的是
	會對 JMP 說擬合所有有缺陷的子總體分佈。
	現在，哇，看看那個。
	現在，JMP 為我們擬合了有缺陷的亞群對數常態模型。
	而且非常合身，我的意思是，非常合身。當我們進入非參數......非參數尺度時，我們看到我們有一個現在可以工作的模型
	並讓我們有信心進行現場預測…我們對可靠性的預測。如果我們下去這裡。
	我們在對數正態參數估計之前向您展示過，但如果我們在這裡討論 DS 對數正態，
	該模型現在顯示，該族群中的缺陷率估計約為 15.8%。請記住，我們在大約 15% 時顯示了飽和度。
	尺度參數是 0.35，現在我們有能力估計，你知道，使用分位數刻畫器或分佈刻畫器，我們可以估計
	給定時間點發生故障的機率，或者我們可以使用分位數刻畫器來估計達到特定機率的時間點。
	但是這個模型與另一個模型之間的驚人差異確實是巨大的，在另一個模型中我們沒有假設我們有一個有缺陷的亞群。
	因此，當您查看試圖找出的可靠性數據時，請確保我們是否有缺陷的子群體是一個重要的考慮因素。讓我回到我的 JMP...
	我的 PowerPoint 簡報在這裡。
	好的，當您選擇擬合所有 DS 分佈時，JMP 會自動選擇 DS 對數常態分佈。我們看了一下合身性，這個合身性非常非常好。
	參數估計如下所示，請注意，我們對該模型中的缺陷百分比、凡人百分比和凡人的 T50 的參數估計值顯示在此處，並且此處還顯示了凡人的西格瑪。
	現在好吧。
	我希望看到 JMP 納入壽命分佈的一個附加功能是我們能夠測試並查看缺陷模型是否更好
	與假設所有單元都可能發生故障的模型相比。如果尚未計算可疑缺陷模型的 ML 估計值，我們可以測試假設 P 等於 1。
	也就是說，與替代缺陷模型相比，不存在缺陷子群。
	因此，這是一個測試，令 L1 為標準（非缺陷）模型的最小對數似然，令 L2 為缺陷模型的最小對數似然。
	似然比檢定統計量為 Lambda =2(L1-L2)。如果假設成立，換句話說，模型顯示所有單元都可能失敗，
	lambda 將近似具有一個自由度的卡方分佈。如果 Lambda 更大，那麼我們選擇一個卡方百分位數
	95%，那麼這給了我們一個自由度的 3.84，那麼我們會拒絕標準模型並接受 95% 置信水準的缺陷模型。
	因此，讓我們回到 JMP 中的輸出，JMP 實際上提供了此處對數似然的估計。
	好的，我想向您展示，在此處的JMP 範例中，您可以看到，對於對數正態，這裡的對數似然為307，對於有缺陷的子總體為301，因此JMP 自動為您提供這些值。
	好吧，回到這裡。
	好的，當我們輸入該檢定統計量時，我們會說 3.07 減 3.01 得到 6.1。現在6.1更大了
	大於卡方值 3.84，因此在本例中，對於 9.5，我們將拒絕一切都可能失敗的標準模型，我們將接受置信度為 95% 的缺陷模型。
	現在，如果您想了解有關缺陷模型的更多信息，您可以透過 Google 搜尋缺陷亞群和可靠性數據來獲取更多資訊。
	我實際上有一個案例研究，當我在一家公司工作時，我們最終解決了這個問題，它涉及現場有缺陷的亞群產品，這也被引用。在可靠性文獻中，
	此類模型也稱為有限故障群體 (LFP) 模型。
	因此，在可靠性數據分析中，識別和考慮缺陷亞群（DS 模型）的存在以獲得無偏結果非常重要，而 JMP 的壽命分佈平台能夠使用視覺和 MLE 方法分析 DS 數據。
	參考文獻顯示在此。我們在我的書中討論了有缺陷的亞群；這是第三版，由 Paul Tobias 和我共同編寫的《應用可靠性》。
	這是我向您提到的範例，其中我們使用有缺陷的子群體和加速測試來解決現場問題。然後 Meeker 和 Escobar 也有《可靠性資料的統計方法》，其中他們討論了有限的故障群體模型。
	所以我感謝你，也願意回答任何問題。小心。