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缺陷亚群模型 (2021-US-30MP-885)

David Trindade，STAT-TECH 创始人兼首席顾问

假设一小部分组件极易受到某种故障机制的影响。从可靠性的角度来看，这些组件属于制造缺陷：它们原本可以正常工作，标准生产线末端测试和检查无法检测到损坏，但使用一段时间后就会发生故障。其余组件要么不易受到这种故障机制的影响，要么在很晚的时候由于其他原因而发生故障。

有时，现场或寿命测试数据会通过显示早期故障发生率来表明这种双峰行为，而这种故障似乎在相当一部分总体发生故障之前就减慢到几乎没有。这种行为的一个好模型是有缺陷的子总体模型 (DS)。

组件总体实际上是两个总体的混合：可靠性缺陷的小子总体，早期失效；其余组件，由于磨损机制，可能在以后失效，而磨损机制只能在更远的时间里看到（称为“不朽组件”）。该模型具有广泛的适用性，其中（希望是小部分！）总体遵循早期寿命失效模型。

本次演讲首先介绍了如何使用 JMP 中的“寿命分布”平台通过 DS 选项拟合数据来分析此类数据，然后演示了如何根据“寿命分布”平台的输出对可能存在有缺陷的子群体的假设进行简单检验。

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扬声器	脚本
大卫·特林达德	你好，我是 Dave Trindade。
	我从事私人咨询和培训，特别是使用 JMP，我的公司是 STAT-TECH。今天我们要讨论可靠性缺陷模型。
	当我们分析可靠性数据时，分析中有一个常见的假设，即所有受压单元最终都会因特定的过滤机制而失效。但是，我们如何处理似乎不符合该假设的可靠性数据？
	我来举个例子。假设我们有一个可靠性压力测试，我们拿 100 个单元进行 1,000 小时的测试。我们在 500 小时前发现了 30 个故障，但在接下来的 500 小时里，直到测试结束，没有再发生故障。
	那么这里有一个问题。假设我们把剩下的 70 个单元拿来继续进行超过一千小时的压力测试。
	我们是否会看到更多类似的故障，或者根本不会发生故障？因此，我们要问的问题是，我们是在处理两个不同的混合群体，还是数据只是随机表现？
	这是第二个例子，这是来自某大型计算机制造商的进货检验测试的实际数据。
	这是读出型数据，该公司正在调查栅极氧化物型故障。现在读出数据是定期测试单元的数据，你知道，时间为 0、24 小时、48 小时、168 小时、500 小时和 1000 小时。
	测试的样本量显示在这里；一开始是 58,133。
	这种情况持续了 48 小时，在 48 小时后，一大批被称为审查单位的单位被从测试中移除，数量接近 48,000 个。
	现在，受审查的单元是读出后从测试中移除的幸存设备，因此 10,000 个单元继续运行了 168 小时，并且发生了一次额外故障。
	然后，在那个时候，又有 8,000 人被移除，并接受审查，以允许 2,000 人继续工作到 1,000 小时，并从 500 开始工作 1,000 小时，直到间隔 0 到 168 到
	500 小时。又发生了一次故障，然后在 500 到 1,000 小时之间又发生了一次故障。所以我们最终在 1,000 小时处进行了删失，共 1,998 个单位。该公司假设故障分布呈对数正态分布。
	好的，假设我们想在 JMP 中分析这个数据，假设数据为对数正态分布。我们称之为多重删失，因为有许多删失点，间隔型数据。
	JMP 数据表的创建方式如右图所示，需要花点心思才能将其组合起来，但我先从这里开始。我们有两列，一列是起始列，一列是结束列，用于反映间隔的结束。
	因此，从 0 到 24 小时内，我们有 201 个单元被拒绝，失败。但现在到了 24 小时，
	我们没有进行审查，好吧，然后第二个间隔从 24 到 48 小时，其中又有 23 个单元出现故障。但在 48 小时后，我们移除了大部分承受压力的单元，几乎有 48,000 个。
	然后有 10,000 辆被允许继续行驶。在 48-168 小时内，这 10,000 辆中有一辆被拒绝，然后在 168 小时内，我们又移除了 7,999 辆，几乎又有 8000 辆。
	该数据表中的审查点由一个空白单元格反映，现在它是我们在这里所拥有的，所以它们代表审查点。
	然后，在 169 到 500 小时之间，剩下的 2,000 台机器中又出现了一次故障。最后，在 1,000 小时之后，我们又出现了一次故障，
	测试结束时，剩下 1,998 个单位被审查。
	因此，在这种多重删失区间类型数据的表中输入数据的重要一点是，您必须设置一个单独的行来处理删失的观测值，并且端点将由空白单元格表示。
	现在让我们将其启动到 JMP 中。我们将选择分析、可靠性和生存、寿命分布并提供显示的输入。因此，我们将输入开始和结束列，两者放在一起，然后我们将输入频率列。
	对于已审查的观测值，我们使用的审查代码为零，然后我们将从 Wald 方法更改为似然法。我更喜欢使用似然法。
	我现在要做的是进入 JMP。
	好的。
	然后进行分析，然后回到幻灯片。所以我要缩小这里的幻灯片。
	好的，这是主要制造商的可靠性数据。这就是数据的输入方式；我谈到了这一点。我们将在这里分析可靠性和生存率、寿命分布。
	好的，我们将在此处输入开始和结束列，并输入频率。审查代码为零，我再次将其更改为似然法。我们单击“确定”。
	好的，现在假设分布是对数正态的。JMP 在这里为我们提供了非参数估计。
	我们点击对数正态分布，这里是非参数尺度，即线性尺度。我们查看数据，发现尽管数据点很少，但似乎模型拟合得不是很好，线上的点很少。
	如果我们转到这里的概率图尺度，我们再次遇到相同的情况，这将是模型，但数据点没有落在线上。我想在这里注意的另一件事是，当我们查看这里的参数估计时，T50
	是 4.8 乘以 e 的 30 次方。
	对于对数正态分布，比例约为 25，这是一个非常非常大的数字。JMP 还为您提供了分位数刻画器，假设
	我们试图估算出达到半个百分点的故障所需的时间。JMP 可以根据这个模型告诉我们，我们需要大约 535 个小时。那么 1% 的故障呢？我们输入 .01
	现在我们已经使用了将近 273,000 小时，故障数却增加了一倍。这种情况很奇怪，所以现在让我回到幻灯片演示中。
	好的。
	回到这里。
	好的。
	现在我们来回顾一下刚刚讲过的内容。这里有参数估计值，这是我们的线性尺度。
	好的，这是我们的概率尺度，再次重申一下这些估计值，我希望你们仔细看一下。
	这是 T50、中位数和比例。让我们来解释一下这些。T50 是 E 的 30 分之 4.8 倍。
	西格玛是 25。好的，4.82 乘以 30 年的 E 等于 26 年的 5.2E。
	相比之下，宇宙的年龄估计为1.48E的10次方年。
	因此，要达到 T50，就需要超越宇宙的尽头，对我来说，这是一个病态问题。
	对数正态分析器估计需要 535 个小时才能达到 0.5% 的故障率，但需要将近 300,000 个小时才能达到 1% 的故障率。
	这不是一个令人满意的分布。好吧，那么我们……我们的替代方案是什么？我们的替代方案是从缺陷模型的角度来思考。
	缺陷模型基本上是凡人与不朽者的对立。与通常假设所有承受压力的单元最终都会失败相反
	如果缺陷存在于子群体中，则只有包含该缺陷的那部分单元可能容易发生故障。
	这些被称为致命的，因为他们可能会失败，他们有缺陷。如果这些单位没有致命缺陷，
	它们不会因为故障机制而失败，也不会因为观察到的原因而失败。这些被称为永生系统，永生系统最终会失败，但会在非常非常久远的时间里失败，而且很可能是因为其他原因。
	所以现在让我们考虑一下这里的数据缺陷模型，并且我们将做出一些我认为合理的假设。
	查看这些传入的检查数据，我们发现，拒收发生在 201、23 处，然后，在此之后，即使样本量减少，失败的次数也非常少。
	因此，我们要做的是假设几乎 99％ 的故障发生在 48 小时内。
	好的，这意味着我们开始使用的样本量是被拒绝的......
	原始 58,000 个缺陷中约有 227 个，只需将其除以 0.99 即可拒绝我们看到的计数。
	因此，实际上 100％ 的致命故障都是在 168 小时内发生的，我们将假设此后的任何故障都不太可能与有缺陷的子群体相关，并且可能是由处理引起的。
	现在让我们在 JMP 表中设置一个单独的列
	包含了有缺陷亚群的想法。因此，一个可能的模型意味着有一部分死亡亚群，而缺陷，正如我所说的，在 227
	在 58,000 个单位中，约有 0.39% 存在缺陷。因此，原始样本中约有不到 0.4% 的单位存在缺陷。
	现在我要向数据表中添加一个 Mortals 列，如图所示，所以我只需输入我们观察到的拒绝项。
	我在这里做了一个小小的假设，在被审查的单位中，这一大批
	48,000，其中大约有两个包含……大约有两个被拒绝……被移除的凡人。然后我们把发生在 168 的另一个失败放进去，我们把它当作一个拒绝，但从那时起，就没有发生任何失败。现在让我们在 JMP 中分析一下。
	好的，我在这里设置了一个单独的列，记录了凡人的频率，也就是我刚刚展示的那个。现在我们要来分析一下，
	可靠性和生存率，寿命分布。好的，我们将引入开始结束拒绝列，但现在我们将使用凡人频率作为其中的频率。审查代码仍为零，我再次喜欢可能性。
	我们单击“确定”，然后，瞧，我们就得到了这个。
	这只有两个数据点，但是没关系，我将单击它的对数正态尺度。
	但现在，当我们看看我们的 T50
	根据我们的尺度参数，我们看到 T50 现在约为 10.6 小时。
	好的，比例约为 0.6。查看我们的四分位数刻画器，它告诉我们……查看约 0.5% 的故障需要大约两个小时，查看约 1% 的故障，
	好的，需要两个多小时。这些是更合理的类型值，这是拥有缺陷模型的基础之一，并且做出假设，您可以获得更有意义的结果。现在让我们回到我们的
	PowerPoint演示文稿。
	好的，这只是我们对寿命分布所做的工作，所以如果你想花时间自己研究一下，你可以看看这个。我将提供 JMP 数据文件
	在 JMP 社区论坛上。好的，我们现在的 T50 为 10 点 Sigma，而之前的价格非常高昂。
	Sigma 为 0.68，在我们的估计中，这是非常合理的类型值。所以这个例子基本上表明，如果你在分析中不考虑凡人和不朽者，你可以得到，
	你知道，结果存在很大的偏差，一个错误的假设会严重影响结果，如果你预测的是现场可靠性
	除非认识到并考虑到存在有限数量的缺陷单元的可能，否则结果可能再次出现严重偏差。
	如何发现有缺陷的亚群？嗯，有一件事很容易做到，那就是进行图形分析。
	假设指定的故障模式服从对数正态分布。我们使用对数正态概率图绘制数据。如果不是遵循直线，
	该点似乎偏离了累积百分比轴，这表明可能存在有缺陷的亚群。
	如果测试运行的时间足够长，我们预计该图将渐近地弯曲到代表
	样本中缺陷的比例。我的意思是，这是概率图，其中所有...假设一切都可能失败。
	在某个时刻，你会达到一个......基本上是一个停止点，无论你在压力下的单元上增加多少时间，都不会再出现额外的故障，而这个点代表了模型中累积的缺陷百分比。
	好的，现在如果我们只看死亡亚群并绘制该数据，现在我们会得到一条直线拟合，我们预计这将支持拟合的分布模型。
	好的，那么我们讨论的模型到底是什么呢？我们观察到的基本上是模型的 CDF，它乘以了 P，即该总体中模型的比例。
	例如，如果人口中有 25% 的人是死亡，而当时死亡的 CDF 是 40% 的失败，
	那么您期望在总样本中观察到的内容在时间 T 时占总样本的比例约为 10% (.25 x .4)。
	好的，现在让我再举一个例子，更详细地说明这一点，它实际上展示了 JMP 分析缺陷子群体的强大功能。对于半导体……对于一种半导体模块，众所周知，一小部分
	密封模块的外壳内可能会滞留湿气，这会增加导致这些单元过早出现故障的可能性。
	我们想要做的就是针对这些故障建立一个合适的寿命分布模型。
	现在，测试部件是专门制造的，以大大增加封闭水分的机会，这是正常制造过程中的典型缺陷，然后我们选择了 100
	我们从这些单元中随机抽取零件，对它们进行了 2,000 小时的压力测试。我们观察到 15 次故障，以下是故障发生的时间。到测试结束时，仍有 85 个单元完好无损。好吧，这些都是经过审查的观察结果。
	现在，由于我们有了精确的失效时间和单一的审查时间，因此时间以以下方式输入到 JMP 数据表中。好的，我们将时间输入到一列中
	然后我们输入审查观察值，1 表示非审查，0 表示审查，在本例中，然后是频率，即在给定时间点发生的故障次数。但在 2,000 小时时
	我们有零个审查代码，还有 85 个单元仍然存活。好的，现在我们有了这个 JMP 数据表。
	我们现在要使用一种传统平台，因为它呈现出我喜欢展示的图表。
	我们将选择分析、可靠性和生存，这次我们将使用生存，而不是寿命分布。
	因此，我们将按照图示的方式投射列，类似于我们对寿命分布所做的操作。我们将输入失效时间，这些是准确的失效时间。
	我们将把频率列放入审查观察列中。我们将绘制失败而不是生存，而且，非常重要的一点是，我们将审查代码改为零。现在让我们这样做。好的。我要把这个家伙关掉。
	我们不再需要这个人了，所以我要来这里
	把这个家伙也关出去。
	好的，我们将转到此处的缺陷模型。这是我们的故障次数、审查和频率。因此，我将到这里进行分析，然后转到可靠性和生存率，但我不会讨论寿命分布，而是讨论生存率。
	好的，我输入了失败次数。
	我把频率输入到审查次数、审查列中。在这里，我将审查代码改为零。
	我要绘制失败而不是生存。单击“确定”。
	现在我有了这个情节，让我们...去稍微改进一下它。
	让我们在这里讨论一下...
	就在那里。很好，我要在这里添加一些网格线，让它更容易理解，我将在这里对网格线做同样的事情。
	好的。那么我们从这些数据中注意到了什么？这表明可能存在永生种群？我们注意到这些单位遵循 CDF 的相当线性的图。
	最后一次故障发生在大约 2,000 小时前，对不起，最后一次故障发生在大约 1700 小时前，我认为这是实际数据点，让我再往下追溯，大约是 1664 小时前。
	我们注意到，在上次故障发生前的 300 小时内，发生了 5 次故障，但从 500 开始……实际上是从 1664 个小时开始，
	300 小时...336 小时，没有发生任何故障。所以我在这里要说的是，我们看到了某种
	故障的饱和点，也就是在这 300 小时内，与这 300 小时内相同，
	这 300 小时内出现了 5 次故障，而接下来的 336 个小时或其他时间没有出现任何故障，因此我们现在怀疑
	我们可能有一个缺陷子群，因为我们没有看到我们预期的额外故障，如果这条曲线继续下去。好的，我们现在要做的是，我们要进入这里
	我们将使用寿命分布程序来看一下 JMP。好的，请转到可靠性和生存率、寿命分布，现在我们要做的就是输入故障时间。
	好的，确切地说是有时。我们将在审查栏中输入频率。
	然后审查代码为零。可能性又来了。
	我们点击确定。
	现在，我们这里有一个数据的非参数图。现在 JMP 为我们提供了大量可以拟合这些数据的分布。让我们选择，你知道，在这里，我们可以说拟合所有非负类型的分布，因为可靠性分布不是负的。
	JMP 出来了，它给了我们一个广义伽马。不过我不会使用广义伽马，因为我将使用对数正态分布，因为那是最初计划的
	数据分析。我们可以看到，顺便说一下，它与广义伽马并没有什么不同，如果你看看
	就 AICc 类型标准而言，对数正态分布，你可以看到数据拟合得不好。我们有很多数据点，你知道，在直线的一侧上方。如果我们使用对数正态尺度，好的，在这里，
	我们再次看到，数据点没有落在线上。好的，我们还可以看看数据的参数估计值，如这里所示。尺度参数为 1，T50 为 6,000。
	好的，我们现在有一个分析，但它并没有给我们一个非常令人满意的数据拟合，所以我现在要回到我的 PowerPoint 类型的演示文稿
	在这儿。
	好的。
	这只是使用生存平台再次重复，在过去的 336 小时内我们没有看到新的故障，而在此之前的 336 小时内一共发生了 5 次故障。
	因此我们怀疑可能存在缺陷的子群体。我们如何在 JMP 中分析这个问题？事实证明
	我们实际上可以使用最大似然法来求解我向您展示的模型中的参数。这只是对删失数据的最大似然理论的简单扩展。
	最大似然方程的基本组成部分是 PDF f(t) 和 CDF F(t)，然而，只有分数 p
	总体容易受到 F(t) 模型故障机制的影响，则 pF(t) 是随机选择的组件在时间 t 前发生故障的概率。
	我以 25% 和 40% 的死亡率为例，给出了 10% 的观察值。同样，
	随机选择的组件在精确时刻 t 发生故障，其 PDF 乘以 p 得出。
	因此，我们要做的就是使用为缺陷模型编写似然方程的规则，只需在似然方程中 f 和 F 出现的位置用 pf（小 f）和 pF 代替。
	现在，似然方程，即第一类删失数据的标准方程，意味着我们有 n 个压力单位。
	我们有 r 个故障，分别发生在 T1、T2 和 T sub r 时刻，其余 N 减 r 个单元被审查，并且幸存下来，这是这种情况的似然方程，即第一类传感器数据。现在我们要让它
	只需替换 fft 和 Kappa fft p 乘以 fft，即可处理只有一小部分人群容易发生故障的缺陷模型的方程。
	n P 乘以 Kappa fft，显然，当您进行多次乘法时，您会将 r 的 p 取到外面。
	因此，ML 估计是 P 和总体参数的值，它们最大化
	似然方程或等效地最小化似然对数的减法，这是一个更容易处理的方程。事实证明，这就是 JMP 所做的。JMP 在
	寿命分布平台。因此我们再次使用这个原始表格，9.5 数据表，正如我向您展示的那样，我们输入了数据，如图所示，输入了故障次数、检查器、频率，然后在此处进行更改。
	现在我们得到了这个输出，正如我提到的，这是一个非参数类型的输出。
	然后，当我们告诉 JMP 拟合所有非负类型分布时，即假设所有单元都可能失效，我们决定只使用对数正态类型分布，然后单击它。
	我们的输出以这种方式出现，这表明对数正态拟合较差。
	当我们查看概率和对数概率图时，对数正态拟合度再次较差，因此与数据的拟合度非常值得怀疑。
	好的，现在我们要使用 JMP 中一个强大的程序，称为缺陷子群体拟合。我们不会拟合所有非负分布，而是拟合所有 DS 分布。
	DS 分布是使用最大似然方程来估计的缺陷子总体分布，而不仅仅是 CDF，
	模型，以及该模型中的 p 值。所以我们要这样做。让我们回到这里，好的，进入 JMP。
	回到这里我们的例子。
	好的，我们现在要从顶部开始，现在我们要做的就是
	打算对 JMP 进行说拟合所有有缺陷的子群体分布。
	现在，哇，看看这个。
	我们现在有 JMP 为我们拟合有缺陷的亚群体对数正态类型模型。
	拟合效果非常好，我的意思是，它非常完美。当我们使用非参数...非参数尺度时，我们发现我们有一个有效的模型
	并让我们对进行现场预测充满信心……我们对预测的可靠性充满信心。如果我们在这里继续下去。
	我们之前展示过对数正态参数估计，但如果我们在这里讨论 DS 对数正态，
	该模型现在显示，该人群的估计缺陷率约为 15.8%。请记住，我们表明在 15% 左右时，我们已达到饱和状态。
	尺度参数是 0.35，现在我们可以估算，使用分位数刻画器或分布刻画器，我们可以估算一个
	在给定时间点发生故障的概率，或者我们可以使用分位数分析器估计达到特定概率的时间点。
	但是，这个模型与其他模型之间的惊人差异确实非常显著，在后者中，我们没有假设我们有一个有缺陷的亚群。
	因此，当您查看可靠性数据时，请务必考虑是否要弄清楚是否存在缺陷子群体。让我回到我的 JMP...
	这是我的 PowerPoint 演示文稿。
	好的，当您选择拟合所有 DS 分布时，JMP 会自动选择 DS 对数正态分布。我们查看了拟合情况，这个拟合效果非常非常好。
	参数估计如下所示，请注意，我们对该模型中的缺陷率、死亡率和死亡率的 T50 的参数估计有此估计值，而其死亡率的 Sigma 也显示在此处。
	现在好了。
	我希望 JMP 能够融入到寿命分布中，让我们能够测试并查看缺陷模型是否更好
	比假设所有单元都可能失效的模型更准确。如果 ML 估计值尚未针对可疑缺陷模型进行计算，我们可以检验假设 P 等于 1。
	也就是说，与替代缺陷模型相比，不存在缺陷子群。
	因此，这里是测试，让 L1 成为标准（无缺陷）模型的最小对数似然，让 L2 成为缺陷模型的最小对数似然。
	似然比检验统计量为 Lambda =2(L1-L2)。如果假设成立，换句话说，模型表明所有单元都可能失效，
	lambda 近似于具有一个自由度的卡方分布。如果 lambda 较大，那么让我们选择一个卡方百分位数
	95% 的话，自由度为 3.84，那么我们将拒绝标准模型，并以 95% 的置信水平接受缺陷模型。
	因此让我们回到 JMP 中的输出，JMP 实际上提供了此处对数似然的估计。
	好的，我想向您展示此处的 JMP 示例，您可以看到，对于对数正态性，这是对数似然 307，而对于有缺陷的子群体，这是 301，因此 JMP 会自动为您提供这些值。
	好的，回到这里。
	好的，当我们把这个检验统计量代入进去时，我们说 3.07 减去 3.01 得到 6.1。现在 6.1 更大
	大于卡方值 3.84，因此在这种情况下对于示例 9.5，我们将拒绝表明一切都可能失败的标准模型，并且我们将以 95% 的置信度接受缺陷模型。
	现在，如果您想了解有关缺陷模型的更多信息，您可以通过 Google 搜索缺陷子群体和可靠性数据，以获取更多信息。
	我实际上有一个案例研究，是我在一家公司工作时遇到的一个问题，我们最终解决了它，它涉及到现场有缺陷的子群体产品，这也是参考文献。在可靠性文献中，
	这种模型也称为有限故障群体（LFP）模型。
	因此，在可靠性数据分析中，识别并考虑有缺陷的子群体（DS 模型）的存在以获得无偏结果非常重要，而 JMP 的寿命分布平台能够使用视觉和 MLE 方法来分析 DS 数据。
	参考资料在这里。我们在我的书中讨论了有缺陷的亚群；这是第三版，由 Paul Tobias 和我共同编写的《应用可靠性》。
	这就是我之前提到的例子，我们使用有缺陷的子群体和加速测试来解决现场问题。Meeker 和 Escobar 还写了《可靠性数据的统计方法》，其中讨论了有限故障群体模型。
	所以我感谢你，我也愿意回答你的任何问题。保重。