Taylor Swift，从乡村音乐甜心到流行音乐巨星，近年来，她的专辑《Folklore》和《Evermore》在全球范围内获得巨大成功，连续获得格莱美奖的肯定。她的The Eras Tour世界巡回演唱会门票销售异常火爆，演唱会大电影更是以仅仅1500万美元的成本撬动了2.6亿美元票房，成为了影史最卖座的演唱会电影，这一切都让她成为了当代当之无愧的音乐巨星。至于周杰伦( Jay Chou），有“亚洲流行音乐天王”的美誉，他在2000年以一张融合了传统中文音乐元素和现代流行音乐风格的专辑《Jay》出道以来，将R&B、摇滚、电子音乐、古典音乐和中国传统音乐元素融合在一起，创建了独特的“Jay 式”音乐风格。这种风格不仅吸引了大批忠实听众，也对华语流行音乐产生了深远的影响。
那么是什么使得Taylor Swift和周杰伦( Jay Chou）的音乐能够跨越语言、国家、时代，持续地吸引听众呢？让我们运用JMP Pro的结构方程模型（Structural Equation Modelling, SEM）这一强大的统计工具来试着解析这个问题。结构方程模型（SEM）是社会科学中常用的复杂统计方法，它允许研究者评估多个变量之间的关系，并测试它们之间的潜在因果联系，尤其是在音乐产业这样一个多因素交织的领域，这种研究方法非常适合。如(图一)所示。
(图一)
什么是结构方程模型（SEM）？
通常我们在分析两个变量之间的关联时，会使用相关性分析，但是相关性分析只能显示变量之间存在相互关系，无法分辨哪个是因，哪个是果。在传统的回归模型中，只能研究变量X对结果Y的直接效应，无法分析间接效应问题。在有间接效应的因果关系中，中介变量既是自变量，又是因变量，有时候还存在一些变量互为因果的问题。这时，回归模型就无能为力了。
结构方程模型（SEM）还可以透过路径图来更加直观地描述变量之间的关系。例如，影响糖果口味的因素，可能有糖、颜色和大小，并且它们之间也互相影响。相对于复杂公式而言，路径图能够帮助我们一眼获取变量之间相互关系的资讯。如(图二)所示。
(图二)
在结构方程模型（SEM）中，变量有两种基本的形态：测量变量(measured variable)与潜在变量(latent variable)。研究者观测得到的测量变量是真正被分析与计算的变量；而潜在变量则是由测量变量所推估出来的变量。如(图二)所示。
让我们用一个简单的例子来说明这一点：想像你是一所学校的校长，你想知道什么因素会影响学生的考试成绩。你可能会考虑到许多不同的因素，比如学生的学习习惯、家庭背景、上课的注意力、课外阅读量等等。这些都是无法直接量化的抽象概念，我们称之为“潜在变量”。
透过使用SEM，你可以构建一个模型，这个模型会包括所有你认为可能影响学生成绩的潜在变量。接着，你可以透过一系列的问题（比如问卷调查）来“测量”这些潜在变量。比如，可以透过问学生每天花多少时间阅读来间接测量“课外阅读量”。一旦收集了数据，SEM就可以进入场了。
结构方程模型（SEM）的主要特色
SEM模型可以帮助分析这些潜在变量如何影响学生的成绩，哪些因素是最重要的，以及这些因素之间是否有相互作用。例如，你可能会发现，虽然上课注意力对成绩有直接影响，但课外阅读量对注意力也有影响，间接地影响了成绩。 SEM的魔力在于它不仅仅告诉我们哪些因素是重要的，而且还能探索这些因素是如何相互关联的。
SEM的本质是分析两个变量的协方差。对于一系列变量，可以得到一个【observed方差-协方差矩阵】。在矩阵中，对角线为变量的方差，其余部分为变量的协方差。透过最大似然法(Maximum-Likelihood，ML) 分析结构方程的路径系数得到【模型估计的方差-协方差矩阵】，评估【模型方差-协方差矩阵】与【observed方差-协方差矩阵】的匹配情况，就可以得到拟合优度。 SEM考虑到了数据的不完美状况，比如它可以允许测量误差存在，允许缺失值的存在。如(图三)所示。
(图三)
以Taylor Swift 音乐数据为例
在JMP Pro中，打开Taylor Swift的资料集*(文末注)如下图(四)所示，共有530行数据，每行代表一首歌曲的相关信息。在进行SEM分析之前，首先对数据进行标准化预处理，如下图所示的loudness*0.1, tempo*0.1, popularity*0.1。因为不同变量的数值不同，因此导致不同变量之间的协方差不在同一水平，所以在比较变量间的协方差之前，需要对变量进行标准化。
(图四)
在JMP Pro中，透过选择分析> 多元方法> 结构化方程模型来启动“结构化方程模型”平台，如下图(五)所示。
(图五)
启动结构方程模型平台后，在左侧选择列中选中所有想要分析的变量，纳入模型变量，如下图(六)所示，即可进入模型平台。
(图六)
结构方程模型（SEM）可以透过路径图的视觉表示方法来描述模型中各变量之间的关系。如下图(七)所示，在JMP Pro中，可以透过鼠标点选和单向/双向箭头来构建模型。潜在变量通常用圆圈或椭圆表示，观测变量通常用矩形或方框表示。用带箭头的直线指示变量之间的因果关系，箭头从原因指向结果。从变量自身指向自身的箭头表示该变量的方差。
(图七)
在做SEM之前，我们首先要根据研究问题的实际情况建立起始模型，这部分需要针对应用场景的个性化的理解，常常需要对模型进行不断调整，直到获得满意的结果。因此，在分析Taylor Swift的音乐时，为了体现人的经验和认识对于SEM模型的重要性，我们要求ChatGPT提供一张它理解的与音乐受欢迎程度相关的SEM路径图，ChatGPT的反馈如下图(八)。
(图八)
我们依照ChatGPT给出的对音乐受欢迎程度的理解，在JMP Pro中构建SEM的路径图并运行模型，得到结果如下。变量之间红色的数字表明两个变量之间的正相关关系，例如loudness增强energy随之会增强；而蓝色数字则表明负相关关系。 R²值表示可以被模型解释的变异比例。实线箭头表示显著的效应，与之相对的虚线是不显著的效应。图中的“Days since released”并没有被ChatGPT纳入模型考虑。在这个结果中，“energy”R²值为0.556，意味着模型中包括的变量能解释56.6%的“energy”变异。
“valence”和“popularity”的R²值较低，分别为0.020和0.044，这表明这些潜在变量的变异被模型中的变量解释的比例不高。由于ChatGPT并不具备人类一般对于音乐的深层感受和理解，所以给出的初始模型拟合效果较差，这也很好地体现了SEM中对要评估内容的理解的重要性。如图(九)所示。
(图九)
除了ChatGPT提供的模型以外，笔者作为Taylor Swift粉丝，也对流行音乐有自己的认识和思考：首先，发行日期（Days since released）肯定对于Popularity有影响, 早期的冷门歌曲的认知范围相对低一些。此外，一首歌曲的旋律是其最直接的吸引力之一，人声，器乐，节奏的使用能增加歌曲的情感深度和复杂性。歌词的质量也非常重要，好的歌词能够引起听众的共鸣。 Liveness也是十分重要的因素，现场的氛围感、歌手的个人魅力、舞台表现和声音特色都会影响歌曲的受欢迎程度。另外还有一些直观体验，比如音量大会直接带来更强的力量感等。
综合这些思考，笔者根据自己对音乐的理解在JMP Pro中绘制了SEM路径图（模型名称为Human Expert），模型拟合结果如下图。可以看到，此时模型中Popularity的可解释性明显提高。如图(十)所示。
(图十)
后者模型对于前者模型的改进，更多源于纳入了笔者自身对于流行音乐的理解和思考，这恰恰映射的是现实世界中，数据分析者并不缺少各类分析工具，而是缺少对于问题本身（业务本身）本质的思考，导致无法获得有效洞察。
JMP Pro还提供了模型比较的功能。前两个模型固定为【不受限（饱和）】与【独立】。 【不受限（饱和）】即为把所有的模型参数都纳入，自由度为0。它是一个理想模型，但是理想模型往往会导致模型过拟合。 【独立】是一个极度简化的基准模型，假定所有的观察变量之间都是相互独立的。模型拟合指标是用来评估结构方程模型（SEM）与观测数据契合程度的统计量。 CFI（Comparative Fit Index，比较拟合指数）和RMSEA（Root Mean Square Error of Approximation，均方根误差近似值）是两个常用的模型拟合指标。 CFI是一个范围在0到1之间的数字，用来衡量模型相对于一个基准模型的拟合度。 【不受限（饱和】模型的CFI为1，【独立】模型CFI为0。RMSEA值反映了模型与数据之间的近似误差。RMSEA的值越小，表示模型与观测数据之间的差异越小，拟合度越好。然而，这些指标只是工具，应该结合理论和其他实证证据一起考虑模型的适用性。如图(十一)。
图(十一)
我们将同样的SEM建模过程应用于周杰伦( Jay Chou）的Spotify资料集，在这个样本中，我们演示一下如何将【潜在变量】纳入SEM模型。在本例中，我们加入一个潜在变量【Melody】,并认为它可以透过【tempo】，【instrumentalness】和【acousticness】体现。
模型全部构建完成后，点击运行模型，结果如下。
我们可以发现，在这个模型中，显著项（实线）与之前的模型有明显的不同，这也侧面说明Taylor Swift与周杰伦( Jay Chou）的音乐风格和受欢迎的原因有所差异。如图(十二)、图(十三)所示。
(图十二)
图(十三)
结构方程模型（SEM）的局限与误区
就像任何科学模型一样，结构方程模型也有其局限性和误区，主要有二。
首先，虽然SEM提供了变量之间关系的资讯，但我们不能仅仅因为有统计联系就断定其中一个变量是另一个的原因。
其次，模型的品质高度依赖于数据的品质和所选模型的合适性。一个常见的误区是过度解读R²值——尽管这个值可以告诉我们模型解释了多少变量的变异，但它并不能证明模型中的因果关系。例如，虽然我们可以从分析结果看到能量和流行度之间的强关联，但这并不意味着提高能量就一定会增加流行度，可能还有其他未被模型涵盖到的其他因素在发挥作用。
JMP Pro的结构方程模型不仅可以帮助我们更好地理解Taylor Swift和周杰伦( Jay Chou）的音乐为何能够触动全球听众的心，还可以触类旁通到如何运用这一模型来探索其他领域的复杂现象。
*(注)：本文采用的资料集来自音乐播放网站Spotify的公开数据。 Spotify透过分析一系列音乐特征来对歌曲进行分类，以量化歌曲的不同方面，每个特征即为数据表中的一列。以下是这些特征的含义介绍：
- 声学度（Acousticness）：这个指标用来判断一首曲子是否是原声的，数值越大表示该曲目是原声的可能性越大。
- 可跳舞性（Danceability）：这一特征描述了一首歌适合跳舞的程度，这是透过结合节奏、节奏的稳定性、节拍的强度以及整体的规律性来综合评估的。数值越大表示这首歌越适合跳舞。
- 能量（Energy）：能量是一种感知指标，用来衡量一首歌的强度和活力。一首歌如果感觉快速、响亮和有噪音，它的能量值通常较高。数值越高，表明曲目的能量越强。
- 器乐度（Instrumentalness）：这个指标预测一首歌是否不含人声部分。在这里，“哦”和“啊”的声音被认为是乐器声部。如果这个数值越大，就越可能表明这首歌不含有人声。
- 现场感（Liveness）：这个特征用来检测录音中是否有观众的存在。数值越高，表明这首歌是现场演出的可能性越大。数值超过0.8则强烈表明该曲目是现场录音。
- 响度（Loudness）：响度表示一首歌的整体音量大小，用分贝（dB）来衡量。响度值是对整首歌曲的平均，可以用来比较不同曲目之间的相对响度。
- 语言性（Speechiness）：这个指标检测一首歌中是否含有口语。如果录音主要是类似于说话的内容（例如脱口秀、有声读物、诗歌），该属性值就会接近1.0。数值超过0.66的曲目可能完全由口语组成，而数值在0.33到0.66之间的可能包含音乐和语言。
- 情感（Valence）：这个指标描述了一首歌传达的积极情绪。情感值高的曲目听起来更加积极（例如快乐、愉悦、欢欣），而情感值低的曲目则听起来更加消极（例如悲伤、沮丧、愤怒）。
- 节奏（Tempo）：节奏是指一首歌的整体估计速度，以每分钟节拍数（BPM）来衡量。在音乐术语中，节奏直接来源于平均拍子的持续时间，是指一件音乐作品的速度或节奏。
