並非所有導致問題的資料或由過程產生的資料都是相同的，例如函數、訊號、光譜或在時間、空間位置和波長等連續體上定義的序列。沿著連續體的點採樣（從曲線中取得值）是可能的，但還不夠。這些數據需要基函數擴展，這是一種使用一組獨立函數捕獲非線性關係的方法。
JMP Pro 的函數資料瀏覽器 (FDE) 可以處理此類情況。 JMP Pro 在幕後發揮神奇作用，因此使用者可以互動式部署 FDE 進行探索性資料分析，或進行降維，將功能資料轉換為可以在另一個 JMP 平台中分析的形式。
JMP 開發人員設計了適合 JMP Pro FDE 平台的所有模型，以依賴基底函數擴展，這是一種使用一組獨立函數捕獲非線性關係的方法。想要快速概覽嗎？我製作了有關模特兒的短片：
了解如何在 JMP Pro 中部署基底函數擴充模型
功能數據是透過連續體收集的。感興趣的對像是整條曲線，而不僅僅是曲線中的一個值。觀察樣本是多個函數的集合，如圖 1 所示。
圖 1. 一組資料中的多條曲線。
功能數據分析 (FDA) 從觀察中提取基本的形狀資訊。 FDA 不是使用可能高度相關的變數來總結曲線的有趣特徵，而是提取包含形狀資訊的自變數。此資訊包含在普通變數中，可用於其他統計分析。
用於提取形狀資訊的模型是基底函數的線性組合。也就是說，模型是係數乘以基底函數總和，如圖 2 所示。
圖 2. 基底函數展開建模。
JMP Pro 提供不同類型的基底函數展開模型：B 樣條、P 樣條、傅立葉基底函數和小波。每個使用不同的基底函數。例如，基本樣條或 B 樣條使用分段多項式函數的基底函數。模型選擇標準用於選擇多項式的次數。懲罰樣條曲線或 P 樣條曲線也使用分段多項式函數作為基底函數，但它們的各個部分的組合方式與 B 樣條曲線不同。傅立葉基函數是具有不同週期的正弦和餘弦函數對。小波模型使用複雜的函數，可以對所有類型的數據進行建模，包括具有尖峰的數據，例如光譜數據。
此平台提供圖表來幫助解釋擬合模型，從形狀函數開始，如圖 3 所示。
圖 3. 形函數。
這些形狀函數可用於了解平均值周圍資料的曲線間變化。它們指示資料曲線的形狀特徵。基底函數模型可以重寫為形函數的線性組合。形函數的係數是函數主成分得分。這些函數主成分是新的標量變量，包含資料中的形狀資訊。它們彼此不相關，可以用作其他統計分析中的反應或因素。
繪製功能主成分有助於模型解釋。透過 JMP 的懸停圖，可以輕鬆查看資料曲線中函數主成分值的差異，如圖 4 所示。
圖 4. 比較兩條曲線的功能主成分值的得分圖。
函數主成分 (FPC) 刻畫器有助於解釋形狀函數係數的變化如何改變曲線的預測形狀，如圖 5 所示。
圖 5.FPC Profiler，用於使用 FPC 係數以交互方式逼近曲線。
形狀函數的線性組合可用來近似每個函數。線性組合中形函數的係數是函數主成分。保存功能主成分給出了新的標量變量，然後可以使用任何普通的統計分析進行分析，包括作為設計實驗中的響應、作為統計模型中的預測變量、控製圖、量表研究、聚類分析以及許多其他技術，例如如圖6所示。
圖 6. 使用函數 DOE 模型在 FDOE Profiler 中最佳化曲線響應。
理解小波基函數模型
小波基函數模型可以很好地對任何形狀的數據進行建模，並且特別擅長擬合具有尖峰的數據，例如譜分析中的曲線，如圖 7 所示。它們的主要缺點是需要至少 10 個每個函數的觀察值，因此不適合對短函數進行建模。
圖 7. 模擬光譜數據。
小波是在 X 軸上方和下方振盪的函數，因此它們積分為零。它們在邊緣快速衰減，如圖 8 所示。
圖 8. 小波函數範例。
JMP Pro 提供五個系列的精選模型：Daubechies、Haar、Coiflet、biortogonal 和 symlet。族由母小波定義。
此模型由兩個線性組合的總和組成。第一個是縮放函數的線性組合，不包含形狀資訊。第二個是係數乘以基底函數的線性組合。此線性組合的第一部分是係數乘以延伸到函數域的小波，如圖 9 所示。
圖 9.應用於整個域的小波。
第二部分將域切成兩半，並具有兩個係數乘以小波，拉伸到域的前半部分和後半部分，如圖 10 所示。
圖 10. 小波應用於域的兩半。
接下來，域被切成四分之一，然後八分之一，依此類推，如圖 11 所示。
圖 11. 小波應用於域的 2 5段。
當小波頻率與資料頻率相符時，將域分割為 2 j段，不同解析度下的小波係數將較大，而當頻率不匹配時，小波係數將較小。此外，由於小波在邊緣衰減，因此它們局限於其域，因此可以很好地模擬尖銳的峰值。回想一下，傅立葉基函數是正弦和餘弦對，其峰值不是局部的。它們在函數的整個域上變化，因此它們不能很好地模擬尖銳的峰值。
步驟j + 1 的近似值為：
phi 的值是縮放函數，psi 的值是小波函數。函數的大小需要是 2 的冪才能擬合小波模型。 JMP Pro 根據需要擴充域。此外，資料需要位於規則網格上。 JMP 也可以處理此問題，自動執行清理 > 縮減 > 網格。在每個階段，JMP 都會對小波係數執行 Lasso 收縮，因此可以用零替換小的、無意義的係數。
@Di_Michelson深入研究統計細節。 JMP SE Clark Ledbetter 透過理解和建模響應曲線中的一些範例進行了研究，JMP SE Valerie Nedbal @Valerie_Nedbal深入研究了 Di 提到的基底函數擴展模型的類型。
