문제에 기여하거나 프로세스에서 발생하는 모든 데이터(예: 함수, 신호, 스펙트럼 또는 시간, 공간 위치, 파장과 같은 연속체에 대해 정의된 계열)가 동일한 것은 아닙니다. 연속체를 따라 있는 지점에서 샘플링(곡선에서 값 가져오기)이 가능하지만 충분하지는 않습니다. 이러한 데이터에는 일련의 독립 함수를 사용하여 비선형 관계를 캡처하는 방법인 기본 함수 확장이 필요합니다.
JMP Pro의 FDE(Functional Data Explorer)는 이러한 상황을 처리합니다. JMP Pro는 숨겨진 마법을 수행하므로 사용자는 탐색적 데이터 분석을 위해 대화형으로 FDE를 배포하거나 차원 축소를 통해 기능 데이터를 다른 JMP 플랫폼에서 분석할 수 있는 형식으로 변환할 수 있습니다.
JMP 개발자들은 일련의 독립 함수를 사용하여 비선형 관계를 포착하는 방법인 기본 함수 확장에 의존하도록 JMP Pro FDE 플랫폼의 모든 모형 적합을 설계했습니다. 빠른 개요를 원하시나요? 모델에 대한 짧은 비디오를 만들었습니다.
JMP Pro에서 기본 기능 확장 모델이 배포되는 방식 이해하기
기능적 데이터는 연속체를 통해 수집됩니다. 관심 대상은 곡선의 값 하나가 아니라 전체 곡선입니다. 관찰 샘플은 그림 1에 표시된 것처럼 여러 함수의 모음입니다.
그림 1. 데이터 세트의 여러 곡선.
기능적 데이터 분석(FDA)은 관찰에서 필수 형태 정보를 추출합니다. 상관관계가 높은 변수를 사용하여 곡선의 흥미로운 특징을 요약하는 대신 FDA는 모양 정보가 포함된 독립 변수를 추출합니다. 이 정보는 일반 변수에 포함되어 있으며 다른 통계 분석에 사용될 수 있습니다.
형상정보 추출에 사용된 모델은 기저함수의 선형조합이다. 즉, 모델은 그림 2와 같이 계수와 기저 함수의 합입니다.
그림 2. 기본 기능 확장 모델링.
JMP Pro는 B-스플라인, P-스플라인, 푸리에 기본 함수, 웨이블릿 등 다양한 유형의 기본 함수 확장 모델을 제공합니다. 각각은 서로 다른 기본 기능을 사용합니다. 예를 들어 기본 스플라인 또는 B-스플라인은 조각별 다항식 함수인 기본 함수를 사용합니다. 모델 선택 기준은 다항식의 차수를 선택하는 데 사용됩니다. 페널티 스플라인 또는 P-스플라인도 기본 함수에 대해 조각별 다항식 함수를 사용하지만 해당 조각은 B-스플라인과 다르게 구성됩니다. 푸리에 기반 함수는 서로 다른 주기를 갖는 사인 및 코사인 함수의 쌍입니다. 웨이블릿 모델은 분광학 데이터와 같이 날카로운 피크가 있는 데이터를 포함하여 모든 유형의 데이터를 모델링할 수 있는 복잡한 함수를 사용합니다.
플랫폼은 그림 3과 같이 형상 함수부터 시작하여 피팅된 모델을 해석하는 데 도움이 되는 그래프를 제공합니다.
그림 3. 모양 함수.
이러한 형상 함수는 평균을 중심으로 한 데이터의 곡선 간 변동을 이해하는 데 사용할 수 있습니다. 이는 데이터 곡선의 모양 특징을 나타냅니다. 기본 함수 모델은 형상 함수의 선형 조합으로 다시 작성할 수 있습니다. 형상 함수의 계수는 기능적 주성분 점수입니다. 이러한 기능적 주성분은 데이터의 모양 정보를 포함하는 새로운 스칼라 변수입니다. 이는 서로 상관관계가 없으며 다른 통계 분석에서 반응이나 요인으로 사용될 수 있습니다.
기능적 주성분을 도표화하면 모델 해석에 도움이 될 수 있습니다. 그림 4에 표시된 것처럼 JMP의 호버 그래프를 사용하면 기능적 주성분 값에 따른 데이터 곡선의 차이를 쉽게 확인할 수 있습니다.
그림 4. 두 곡선의 기능적 주성분 값을 비교하는 점수 도표.
FPC(Functional Principal Components) 프로파일러는 그림 5에 표시된 것처럼 모양 함수의 계수 변경이 곡선의 예측 모양을 어떻게 변경하는지 해석하는 데 도움이 됩니다.
그림 5. FPC 계수를 사용하여 곡선을 대화식으로 근사화하기 위한 FPC 프로파일러.
형상 함수의 선형 조합을 사용하여 각 함수를 근사화할 수 있습니다. 선형 결합에서 형상 함수의 계수는 기능적 주성분입니다. 기능적 주성분을 저장하면 다음과 같이 설계된 실험의 반응, 통계 모델의 예측 변수, 관리 차트, 게이지 연구, 클러스터 분석 등 일반적인 통계 분석을 사용하여 분석할 수 있는 것보다 새로운 스칼라 변수가 제공됩니다. 그림 6에 나와 있습니다.
그림 6. 곡선 응답에 대한 기능적 DOE 모델을 사용한 FDOE 프로파일러의 최적화.
웨이블릿 기반 함수 모델 이해
웨이블릿 기반 함수 모델은 모든 형태의 데이터를 모델링하는 데 매우 잘 작동하며 특히 그림 7에 표시된 것처럼 스펙트럼 분석에서 발견된 곡선과 같이 날카로운 피크가 있는 데이터를 피팅하는 데 적합합니다. 주요 약점은 최소 10개가 필요하다는 것입니다. 함수당 관측값이므로 짧은 함수를 모델링하는 데 적합하지 않습니다.
그림 7. 시뮬레이션된 스펙트럼 데이터.
웨이블릿은 X축 위와 아래에서 진동하는 함수이므로 0으로 적분됩니다. 그림 8과 같이 가장자리에서 빠르게 부패됩니다.
그림 8. 웨이블릿 함수의 예.
JMP Pro는 Daubechies, Haar, Coiflet, biortogonal, Symlet 등 5개 계열의 모형을 제공합니다. 가족은 어머니 웨이블릿에 의해 정의됩니다.
모델은 두 개의 선형 조합의 합으로 구성됩니다. 첫 번째는 스케일링 함수의 선형 조합이며 모양 정보를 포함하지 않습니다. 두 번째는 계수와 기저 함수의 선형 조합입니다. 이 선형 결합의 첫 번째 부분은 그림 9에 표시된 것처럼 함수 영역으로 확장된 웨이블릿의 계수를 곱한 것입니다.
그림 9. 전체 도메인에 적용된 웨이블릿.
두 번째 부분은 도메인을 절반으로 자르고 그림 10에 표시된 것처럼 도메인의 첫 번째 절반과 두 번째 절반으로 늘어난 웨이블릿에 두 개의 계수를 곱한 값을 갖습니다.
그림 10. 도메인의 양쪽 절반에 웨이블릿이 적용되었습니다.
다음으로, 도메인은 그림 11에 표시된 대로 4분의 1, 8분의 1 등으로 절단됩니다.
그림 11. 도메인의 2 5 개 세그먼트에 적용된 웨이블릿.
도메인을 2j 개의 세그먼트로 절단함으로써 서로 다른 해상도에서 웨이블릿의 계수는 웨이블릿의 주파수가 데이터의 주파수와 일치할 때 크고 주파수가 일치하지 않을 때 작아집니다. 또한 웨이블릿은 가장자리에서 붕괴되기 때문에 도메인에 국한되어 날카로운 피크를 매우 잘 모델링할 수 있습니다. 푸리에 기저 함수는 피크가 국지화되지 않은 사인 및 코사인 쌍이라는 점을 상기하십시오. 이는 함수의 전체 영역에 걸쳐 다양하므로 날카로운 피크를 잘 모델링할 수 없습니다.
단계 j + 1의 근사치는 다음과 같습니다.
phi 값은 스케일링 함수이고 psi 값은 웨이블릿 함수입니다. 웨이블릿 모델에 적합하려면 함수의 크기가 2의 거듭제곱이어야 합니다. JMP Pro는 필요에 따라 도메인을 확장합니다. 또한 데이터는 일반 그리드에 있어야 합니다. JMP는 이 문제도 처리하여 정리(Cleanup) > 축소(Reduce) > 그리드(Grid)를 자동으로 수행합니다. 각 단계에서 JMP는 웨이블릿 계수의 올가미 축소를 수행하므로 작고 의미 없는 계수를 0으로 대체할 수 있습니다.
