時間、空間的位置、波長などの連続体にわたって定義される関数、信号、スペクトル、系列など、問題に寄与するデータやプロセスから生じるデータがすべて等しいわけではありません。連続体に沿った点でのサンプリング (曲線から値を取得) は可能ですが、十分ではありません。これらのデータには、一連の独立関数を使用して非線形関係を捉える方法である基底関数拡張が必要です。
JMP Pro の Functional Data Explorer (FDE) は、このような状況に対処します。 JMP Pro は内部で魔法を実行するため、ユーザーは FDE を対話的に導入して探索的データ分析を行ったり、次元削減を行って関数データを別の JMP プラットフォームで分析できる形式に変換したりできます。
JMP 開発者は、一連の独立関数を使用して非線形関係をキャプチャする方法である基底関数拡張に依存するように、JMP Pro FDE プラットフォームに適合するすべてのモデルを設計しました。概要を簡単に知りたいですか?モデルに関する短いビデオを作成しました。
基底関数拡張モデルが JMP Pro にどのように展開されるかを理解する
機能データは継続的に収集されます。対象となるオブジェクトは、曲線からの 1 つの値だけではなく、曲線全体です。図 1 に示すように、観測値のサンプルは複数の関数の集合です。
図 1. データセット内の複数の曲線。
機能データ分析 (FDA) は、観察から重要な形状情報を抽出します。 FDA は、おそらく相関性の高い変数を使用して曲線の興味深い特徴を要約するのではなく、形状情報を含む独立変数を抽出します。この情報は通常の変数に含まれており、他の統計分析に使用できます。
形状情報の抽出に使用されるモデルは、基底関数の線形結合です。つまり、図 2 に示すように、モデルは係数と基底関数の合計です。
図 2. 基底関数拡張モデリング。
JMP Pro は、B スプライン、P スプライン、フーリエ基底関数、ウェーブレットなど、さまざまなタイプの基底関数拡張モデルを提供します。それぞれが異なる基底関数を使用します。たとえば、基本スプライン (B スプライン) は、区分的多項式関数である基底関数を使用します。モデル選択基準は、多項式の次数を選択するために使用されます。ペナルティ付きスプライン、つまり P スプラインも基底関数に区分的多項式関数を使用しますが、それらの部分は B スプラインとは異なる方法で組み立てられます。フーリエ基底関数は、異なる周期を持つサイン関数とコサイン関数のペアです。ウェーブレット モデルは、分光データのような鋭いピークを持つデータを含む、あらゆる種類のデータをモデル化できる複雑な関数を使用します。
このプラットフォームは、図 3 に示すように、形状関数から始まる近似モデルの解釈に役立つグラフを提供します。
図 3. 形状関数。
これらの形状関数を使用すると、平均付近のデータの曲線ごとの変動を理解できます。これらはデータ曲線の形状特徴を示します。基底関数モデルは、形状関数の線形結合として書き直すことができます。形状関数の係数は関数主成分スコアです。これらの機能主成分は、データ内の形状情報を含む新しいスカラー変数です。それらは互いに相関関係がなく、他の統計分析の応答または因子として使用できます。
機能主成分をプロットすると、モデルの解釈に役立ちます。 JMP のホバー グラフレットを使用すると、図 4 に示すように、関数の主成分の値にわたるデータ曲線の違いを簡単に確認できます。
図 4. 2 つの曲線の機能主成分値を比較するスコア プロット。
Functional Principal Components (FPC) Profiler は、図 5 に示すように、形状関数の係数を変更すると曲線の予測形状がどのように変化するかを解釈するのに役立ちます。
図 5. FPC 係数を使用して曲線を対話的に近似するための FPC プロファイラー。
形状関数の線形結合を使用して、各関数を近似できます。線形結合における形状関数の係数が関数主成分です。関数主成分を保存すると、通常の統計分析を使用して分析できる新しいスカラー変数が得られます。これには、計画された実験の応答として、統計モデルの予測変数として、管理図、ゲージ研究、クラスター分析、その他多くの手法が含まれます。図6に示します。
図 6. 曲線応答の関数 DOE モデルを使用した FDOE プロファイラーでの最適化。
ウェーブレット基底関数モデルを理解する
ウェーブレット基底関数モデルは、あらゆる形状のデータをモデル化するのに非常に適しており、図 7 に示すように、スペクトル解析で見られる曲線など、鋭いピークを持つデータのフィッティングに特に優れています。その主な弱点は、少なくとも 10 個のウェーブレット基底関数が必要なことです。関数ごとの観測値があるため、短い関数のモデル化には適していません。
図 7. シミュレートされたスペクトル データ。
ウェーブレットは X 軸の上下で振動する関数であるため、積分するとゼロになります。図 8 に示すように、エッジでは急速に減衰します。
図 8. ウェーブレット関数の例。
JMP Pro は、Daubechies、Haar、Coiflet、biortogonal、symlet の 5 つのファミリーから選択したモデルを提供します。ファミリはマザー ウェーブレットによって定義されます。
モデルは 2 つの線形結合の合計で構成されます。 1 つ目はスケーリング関数の線形結合であり、形状情報は含まれません。 2 つ目は、係数と基底関数の積の線形結合です。図 9 に示すように、この線形結合の最初の部分は、関数の領域に拡張されたウェーブレットの係数を掛けたものです。
図 9. ドメイン全体に適用されたウェーブレット。
図 10 に示すように、2 番目の部分はドメインを半分にカットし、ウェーブレットに 2 つの係数を掛けた値をドメインの前半と後半に拡張します。
図 10. ドメインの両方の半分に適用されたウェーブレット。
次に、図 11 に示すように、ドメインが 4 分の 1、次に 8 分の 1 というように分割されます。
図 11. ドメインの 2 5セグメントに適用されたウェーブレット。
ドメインを 2 jセグメントに分割することによるさまざまな解像度でのウェーブレットの係数は、ウェーブレットの周波数がデータの周波数と一致する場合は大きくなり、周波数が一致しない場合は小さくなります。また、ウェーブレットはエッジで減衰するため、そのドメインに局在化され、鋭いピークを非常に適切にモデル化できます。フーリエ基底関数は、ピークが局在化していないサインとコサインのペアであることを思い出してください。それらは関数の領域全体にわたって変化するため、鋭いピークをうまくモデル化することができません。
ステップj + 1 での近似は次のようになります。
phi の値はスケーリング関数であり、psi の値はウェーブレット関数です。ウェーブレット モデルに適合するには、関数のサイズが 2 のべき乗である必要があります。 JMP Pro は必要に応じてドメインを拡張します。また、データは規則的なグリッド上にある必要があります。 JMP もこれを処理し、[クリーンアップ] > [削減] > [グリッド] を自動的に実行します。各段階で、JMP はウェーブレット係数の Lasso 縮小を実行するため、小さくて意味のない係数はゼロに置き換えることができます。
