Non tutti i dati che contribuiscono a un problema, o risultanti da un processo, sono uguali, come funzioni, segnali, spettri o serie definite su continuum come il tempo, la posizione spaziale e le lunghezze d'onda. Il campionamento in punti lungo il continuum (prendendo valori dalla curva) è possibile, ma non sufficiente. Questi dati richiedono l'espansione della funzione di base, un metodo per acquisire relazioni non lineari utilizzando un insieme di funzioni indipendenti.
Functional Data Explorer (FDE) di JMP Pro gestisce tali situazioni. JMP Pro esegue la magia dietro le quinte, quindi gli utenti possono implementare FDE in modo interattivo per l'analisi esplorativa dei dati o per la riduzione delle dimensioni per convertire i dati funzionali in un formato che può essere analizzato in un'altra piattaforma JMP.
Gli sviluppatori JMP hanno progettato tutti gli adattamenti del modello nella piattaforma JMP Pro FDE in modo che si basino sull'espansione delle funzioni di base, un metodo per acquisire relazioni non lineari utilizzando una serie di funzioni indipendenti. Vuoi una rapida panoramica? Ho creato brevi video sui modelli:
Comprendere come vengono distribuiti i modelli di espansione delle funzioni di base in JMP Pro
I dati funzionali vengono raccolti in un continuum. L'oggetto di interesse è un'intera curva, non solo un valore di una curva. Un campione di osservazioni è una raccolta di più funzioni, come mostrato nella Figura 1.
Figura 1. Curve multiple in un insieme di dati.
L'analisi dei dati funzionali (FDA) estrae le informazioni essenziali sulla forma dalle osservazioni. Invece di riassumere le caratteristiche interessanti delle curve utilizzando variabili che probabilmente sono altamente correlate, la FDA estrae variabili indipendenti contenenti le informazioni sulla forma. Questa informazione è contenuta nelle variabili ordinarie e può essere utilizzata in altre analisi statistiche.
I modelli utilizzati per estrarre le informazioni sulla forma sono combinazioni lineari di funzioni di base. Cioè, il modello è la somma dei coefficienti per le funzioni base, come mostrato nella Figura 2.
Figura 2. Modellazione dell'espansione della funzione di base.
JMP Pro offre diversi tipi di modelli di espansione delle funzioni di base: B-spline, P-spline, funzioni base di Fourier e wavelet. Ciascuno utilizza funzioni di base diverse. Ad esempio, le spline di base o B-spline utilizzano funzioni di base che sono funzioni polinomiali a tratti. Un criterio di selezione del modello viene utilizzato per scegliere il grado del polinomio. Anche le spline penalizzate, o P-spline, utilizzano funzioni polinomiali a tratti per le funzioni di base, ma i loro pezzi sono messi insieme in modo diverso rispetto alle B-spline. Le funzioni base di Fourier sono coppie di funzioni seno e coseno con periodi diversi. I modelli wavelet utilizzano funzioni complesse in grado di modellare tutti i tipi di dati, compresi quelli con picchi netti, come nei dati spettroscopici.
La piattaforma fornisce grafici per aiutare a interpretare i modelli adattati, a partire dalle funzioni di forma, come mostrato nella Figura 3.
Figura 3. Funzioni di forma.
Queste funzioni di forma possono essere utilizzate per comprendere la variazione da curva a curva nei dati attorno alla media. Indicano le caratteristiche della forma delle curve dati. Il modello della funzione base può essere riscritto come una combinazione lineare di funzioni di forma. I coefficienti delle funzioni di forma sono i punteggi delle componenti principali funzionali. Questi componenti principali funzionali sono nuove variabili scalari che contengono le informazioni sulla forma nei dati. Non sono correlati tra loro e possono essere utilizzati come risposte o fattori in altre analisi statistiche.
Tracciare i componenti principali funzionali può aiutare con l'interpretazione del modello. Con i graphlet al passaggio del mouse di JMP, è facile vedere le differenze nelle curve di dati tra i valori dei principali componenti funzionali, come mostrato nella Figura 4.
Figura 4. Grafici dei punteggi che confrontano i valori dei componenti principali funzionali per due curve.
Il profiler dei componenti principali funzionali (FPC) aiuta a interpretare il modo in cui la modifica dei coefficienti delle funzioni di forma modifica la forma prevista della curva, come mostrato nella Figura 5.
Figura 5. FPC Profiler per l'approssimazione interattiva della curva utilizzando i coefficienti FPC.
Una combinazione lineare delle funzioni di forma può essere utilizzata per approssimare ciascuna funzione. I coefficienti delle funzioni di forma nella combinazione lineare sono le componenti principali funzionali. Il salvataggio dei componenti principali funzionali fornisce nuove variabili scalari che possono poi essere analizzate utilizzando qualsiasi analisi statistica ordinaria, anche come risposte in un esperimento progettato, come predittori in un modello statistico, carte di controllo, studi di calibro, analisi di cluster, tra molte altre tecniche, come mostrato nella Figura 6.
Figura 6. Ottimizzazione nel FDOE Profiler utilizzando un modello DOE funzionale per la risposta della curva.
Comprensione dei modelli di funzioni base wavelet
I modelli di funzioni base wavelet funzionano molto bene per modellare dati di qualsiasi forma e sono particolarmente efficaci nell'adattare i dati con picchi netti, come le curve trovate nell'analisi spettrale, come mostrato nella Figura 7. Il loro principale punto debole è che hanno bisogno di almeno 10 osservazioni per funzione, quindi non sono adatte per modellare funzioni brevi.
Figura 7. Dati spettrali simulati.
Le wavelet sono funzioni che oscillano sopra e sotto l'asse X, quindi si integrano a zero. Si decompongono rapidamente sui bordi, come mostrato nella Figura 8.
Figura 8. Esempio di funzione wavelet.
JMP Pro offre una selezione di modelli di cinque famiglie: Daubechies, Haar, Coiflet, biortogonal e symlet. La famiglia è definita dall'onda madre.
Il modello è costituito dalla somma di due combinazioni lineari. La prima è una combinazione lineare di funzioni di ridimensionamento e non contiene informazioni sulla forma. La seconda è una combinazione lineare di coefficienti per funzioni base. La prima parte di questa combinazione lineare è un coefficiente moltiplicato per l'onda allungata nel dominio della funzione, come mostrato nella Figura 9.
Figura 9. Wavelet applicata all'intero dominio.
La seconda parte taglia il dominio a metà e ha due coefficienti moltiplicati per l'onda allungata alla prima metà e alla seconda metà del dominio, come mostrato nella Figura 10.
Figura 10. Wavelet applicata ad entrambe le metà del dominio.
Successivamente, il dominio viene tagliato in quarti, poi in ottavi e così via, come mostrato nella Figura 11.
Figura 11. Wavelet applicata a 2 5 segmenti del dominio.
I coefficienti delle wavelet a diverse risoluzioni rispetto al taglio del dominio in 2 segmenti j saranno grandi quando la frequenza delle wavelet corrisponde alla frequenza dei dati e piccoli quando le frequenze non corrispondono. Inoltre, poiché le ondine decadono sui bordi, sono localizzate nel loro dominio e quindi possono modellare molto bene i picchi acuti. Ricordiamo che le funzioni base di Fourier sono coppie seno e coseno i cui picchi non sono localizzati. Variano nell'intero dominio della funzione, quindi non sono in grado di modellare molto bene i picchi acuti.
L'approssimazione al passo j + 1 è:
I valori di phi sono le funzioni di scala e i valori di psi sono le funzioni wavelet. La dimensione della funzione deve essere una potenza di 2 per adattarsi al modello wavelet. JMP Pro espande il dominio secondo necessità. Inoltre, i dati devono essere su una griglia regolare. JMP gestisce anche questo, eseguendo automaticamente Pulitura > Riduci > Griglia. In ogni fase, JMP esegue la contrazione lazo dei coefficienti wavelet, in modo che i coefficienti piccoli e privi di significato possano essere sostituiti da zero.
