并非所有导致问题的数据或由过程产生的数据都是相同的，例如函数、信号、光谱或在时间、空间位置和波长等连续体上定义的序列。沿连续体的点采样（从曲线中获取值）是可能的，但还不够。这些数据需要基函数扩展，这是一种使用一组独立函数捕获非线性关系的方法。
JMP Pro 的函数数据浏览器 (FDE) 可以处理此类情况。 JMP Pro 在幕后发挥着神奇作用，因此用户可以交互式部署 FDE 进行探索性数据分析，或进行降维，将功能数据转换为可以在另一个 JMP 平台中分析的形式。
JMP 开发人员设计了适合 JMP Pro FDE 平台的所有模型，以依赖基函数扩展，这是一种使用一组独立函数捕获非线性关系的方法。想要快速概览吗？我制作了有关模特的短片：
了解如何在 JMP Pro 中部署基函数扩展模型
功能数据是通过连续体收集的。感兴趣的对象是整条曲线，而不仅仅是曲线中的一个值。观察样本是多个函数的集合，如图 1 所示。
图 1. 一组数据中的多条曲线。
功能数据分析 (FDA) 从观察中提取基本的形状信息。 FDA 不是使用可能高度相关的变量来总结曲线的有趣特征，而是提取包含形状信息的自变量。该信息包含在普通变量中，可用于其他统计分析。
用于提取形状信息的模型是基函数的线性组合。也就是说，模型是系数乘以基函数之和，如图 2 所示。
图 2. 基函数展开建模。
JMP Pro 提供不同类型的基函数展开模型：B 样条、P 样条、傅立叶基函数和小波。每个使用不同的基函数。例如，基本样条或 B 样条使用分段多项式函数的基函数。模型选择标准用于选择多项式的次数。惩罚样条曲线或 P 样条曲线也使用分段多项式函数作为基函数，但它们的各个部分的组合方式与 B 样条曲线不同。傅立叶基函数是具有不同周期的正弦和余弦函数对。小波模型使用复杂的函数，可以对所有类型的数据进行建模，包括具有尖峰的数据，例如光谱数据。
该平台提供图表来帮助解释拟合模型，从形状函数开始，如图 3 所示。
图 3. 形函数。
这些形状函数可用于了解平均值周围数据的曲线间变化。它们指示数据曲线的形状特征。基函数模型可以重写为形函数的线性组合。形函数的系数是函数主成分分数。这些函数主成分是新的标量变量，包含数据中的形状信息。它们彼此不相关，可以用作其他统计分析中的响应或因素。
绘制功能主成分有助于模型解释。通过 JMP 的悬停图，可以轻松查看数据曲线中函数主成分值的差异，如图 4 所示。
图 4. 比较两条曲线的功能主成分值的得分图。
函数主成分 (FPC) 刻画器有助于解释形状函数系数的变化如何改变曲线的预测形状，如图 5 所示。
图 5.FPC Profiler，用于使用 FPC 系数以交互方式逼近曲线。
形状函数的线性组合可用于近似每个函数。线性组合中形函数的系数是函数主成分。保存功能主成分给出了新的标量变量，然后可以使用任何普通的统计分析进行分析，包括作为设计实验中的响应、作为统计模型中的预测变量、控制图、量表研究、聚类分析以及许多其他技术，例如如图6所示。
图 6. 使用函数 DOE 模型在 FDOE Profiler 中优化曲线响应。
理解小波基函数模型
小波基函数模型可以很好地对任何形状的数据进行建模，并且特别擅长拟合具有尖峰的数据，例如谱分析中的曲线，如图 7 所示。它们的主要缺点是需要至少 10 个每个函数的观察值，因此不适合对短函数进行建模。
图 7. 模拟光谱数据。
小波是在 X 轴上方和下方振荡的函数，因此它们积分为零。它们在边缘快速衰减，如图 8 所示。
图 8.小波函数示例。
JMP Pro 提供来自五个系列的精选模型：Daubechies、Haar、Coiflet、biortogonal 和 symlet。族由母小波定义。
该模型由两个线性组合的总和组成。第一个是缩放函数的线性组合，不包含形状信息。第二个是系数乘以基函数的线性组合。该线性组合的第一部分是系数乘以延伸到函数域的小波，如图 9 所示。
图 9.应用于整个域的小波。
第二部分将域切成两半，并具有两个系数乘以小波，拉伸到域的前半部分和后半部分，如图 10 所示。
图 10. 小波应用于域的两半。
接下来，域被切成四分之一，然后八分之一，依此类推，如图 11 所示。
图 11. 小波应用于域的 2 5段。
当小波频率与数据频率匹配时，将域分割为 2 j段，不同分辨率下的小波系数将较大，而当频率不匹配时，小波系数将较小。此外，由于小波在边缘衰减，因此它们局限于其域，因此可以很好地模拟尖锐的峰值。回想一下，傅里叶基函数是正弦和余弦对，其峰值不是局部的。它们在函数的整个域上变化，因此它们不能很好地模拟尖锐的峰值。
步骤j + 1 的近似值为：
phi 的值是缩放函数，psi 的值是小波函数。函数的大小需要是 2 的幂才能拟合小波模型。 JMP Pro 根据需要扩展域。此外，数据需要位于规则网格上。 JMP 也可以处理此问题，自动执行清理 > 缩减 > 网格。在每个阶段，JMP 都会对小波系数执行 Lasso 收缩，因此可以用零替换小的、无意义的系数。
@Di_Michelson深入研究统计细节。 JMP SE Clark Ledbetter 通过理解和建模响应曲线中的一些示例进行了研究，JMP SE Valerie Nedbal @Valerie_Nedbal深入研究了 Di 提到的基函数扩展模型的类型。
