Nicht alle Daten, die zu einem Problem beitragen oder aus einem Prozess resultieren, sind gleich, etwa Funktionen, Signale, Spektren oder Reihen, die über Kontinuen wie Zeit, räumliche Lage und Wellenlängen definiert sind. Eine Abtastung an Punkten entlang des Kontinuums (Erfassen von Werten aus der Kurve) ist möglich, aber nicht ausreichend. Diese Daten erfordern eine Basisfunktionserweiterung, eine Methode zur Erfassung nichtlinearer Beziehungen mithilfe einer Reihe unabhängiger Funktionen.
Der Functional Data Explorer (FDE) von JMP Pro bewältigt solche Situationen. JMP Pro führt die Magie im Verborgenen aus, sodass Benutzer FDE interaktiv zur explorativen Datenanalyse oder zur Dimensionsreduzierung einsetzen können, um die Funktionsdaten in eine Form umzuwandeln, die auf einer anderen JMP-Plattform analysiert werden kann.
JMP-Entwickler haben alle Modellanpassungen in der JMP Pro FDE-Plattform so konzipiert, dass sie auf der Basisfunktionserweiterung basieren, einer Methode zur Erfassung nichtlinearer Beziehungen mithilfe einer Reihe unabhängiger Funktionen. Möchten Sie einen schnellen Überblick? Ich habe kurze Videos zu den Modellen erstellt:
Verstehen, wie Basisfunktionserweiterungsmodelle in JMP Pro bereitgestellt werden
Funktionsdaten werden über ein Kontinuum gesammelt. Das interessierende Objekt ist eine gesamte Kurve, nicht nur ein Wert einer Kurve. Eine Stichprobe von Beobachtungen ist eine Sammlung mehrerer Funktionen, wie in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1. Mehrere Kurven in einem Datensatz.
Die funktionale Datenanalyse (FDA) extrahiert die wesentlichen Forminformationen aus den Beobachtungen. Anstatt interessante Merkmale von Kurven mithilfe von Variablen zusammenzufassen, die wahrscheinlich stark korrelieren, extrahiert die FDA unabhängige Variablen, die die Forminformationen enthalten. Diese Informationen sind in gewöhnlichen Variablen enthalten und können in anderen statistischen Analysen verwendet werden.
Die zum Extrahieren der Forminformationen verwendeten Modelle sind lineare Kombinationen von Basisfunktionen. Das heißt, das Modell ist die Summe der Koeffizienten mal Basisfunktionen, wie in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2. Modellierung der Basisfunktionserweiterung.
JMP Pro bietet verschiedene Arten von Basisfunktionserweiterungsmodellen: B-Splines, P-Splines, Fourier-Basisfunktionen und Wavelets. Jeder verwendet unterschiedliche Basisfunktionen. Basis-Splines oder B-Splines verwenden beispielsweise Basisfunktionen, die stückweise Polynomfunktionen sind. Zur Auswahl des Grades des Polynoms wird ein Modellauswahlkriterium verwendet. Penalized Splines oder P-Splines verwenden ebenfalls stückweise Polynomfunktionen für die Basisfunktionen, ihre Teile werden jedoch anders zusammengesetzt als die B-Splines. Fourier-Basisfunktionen sind Paare von Sinus- und Cosinusfunktionen mit unterschiedlichen Perioden. Wavelet-Modelle nutzen komplexe Funktionen, die alle Arten von Daten modellieren können, auch solche mit scharfen Peaks, wie etwa bei Spektroskopiedaten.
Die Plattform stellt Diagramme bereit, die bei der Interpretation der angepassten Modelle helfen, beginnend mit den Formfunktionen, wie in Abbildung 3 dargestellt.
Abbildung 3. Formfunktionen.
Diese Formfunktionen können verwendet werden, um die Variation der Daten von Kurve zu Kurve um den Mittelwert herum zu verstehen. Sie geben die Formmerkmale der Datenkurven an. Das Basisfunktionsmodell kann als lineare Kombination von Formfunktionen umgeschrieben werden. Die Koeffizienten der Formfunktionen sind die Bewertungen der funktionalen Hauptkomponenten. Bei diesen funktionalen Hauptkomponenten handelt es sich um neue, skalare Variablen, die die Forminformationen in den Daten enthalten. Sie korrelieren nicht miteinander und können als Antworten oder Faktoren in anderen statistischen Analysen verwendet werden.
Das Plotten der funktionalen Hauptkomponenten kann bei der Modellinterpretation hilfreich sein. Mit den Hover-Graphlets von JMP lassen sich die Unterschiede in den Datenkurven zwischen den Werten der funktionalen Hauptkomponenten leicht erkennen, wie in Abbildung 4 dargestellt.
Abbildung 4. Score-Diagramme zum Vergleich funktionaler Hauptkomponentenwerte für zwei Kurven.
Der Functional Principal Components (FPC) Profiler hilft bei der Interpretation, wie eine Änderung der Koeffizienten der Formfunktionen die vorhergesagte Form der Kurve verändert, wie in Abbildung 5 dargestellt.
Abbildung 5. FPC-Profiler zur interaktiven Approximation der Kurve mithilfe von FPC-Koeffizienten.
Zur Approximation jeder Funktion kann eine lineare Kombination der Formfunktionen verwendet werden. Die Koeffizienten der Formfunktionen in der Linearkombination sind die funktionalen Hauptkomponenten. Durch das Speichern der funktionalen Hauptkomponenten entstehen neue skalare Variablen, die dann mit jeder gewöhnlichen statistischen Analyse analysiert werden können, unter anderem als Antworten in einem geplanten Experiment, als Prädiktoren in einem statistischen Modell, als Kontrolldiagramme, Gauge-Studien, Clusteranalyse und viele andere Techniken siehe Abbildung 6.
Abbildung 6. Optimierung im FDOE Profiler unter Verwendung eines funktionalen DOE-Modells für die Kurvenantwort.
Wavelet-Basisfunktionsmodelle verstehen
Wavelet-Basisfunktionsmodelle eignen sich sehr gut für die Modellierung von Daten beliebiger Form und eignen sich besonders gut für die Anpassung von Daten an scharfe Spitzen, wie z. B. Kurven in der Spektralanalyse, wie in Abbildung 7 dargestellt. Ihre größte Schwäche besteht darin, dass sie mindestens 10 benötigen Beobachtungen pro Funktion und sind daher nicht für die Modellierung kurzer Funktionen geeignet.
Abbildung 7. Simulierte Spektraldaten.
Wavelets sind Funktionen, die oberhalb und unterhalb der X-Achse oszillieren, sodass sie zu Null integrieren. An den Rändern zerfallen sie schnell, wie in Abbildung 8 dargestellt.
Abbildung 8. Beispiel einer Wavelet-Funktion.
JMP Pro bietet eine Auswahl an Modellen aus fünf Familien: Daubechies, Haar, Coiflet, Biortogonal und Symlet. Die Familie wird durch das Mutter-Wavelet definiert.
Das Modell besteht aus der Summe zweier Linearkombinationen. Die erste ist eine lineare Kombination von Skalierungsfunktionen und enthält keine Forminformationen. Die zweite ist eine lineare Kombination von Koeffizienten mal Basisfunktionen. Der erste Teil dieser linearen Kombination ist ein Koeffizient mal dem Wavelet, das auf den Bereich der Funktion ausgedehnt wird, wie in Abbildung 9 dargestellt.
Abbildung 9. Auf die gesamte Domäne angewendetes Wavelet.
Der zweite Teil teilt die Domäne in zwei Hälften und hat zwei Koeffizienten mal dem Wavelet, das auf die erste und zweite Hälfte der Domäne gestreckt wird, wie in Abbildung 10 dargestellt.
Abbildung 10. Auf beide Hälften der Domäne angewendetes Wavelet.
Als nächstes wird die Domäne in Viertel, dann Achtel usw. zerlegt, wie in Abbildung 11 dargestellt.
Abbildung 11. Wavelet angewendet auf 2 5 Segmente der Domäne.
Die Koeffizienten der Wavelets bei unterschiedlichen Auflösungen aus der Aufteilung der Domäne in 2 j- Segmente sind groß, wenn die Frequenz des Wavelets mit der Frequenz der Daten übereinstimmt, und klein, wenn die Frequenzen nicht übereinstimmen. Da die Wavelets außerdem an den Rändern zerfallen, sind sie in ihrem Bereich lokalisiert und können daher scharfe Spitzen sehr gut modellieren. Denken Sie daran, dass Fourier-Basisfunktionen Sinus- und Kosinuspaare sind, deren Spitzen nicht lokalisiert sind. Sie variieren über den gesamten Funktionsbereich und sind daher nicht in der Lage, scharfe Spitzen gut zu modellieren.
Die Näherung bei Schritt j + 1 ist:
Die Werte von Phi sind die Skalierungsfunktionen und die Werte von Psi sind die Wavelet-Funktionen. Die Größe der Funktion muss eine Potenz von 2 sein, um zum Wavelet-Modell zu passen. JMP Pro erweitert die Domain nach Bedarf. Außerdem müssen die Daten in einem regelmäßigen Raster vorliegen. JMP erledigt dies ebenfalls und führt automatisch eine Bereinigung > Reduzieren > Raster durch. In jeder Phase führt JMP eine Lasso-Schrumpfung der Wavelet-Koeffizienten durch, sodass kleine, bedeutungslose Koeffizienten durch Null ersetzt werden können.
