Toutes les données contribuant à un problème ou résultant d'un processus ne sont pas égales, comme les fonctions, les signaux, les spectres ou les séries définis sur des continuums tels que le temps, l'emplacement spatial et les longueurs d'onde. L'échantillonnage en des points le long du continuum (saisir les valeurs de la courbe) est possible, mais pas suffisant. Ces données nécessitent une expansion de fonctions de base, une méthode permettant de capturer des relations non linéaires à l'aide d'un ensemble de fonctions indépendantes.
L'explorateur de données fonctionnelles (FDE) de JMP Pro gère de telles situations. JMP Pro opère la magie sous les couvertures, afin que les utilisateurs puissent déployer FDE de manière interactive pour une analyse exploratoire des données ou pour une réduction dimensionnelle afin de convertir les données fonctionnelles sous une forme pouvant être analysée sur une autre plate-forme JMP.
Les développeurs de JMP ont conçu tous les ajustements de modèles dans la plateforme JMP Pro FDE pour s'appuyer sur l'expansion des fonctions de base, une méthode permettant de capturer des relations non linéaires à l'aide d'un ensemble de fonctions indépendantes. Vous souhaitez un aperçu rapide ? J'ai créé de courtes vidéos sur les modèles :
Comprendre comment les modèles d'extension de fonctions de base sont déployés dans JMP Pro
Les données fonctionnelles sont collectées sur un continuum. L'objet d'intérêt est une courbe entière, pas seulement une valeur d'une courbe. Un échantillon d'observations est un ensemble de fonctions multiples, comme le montre la figure 1.
Figure 1. Plusieurs courbes dans un ensemble de données.
L'analyse des données fonctionnelles (FDA) extrait les informations essentielles sur la forme des observations. Au lieu de résumer les caractéristiques intéressantes des courbes à l’aide de variables probablement fortement corrélées, la FDA extrait des variables indépendantes contenant les informations sur la forme. Ces informations sont contenues dans des variables ordinaires et peuvent être utilisées dans d'autres analyses statistiques.
Les modèles utilisés pour extraire les informations de forme sont des combinaisons linéaires de fonctions de base. Autrement dit, le modèle est la somme des coefficients multipliés par les fonctions de base, comme le montre la figure 2.
Figure 2. Modélisation de l'expansion des fonctions de base.
JMP Pro propose différents types de modèles d'extension de fonctions de base : B-splines, P-splines, fonctions de base de Fourier et ondelettes. Chacun utilise des fonctions de base différentes. Par exemple, les splines de base, ou B-splines, utilisent des fonctions de base qui sont des fonctions polynomiales par morceaux. Un critère de sélection de modèle est utilisé pour choisir le degré du polynôme. Les splines pénalisées, ou P-splines, utilisent également des fonctions polynomiales par morceaux pour les fonctions de base, mais leurs pièces sont assemblées différemment des B-splines. Les fonctions de base de Fourier sont des paires de fonctions sinus et cosinus avec des périodes différentes. Les modèles d'ondelettes utilisent des fonctions complexes capables de modéliser tous les types de données, y compris celles présentant des pics nets, comme dans les données de spectroscopie.
La plateforme fournit des graphiques pour aider à interpréter les modèles ajustés, en commençant par les fonctions de forme, comme le montre la figure 3.
Figure 3. Fonctions de forme.
Ces fonctions de forme peuvent être utilisées pour comprendre la variation d'une courbe à l'autre des données autour de la moyenne. Ils indiquent les caractéristiques de forme des courbes de données. Le modèle de fonction de base peut être réécrit comme une combinaison linéaire de fonctions de forme. Les coefficients des fonctions de forme sont les scores des composantes fonctionnelles principales. Ces composants principaux fonctionnels sont de nouvelles variables scalaires qui contiennent les informations de forme dans les données. Ils ne sont pas corrélés les uns aux autres et peuvent être utilisés comme réponses ou facteurs dans d’autres analyses statistiques.
Le tracé des principaux composants fonctionnels peut faciliter l’interprétation du modèle. Avec les graphlets de survol de JMP, il est facile de voir les différences dans les courbes de données entre les valeurs des composants principaux fonctionnels, comme le montre la figure 4.
Figure 4. Graphiques de scores comparant les valeurs des composants fonctionnels principaux pour deux courbes.
Le profileur de composants principaux fonctionnels (FPC) permet d'interpréter comment la modification des coefficients des fonctions de forme modifie la forme prévue de la courbe, comme le montre la figure 5.
Figure 5. Profileur FPC pour approximer de manière interactive la courbe à l'aide de coefficients FPC.
Une combinaison linéaire des fonctions de forme peut être utilisée pour approximer chaque fonction. Les coefficients des fonctions de forme dans la combinaison linéaire sont les composantes fonctionnelles principales. La sauvegarde des composants fonctionnels principaux donne de nouvelles variables scalaires qui peuvent ensuite être analysées à l'aide de n'importe quelle analyse statistique ordinaire, y compris comme réponses dans une expérience conçue, comme prédicteurs dans un modèle statistique, des cartes de contrôle, des études de jauge, une analyse groupée, entre autres techniques, comme illustré à la figure 6.
Figure 6. Optimisation dans le profileur FDOE à l'aide d'un modèle DOE fonctionnel pour la réponse de la courbe.
Comprendre les modèles de fonctions à base d'ondelettes
Les modèles de fonctions à base d'ondelettes fonctionnent très bien pour modéliser des données de n'importe quelle forme et sont particulièrement efficaces pour ajuster des données présentant des pics nets, telles que les courbes trouvées dans l'analyse spectrale, comme le montre la figure 7. Leur principale faiblesse est qu'ils ont besoin d'au moins 10 observations par fonction, ne conviennent donc pas à la modélisation de fonctions courtes.
Figure 7. Données spectrales simulées.
Les ondelettes sont des fonctions qui oscillent au-dessus et en dessous de l'axe X, elles s'intègrent donc à zéro. Ils se dégradent rapidement sur les bords, comme le montre la figure 8.
Figure 8. Exemple de fonction d'ondelette.
JMP Pro propose une sélection de modèles parmi cinq familles : Daubechies, Haar, Coiflet, biortogonal et symlet. La famille est définie par l'ondelette mère.
Le modèle est constitué de la somme de deux combinaisons linéaires. La première est une combinaison linéaire de fonctions de mise à l'échelle et ne contient aucune information de forme. La seconde est une combinaison linéaire de coefficients multipliés par des fonctions de base. La première partie de cette combinaison linéaire est un coefficient multiplié par l'ondelette étirée jusqu'au domaine de la fonction, comme le montre la figure 9.
Figure 9. Ondelette appliquée à l'ensemble du domaine.
La deuxième partie coupe le domaine en deux et a deux coefficients multipliés par l'ondelette étirée vers la première moitié et la seconde moitié du domaine, comme le montre la figure 10.
Figure 10. Ondelette appliquée aux deux moitiés du domaine.
Ensuite, le domaine est découpé en quarts, puis en huitièmes, et ainsi de suite, comme le montre la figure 11.
Figure 11. Ondelette appliquée à 2 5 segments du domaine.
Les coefficients des ondelettes à différentes résolutions résultant de la découpe du domaine en 2 j segments seront grands lorsque la fréquence de l'ondelette correspond à la fréquence des données et petits lorsque les fréquences ne correspondent pas. De plus, comme les ondelettes se désintègrent sur les bords, elles sont localisées dans leur domaine et peuvent donc très bien modéliser des pics nets. Rappelons que les fonctions de base de Fourier sont des paires sinus et cosinus dont les pics ne sont pas localisés. Ils varient sur tout le domaine de la fonction, ils ne sont donc pas capables de très bien modéliser les pics nets.
L'approximation à l'étape j + 1 est :
Les valeurs de phi sont les fonctions d'échelle et les valeurs de psi sont les fonctions d'ondelette. La taille de la fonction doit être une puissance de 2 pour s'adapter au modèle d'ondelette. JMP Pro étend le domaine selon les besoins. De plus, les données doivent être placées sur une grille régulière. JMP gère également cela en effectuant automatiquement un nettoyage > Réduire > Grille. À chaque étape, JMP effectue un retrait Lasso des coefficients d'ondelettes, afin que les petits coefficients dénués de sens puissent être remplacés par zéro.
