No todos los datos que contribuyen a un problema o que resultan de un proceso son iguales, como funciones, señales, espectros o series definidas en continuos como el tiempo, la ubicación espacial y las longitudes de onda. El muestreo en puntos a lo largo del continuo (tomar valores de la curva) es posible, pero no suficiente. Estos datos requieren la expansión de la función base, un método para capturar relaciones no lineales utilizando un conjunto de funciones independientes.
El Explorador de datos funcionales (FDE) de JMP Pro maneja tales situaciones. JMP Pro realiza la magia bajo las sábanas, por lo que los usuarios pueden implementar FDE de forma interactiva para el análisis de datos exploratorios o para la reducción de dimensiones para convertir los datos funcionales en un formato que pueda analizarse en otra plataforma JMP.
Los desarrolladores de JMP han diseñado todos los ajustes del modelo en la plataforma JMP Pro FDE para basarse en la expansión de funciones básicas, un método para capturar relaciones no lineales utilizando un conjunto de funciones independientes. ¿Quieres una descripción general rápida? Creé videos cortos sobre los modelos:
Comprender cómo se implementan los modelos de expansión de funciones básicas en JMP Pro
Los datos funcionales se recopilan a lo largo de un continuo. El objeto de interés es una curva completa, no sólo un valor de una curva. Una muestra de observaciones es una colección de múltiples funciones, como se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Múltiples curvas en un conjunto de datos.
El análisis de datos funcionales (FDA) extrae la información esencial sobre la forma de las observaciones. En lugar de resumir características interesantes de las curvas utilizando variables que probablemente estén altamente correlacionadas, la FDA extrae variables independientes que contienen información sobre la forma. Esta información está contenida en variables ordinarias y puede utilizarse en otros análisis estadísticos.
Los modelos utilizados para extraer la información de forma son combinaciones lineales de funciones básicas. Es decir, el modelo es la suma de coeficientes multiplicada por funciones básicas, como se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Modelado de expansión de funciones básicas.
JMP Pro ofrece diferentes tipos de modelos de expansión de funciones básicas: B-splines, P-splines, funciones básicas de Fourier y wavelets. Cada uno utiliza diferentes funciones básicas. Por ejemplo, los splines básicos, o B-splines, utilizan funciones básicas que son funciones polinómicas por partes. Se utiliza un criterio de selección de modelo para elegir el grado del polinomio. Los splines penalizados, o P-splines, también utilizan funciones polinomiales por partes para las funciones base, pero sus piezas se ensamblan de manera diferente a los B-splines. Las funciones de base de Fourier son pares de funciones seno y coseno con diferentes períodos. Los modelos Wavelet utilizan funciones complejas que pueden modelar todo tipo de datos, incluidos aquellos con picos agudos, como en los datos de espectroscopia.
La plataforma proporciona gráficos para ayudar a interpretar los modelos ajustados, comenzando con las funciones de forma, como se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Funciones de forma.
Estas funciones de forma se pueden utilizar para comprender la variación de curva a curva en los datos alrededor de la media. Indican las características de forma de las curvas de datos. El modelo de función base se puede reescribir como una combinación lineal de funciones de forma. Los coeficientes de las funciones de forma son las puntuaciones de los componentes principales funcionales. Estos componentes principales funcionales son variables escalares nuevas que contienen la información de forma en los datos. No están correlacionados entre sí y pueden usarse como respuestas o factores en otros análisis estadísticos.
Trazar los componentes principales funcionales puede ayudar con la interpretación del modelo. Con los grafitos flotantes de JMP, es fácil ver las diferencias en las curvas de datos entre los valores de los componentes principales funcionales, como se muestra en la Figura 4.
Figura 4. Gráficos de puntuación que comparan los valores del componente principal funcional para dos curvas.
El generador de perfiles de componentes principales funcionales (FPC) ayuda a interpretar cómo el cambio de los coeficientes de las funciones de forma cambia la forma prevista de la curva, como se muestra en la Figura 5.
Figura 5. FPC Profiler para aproximar interactivamente la curva usando coeficientes FPC.
Se puede utilizar una combinación lineal de las funciones de forma para aproximar cada función. Los coeficientes de las funciones de forma en la combinación lineal son los componentes principales funcionales. Guardar los componentes principales funcionales proporciona nuevas variables escalares que luego pueden analizarse utilizando cualquier análisis estadístico ordinario, incluso como respuestas en un experimento diseñado, como predictores en un modelo estadístico, gráficos de control, estudios de calibre, análisis de conglomerados, entre muchas otras técnicas, como se muestra en la Figura 6.
Figura 6. Optimización en el FDOE Profiler utilizando un modelo DOE funcional para la respuesta de la curva.
Comprensión de los modelos de funciones basadas en wavelets
Los modelos de función básica wavelet funcionan muy bien para modelar datos de cualquier forma y son especialmente buenos para ajustar datos con picos pronunciados, como las curvas que se encuentran en el análisis espectral, como se muestra en la Figura 7. Su principal debilidad es que necesitan al menos 10 observaciones por función, por lo que no son adecuados para modelar funciones cortas.
Figura 7. Datos espectrales simulados.
Las wavelets son funciones que oscilan por encima y por debajo del eje X, por lo que se integran a cero. Se descomponen rápidamente en los bordes, como se muestra en la Figura 8.
Figura 8. Ejemplo de función wavelet.
JMP Pro ofrece una selección de modelos de cinco familias: Daubechies, Haar, Coiflet, biortogonal y symlet. La familia está definida por la onda madre.
El modelo consta de la suma de dos combinaciones lineales. La primera es una combinación lineal de funciones de escala y no contiene información de forma. La segunda es una combinación lineal de coeficientes multiplicados por funciones básicas. La primera parte de esta combinación lineal es un coeficiente multiplicado por la wavelet extendida hasta el dominio de la función, como se muestra en la Figura 9.
Figura 9. Wavelet aplicado a todo el dominio.
La segunda parte corta el dominio por la mitad y tiene dos coeficientes multiplicados por la wavelet extendida hasta la primera mitad y la segunda mitad del dominio, como se muestra en la Figura 10.
Figura 10. Wavelet aplicado a ambas mitades del dominio.
A continuación, el dominio se corta en cuartos, luego en octavos, y así sucesivamente, como se muestra en la Figura 11.
Figura 11. Wavelet aplicado a 2 5 segmentos del dominio.
Los coeficientes de las wavelets a diferentes resoluciones al cortar el dominio en 2 j segmentos serán grandes cuando la frecuencia de la wavelet coincida con la frecuencia de los datos y pequeños cuando las frecuencias no coincidan. Además, debido a que las ondas se desintegran en los bordes, están localizadas en su dominio y, por lo tanto, pueden modelar muy bien picos agudos. Recuerde que las funciones de base de Fourier son pares de senos y cosenos cuyos picos no están localizados. Varían en todo el dominio de la función, por lo que no pueden modelar muy bien los picos agudos.
La aproximación en el paso j + 1 es:
Los valores de phi son las funciones de escala y los valores de psi son las funciones wavelet. El tamaño de la función debe ser una potencia de 2 para ajustarse al modelo wavelet. JMP Pro amplía el dominio según sea necesario. Además, los datos deben estar en una cuadrícula regular. JMP también maneja esto, realizando automáticamente una Limpieza > Reducir > Cuadrícula. En cada etapa, JMP realiza la contracción de Lasso de los coeficientes wavelet, de modo que los coeficientes pequeños y sin sentido pueden reemplazarse por cero.
