Ceci est le deuxième d'une série d'articles sur la façon d'adapter des fonctions continues par morceaux à des ensembles de données. Je commencerai chaque article par des liens vers tous les autres articles de la série. Ils sont:
Ce message, par nécessité, est un peu « mathématique ».
Introduction
Dans la première partie de cette série de blogs, j'ai présenté un exemple de problème pour démontrer ce qu'on appelle « ajuster des fonctions par morceaux » à un ensemble de données. Ces données ont été divisées en régions dans lesquelles nous aimerions intégrer les fonctions (encore à déterminer). Même les X emplacements qui définissent les limites des régions sont encore inconnus. La figure 1 montre les données et les régions suggérées.
Figure 1Figure 1
Choisir des fonctions
Pour chaque région, nous souhaitons adapter différentes fonctions qui servent à modéliser les données. Dans la plateforme non linéaire de JMP, vous pouvez utiliser n'importe quelle expression de votre choix (par exemple exponentielles, logs, trigonométrie, etc.). En général, la sélection des fonctions dépendra entièrement de la sagesse, de la perspicacité et de l'expertise du modélisateur. La discussion suivante utilise des polynômes simples, qui offrent l’avantage de simplifier les mathématiques lorsqu’il s’agit d’établir des conditions aux limites. Ceux-ci ont bien fonctionné pour moi au fil des ans.
Par polynôme simple, j'entends une équation de la forme :
Equation 1Équation 1
où:
y = la réponse mesurée
n = le segment d'intérêt
UN m = le "mième" coefficient inconnu pour le nième segment
x = le prédicteur indépendant
Le polynôme peut être tronqué à n'importe quelle longueur souhaitée, en fonction de la complexité de la fonction à ajuster.
Examinons chaque segment de la figure 1 individuellement.
Segment 1 : Données préalables au début du test
Comme décrit précédemment, cette région peut être constituée de données collectées avant le démarrage réel du test. Dans ce cas, la valeur ay pourrait idéalement être nulle, bien qu'il puisse y avoir un certain décalage au niveau des instruments. Nous nous attendons à ce que ce soit une valeur constante, nous définirions donc le polynôme pour le premier segment comme suit :
Equation 2Équation 2
Segment 2 : Prise en compte de la tolérance des luminaires
Rappelez-vous que l'exemple d'ensemble de données peut représenter les données d'une machine d'essai de traction, où une éprouvette est placée dans le testeur à l'aide d'une figure de montage.Le deuxième segment/région illustré sur la figure 1 (entre X1 et X2) peut indiquer une région dans laquelle les tolérances de fixation sont prises en compte. Nous pourrions nous intéresser principalement au degré de reprise (X2-X1) ou à la force nécessaire pour éliminer toute la tolérance.
Puisqu'il y a une courbure dans cette région, j'ai choisi d'utiliser une fonction quadratique pour l'ajustement. J'ai également choisi de changer les paramètres en b au lieu de a, juste pour aider à distinguer les coefficients de ce segment de ceux du segment 1 :
Equation 3Équation 3
Segment 3 : Région linéaire/élastique
Le segment 3 pourrait être la région la plus importante pour le test, puisque notre objectif est de comprendre la région élastique de la courbe. Ici, la relation entre x et y est linéaire, représentant peut-être la région élastique de notre exemple d'éprouvette dans le dispositif de traction. Nous serions plus intéressés par la pente de cette région, j'ai donc choisi une forme simple d'intersection de pente pour cette équation :
Equation 4Équation 4
Segment 4 : Initiés au rendement
Le segment 4 pourrait couvrir la zone de nos exemples de données de test où notre éprouvette de traction commence à céder. L'inspection visuelle des données montre qu'il y a à nouveau une courbure (similaire au segment 2), j'ai donc encore une fois choisi un ajustement quadratique :
Equation 5Équation 5
Segment 5 : Données après la fin du test
Le segment 5 peut se produire après la fin de l'essai de traction proprement dit. L'éprouvette est encore sous tension. La quantité d'étirement (y) est inchangée, donc l'équation serait similaire à celle du segment 1 :
Equation 6Équation 6
Définition de conditions limites
Nous avons maintenant cinq équations avec des coefficients inconnus (a0, b0, b1, b2, c0, c1, d0, d1, d2 et e0) ainsi que les quatre points d'arrêt X1, X2, X3 et X4. Chacun de ces éléments doit être déterminé. Mais d’autres informations doivent être fournies. Plus précisément, chacune des courbes doit se « connecter » aux limites de transition.
Transition du segment 1 au segment 2
Pour la transition Segment 1/2, nous voulons y1=y2 à x=X1. Cela signifie:
Equation 7Équation 7
En résolvant b0, on obtient :
Equation 8Équation 8
Ceci "connecte" la fonction du Segment 1 avec la fonction du Segment 2 à x=X1. Cela nous donne un moyen d’éliminer b0 de toutes les équations à venir.
Limites restantes des segments
Sans expliquer toute l'algèbre, nous pouvons faire la même chose avec chacune des autres frontières (par exemple y2(X2) = y3(X2), etc.). En résolvant c0, d0 et e0, nous arrivons à :
Equation 9Équation 9
Equation 10Équation 10
Equation 11Équation 11
Après avoir effectué plusieurs substitutions dans les équations de segments, nous arrivons à :
Equation 12Équation 12
Equation 13Équation 13
Equation 14Équation 14
Equation 15Équation 15
Equation 16Équation 16
Nous avons donc maintenant réduit les inconnues à a0, b1, b2, c1, d1, d2, X1, X2, X3 et X4. Comment pouvons-nous obtenir JMP résoudre ces inconnues ? Rejoignez-moi pour le prochain article du blog !
