이것은 조각별 연속 함수를 데이터 세트에 맞추는 방법에 대한 일련의 게시물 중 두 번째입니다. 나는 시리즈의 다른 모든 게시물에 대한 링크로 각 게시물을 시작하겠습니다. 그들은:
이 게시물은 필연적으로 약간 "수학적"입니다.
소개
이 블로그 시리즈의 1부에서는 데이터 세트에 "조각별 함수 피팅"이라는 것을 보여주기 위해 예제 문제를 소개했습니다. 이 데이터는 (아직 미정) 기능을 적용하려는 영역으로 나누어졌습니다. 지역의 경계를 정의하는 X 위치조차 아직 알려지지 않았습니다. 그림 1은 데이터와 제안된 지역을 보여줍니다.
Figure 1그림 1
기능 선택
각 지역에 대해 데이터를 모델링하는 데 사용되는 다양한 기능을 맞추려고 합니다. JMP의 비선형 플랫폼에서는 원하는 표현(예: 지수, 로그, 삼각법 등)을 사용할 수 있습니다. 일반적으로 함수 선택은 전적으로 모델러의 지혜, 통찰력 및 해당 분야 전문 지식에 달려 있습니다. 다음 논의에서는 경계 조건 설정과 관련하여 수학을 단순화하는 이점을 제공하는 간단한 다항식을 사용합니다. 이것들은 수년에 걸쳐 나에게 잘 작동했습니다.
간단한 다항식이란 다음 형식의 방정식을 의미합니다.
Equation 1방정식 1
어디:
y = 측정된 반응
n = 관심 세그먼트
ㅏ 중 = n번째 세그먼트에 대한 "m번째" 알 수 없는 계수
x = 독립 예측변수
다항식은 적합할 함수의 복잡성에 따라 원하는 길이로 잘릴 수 있습니다.
그림 1의 각 부분을 개별적으로 살펴보겠습니다.
세그먼트 1: 테스트 시작 전 데이터
앞서 설명한 것처럼 이 영역은 테스트가 실제로 시작되기 전에 수집된 데이터로 구성될 수 있습니다. 이 경우 일부 계측 오프셋이 있을 수 있지만 이상적으로는 0 값을 가질 수 있습니다. 우리는 이것이 상수 값일 것으로 예상하므로 첫 번째 세그먼트에 대한 다항식을 다음과 같이 설정합니다.
Equation 2방정식 2
세그먼트 2: 고정 장치 공차 테이크업
예제 데이터 세트는 장착 그림을 사용하여 시편을 테스터에 배치하는 인장 시험기의 데이터를 나타낼 수 있다는 점을 기억하십시오.그림 1에 표시된 두 번째 세그먼트/영역(X1과 X2 사이)은 고정 공차가 적용되는 영역을 나타낼 수 있습니다. 우리는 주로 얼마나 많은 테이크업이 있는지(X2-X1) 또는 모든 공차를 제거하는 데 얼마나 많은 힘이 필요한지에 관심이 있을 수 있습니다.
이 영역에는 곡률이 있으므로 피팅에 2차 함수를 사용하기로 결정했습니다. 또한 이 세그먼트의 계수를 세그먼트 1의 계수와 구별하는 데 도움이 되도록 매개변수를 a 대신 b로 변경하기로 선택했습니다.
Equation 3방정식 3
세그먼트 3: 선형/탄성 영역
우리의 목표는 곡선의 탄성 영역을 이해하는 것이기 때문에 세그먼트 3은 테스트에서 가장 중요한 영역일 수 있습니다. 여기서 x와 y 사이의 관계는 선형이며 아마도 인장 고정 장치의 예제 테스트 표본에 대한 탄성 영역을 나타낼 수 있습니다. 우리는 이 영역의 기울기에 가장 관심이 있으므로 이 방정식에 대해 간단한 기울기-절편 형식을 선택했습니다.
Equation 4방정식 4
세그먼트 4: 수익률 개시
세그먼트 4는 인장 시편이 항복하기 시작하는 예제 테스트 데이터 영역을 포함할 수 있습니다. 데이터를 육안으로 검사한 결과 다시 곡률이 있는 것으로 나타났습니다(세그먼트 2와 유사). 따라서 다시 2차 피팅을 선택했습니다.
Equation 5방정식 5
세그먼트 5: 테스트 종료 후 데이터
세그먼트 5는 실제 인장 테스트가 완료된 후에 발생할 수 있습니다. 테스트 표본은 여전히 장력을 받고 있습니다. 늘어나는 정도(y)는 변하지 않으므로 방정식은 세그먼트 1과 유사합니다.
Equation 6방정식 6
경계 조건 설정
이제 4개의 중단점 X1, X2, X3 및 X4와 함께 알 수 없는 계수(a0, b0, b1, b2, c0, c1, d0, d1, d2 및 e0)가 있는 5개의 방정식이 있습니다. 이들 각각을 결정해야 합니다. 하지만 제공해야 할 정보가 더 있습니다. 특히 각 곡선은 전환 경계에서 "연결"되어야 합니다.
세그먼트 1에서 세그먼트 2로 전환
세그먼트 1/2 전환의 경우 x=X1에서 y1=y2를 원합니다. 이는 다음을 의미합니다.
Equation 7방정식 7
b0을 풀면 다음을 얻습니다.
Equation 8방정식 8
이는 x=X1에서 세그먼트 1의 기능을 세그먼트 2의 기능과 "연결"합니다. 이는 앞으로 나올 방정식에서 b0를 제거하는 방법을 제공합니다.
나머지 세그먼트 경계
모든 대수학을 자세히 설명하지 않고도 다른 경계 각각에 대해 동일한 작업을 수행할 수 있습니다(예: y2(X2) = y3(X2) 등). c0, d0, e0을 풀면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
Equation 9방정식 9
Equation 10방정식 10
Equation 11방정식 11
세그먼트 방정식에 여러 대체를 적용한 후 다음과 같은 결과를 얻습니다.
Equation 12방정식 12
Equation 13방정식 13
Equation 14방정식 14
Equation 15방정식 15
Equation 16방정식 16
이제 우리는 미지수를 a0, b1, b2, c1, d1, d2, X1, X2, X3 및 X4로 줄였습니다. 우리는 어떻게 얻나요? JMP 이러한 미지의 문제를 해결하려면? 다음 블로그 게시물에 참여하세요!
