これは、区分的連続関数をデータセットに当てはめる方法に関する一連の投稿の 2 番目です。 各投稿の冒頭には、シリーズ内の他のすべての投稿へのリンクを記載します。 彼らです：
この投稿は必然的に少し「数学的」です。
導入
このブログ シリーズのパート 1 では、データセットへの「区分関数のフィッティング」と呼ばれるものをデモンストレーションする問題例を紹介しました。 これらのデータは、(まだ未定) 関数を当てはめたい領域に分割されました。 領域の境界を定義する X の位置さえもまだ不明です。 図 1 は、データと推奨される領域を示しています。
Figure 1図1
機能の選択
領域ごとに、データのモデル化に役立つさまざまな関数を当てはめたいと考えています。 JMP の非線形プラットフォームでは、任意の式 (指数関数、対数、三角関数など) を使用できます。一般に、関数の選択は完全にモデラーの知恵、洞察力、および主題の専門知識に依存します。 以下の説明では単純な多項式を使用します。これには、境界条件を確立する際の数学が簡素化されるという利点があります。 これらは何年にもわたって私にとってうまくいきました。
単純な多項式とは、次の形式の方程式を意味します。
Equation 1式 1
どこ：
y = 測定された応答
n = 対象のセグメント
あメートル= n 番目のセグメントの「m 番目」の未知の係数
x = 独立した予測子
多項式は、当てはめる関数の複雑さに応じて、任意の長さに切り詰めることができます。
図 1 の各セグメントを個別に見てみましょう。
セグメント 1: テスト開始前のデータ
前述したように、この領域は、テストが実際に開始される前に収集されたデータで構成される場合があります。 この場合、理想的には y 値がゼロになる可能性がありますが、何らかの計測オフセットが存在する可能性があります。 これは定数値であると予想されるため、最初のセグメントの多項式を次のように設定します。
Equation 2式 2
セグメント 2: 治具公差テイクアップ
サンプル データ セットは、取り付けフィギュアを使用して試験機に試験片を配置する引張試験機からのデータを表す可能性があることを思い出してください。図 1 に示されている 2 番目のセグメント/領域 (X1 と X2 の間) は、治具の公差が考慮されている領域を示している可能性があります。 私たちは主に、どのくらいのテークアップがあるか (X2-X1)、またはすべての公差を取り出すのにどのくらいの力が必要かに興味があるかもしれません。
この領域には曲率があるため、フィットに二次関数を使用することにしました。 また、このセグメントの係数をセグメント 1 の係数と区別しやすくするために、パラメータを a ではなく b に変更することにしました。
Equation 3式 3
セグメント 3: 線形/弾性領域
私たちの目標は曲線の弾性領域を理解することなので、セグメント 3 がテストにとって最も重要な領域になる可能性があります。 ここで、x と y の関係は線形であり、おそらく引張治具内のサンプル試験片の弾性領域を表しています。 この領域の傾きに最も興味があるため、この方程式には単純な傾き切片の形式を選択しました。
Equation 4式 4
セグメント 4: 収量開始
セグメント 4 は、テスト データ例で引張試験片が降伏し始める領域をカバーする可能性があります。 データを視覚的に検査すると、(セグメント 2 と同様に) 曲率が再び存在することがわかります。そのため、ここでも 2 次近似を選択しました。
Equation 5式 5
セグメント 5: テスト終了後のデータ
セグメント 5 は、実際の引張試験が終了した後に発生する可能性があります。 試験片にはまだ張力がかかっています。 伸縮量 (y) は変化しないため、方程式はセグメント 1 と同様になります。
Equation 6式6
境界条件の設定
これで、未知の係数 (a0、b0、b1、b2、c0、c1、d0、d1、d2、および e0) を持つ 5 つの方程式と 4 つのブレークポイント X1、X2、X3、および X4 ができました。これらのそれぞれを決定する必要があります。 しかし、提供する必要がある情報はさらにあります。 具体的には、各曲線は遷移境界で「接続」する必要があります。
セグメント 1 からセグメント 2 への移行
セグメント 1/2 の遷移では、x=X1 で y1=y2 が必要です。 これはつまり：
Equation 7式 7
b0 について解くと、次のようになります。
Equation 8式 8
これにより、セグメント 1 の関数が x=X1 でセグメント 2 の関数に「接続」されます。 これにより、今後の方程式から b0 を削除する方法が得られます。
残りのセグメント境界
代数をすべて詳しく説明しなくても、他の境界のそれぞれについて同じことを行うことができます (例: y2(X2) = y3(X2) など)。 c0、d0、および e0 を解くと、次のようになります。
Equation 9式9
Equation 10式 10
Equation 11式 11
セグメント方程式に複数の代入を行った後、次の結果が得られます。
Equation 12式 12
Equation 13式 13
Equation 14式 14
Equation 15式 15
Equation 16式 16
これで、未知数が a0、b1、b2、c1、d1、d2、X1、X2、X3、および X4 に絞り込まれました。 どうやって入手するのですかJMPこれらの未知の問題を解決するには? 次回のブログ投稿にもぜひご参加ください!
