Esta es la segunda de una serie de publicaciones sobre cómo ajustar funciones continuas por partes a conjuntos de datos. Comenzaré cada publicación con enlaces a todas las demás publicaciones de la serie. Ellos son:
Esta publicación, por necesidad, es un poco "matemática".
Introducción
En la Parte 1 de esta serie de blogs, presenté un problema de ejemplo para demostrar algo llamado "ajustar funciones por partes" a un conjunto de datos. Estos datos se dividieron en regiones en las que nos gustaría incluir funciones (aún por determinar). Incluso se desconocen aún los lugares X que definen los límites de las regiones. La Figura 1 muestra los datos y las regiones sugeridas.
Figure 1Figura 1
Elegir funciones
Para cada región, deseamos ajustar diferentes funciones que sirvan para modelar los datos. En la plataforma no lineal de JMP, puede utilizar cualquier expresión que desee (por ejemplo, exponenciales, logarítmicos, trigonométricos, etc.). En general, la selección de las funciones dependerá totalmente de la sabiduría, el conocimiento y la experiencia en la materia del modelador. La siguiente discusión utiliza polinomios simples, que ofrecen el beneficio de simplificar las matemáticas cuando se trata de establecer condiciones de contorno. Estos me han funcionado bien a lo largo de los años.
Por polinomio simple me refiero a una ecuación de la forma:
Equation 1Ecuación 1
dónde:
y = la respuesta medida
n = el segmento de interés
A metro = el coeficiente desconocido "mth" para el enésimo segmento
x = el predictor independiente
El polinomio se puede truncar a cualquier longitud deseada, dependiendo de la complejidad de la función que se va a ajustar.
Veamos cada segmento de la Figura 1 individualmente.
Segmento 1: Datos previos al inicio de la prueba
Como se describió anteriormente, esta región puede consistir en datos que se recopilan antes de que comience la prueba. En este caso, idealmente podría tener un valor de cero, aunque podría haber alguna compensación de instrumentación. Esperamos que sea un valor constante, por lo que estableceríamos el polinomio para el primer segmento como:
Equation 2Ecuación 2
Segmento 2: Toma de tolerancia del accesorio
Recuerde que el conjunto de datos de ejemplo podría representar datos de una máquina de prueba de tracción, donde se coloca una muestra en el probador usando una figura de montaje.El segundo segmento/región que se muestra en la Figura 1 (entre X1 y X2) podría indicar una región donde se están asumiendo las tolerancias del accesorio. Podríamos estar interesados principalmente en cuánta absorción hay (X2-X1), o en cuánta fuerza se requiere para eliminar toda la tolerancia.
Como hay curvatura en esta región, elegí usar una función cuadrática para el ajuste. También elegí cambiar los parámetros a b en lugar de a, solo para ayudar a distinguir los coeficientes en este segmento de los del segmento 1:
Equation 3Ecuación 3
Segmento 3: Región lineal/elástica
El segmento 3 podría ser la región más importante para la prueba, ya que nuestro objetivo es comprender la región elástica de la curva. Aquí la relación entre xey es lineal, y quizás represente la región elástica de nuestra muestra de prueba de ejemplo en el dispositivo de tracción. Lo que más nos interesaría sería la pendiente de esta región, por lo que elegí una forma simple pendiente-intersección para esta ecuación:
Equation 4Ecuación 4
Segmento 4: Iniciados de rendimiento
El segmento 4 podría cubrir el área en nuestros datos de prueba de ejemplo donde nuestra muestra de tracción comienza a ceder. La inspección visual de los datos muestra que nuevamente hay curvatura (similar al segmento 2), así que nuevamente elegí un ajuste cuadrático:
Equation 5Ecuación 5
Segmento 5: Datos posteriores al final de la prueba
El segmento 5 podría ocurrir después de que haya finalizado la prueba de tracción real. La probeta todavía está bajo tensión. La cantidad de estiramiento (y) no cambia, por lo que la ecuación sería similar al Segmento 1:
Equation 6Ecuación 6
Establecer condiciones límite
Ahora tenemos cinco ecuaciones con coeficientes desconocidos (a0, b0, b1, b2, c0, c1, d0, d1, d2 y e0) junto con los cuatro puntos de interrupción X1, X2, X3 y X4. Es necesario determinar cada uno de estos. Pero es necesario proporcionar más información. Específicamente, cada una de las curvas debe "conectarse" en los límites de transición.
Transición del segmento 1 al segmento 2
Para la transición del Segmento 1/2, queremos y1=y2 en x=X1. Esto significa:
Equation 7Ecuación 7
Resolviendo para b0, obtenemos:
Equation 8Ecuación 8
Esto "conecta" la función del Segmento 1 con la función del Segmento 2 en x=X1. Esto nos da una manera de eliminar b0 de cualquier ecuación futura.
Límites restantes del segmento
Sin explicar todo el álgebra, podemos hacer lo mismo con cada uno de los otros límites (por ejemplo, y2(X2) = y3(X2), etc.). Resolviendo para c0, d0 y e0, llegamos a:
Equation 9Ecuación 9
Equation 10Ecuación 10
Equation 11Ecuación 11
Después de realizar múltiples sustituciones en las ecuaciones de segmento, llegamos a:
Equation 12Ecuación 12
Equation 13Ecuación 13
Equation 14Ecuación 14
Equation 15Ecuación 15
Equation 16Ecuación 16
Así que ahora hemos reducido las incógnitas a a0, b1, b2, c1, d1, d2, X1, X2, X3 y X4. ¿Cómo llegamos? JMP resolver estas incógnitas? ¡Únase a mí para la próxima publicación del blog!
